Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вначале напишем выражение В (т) = †, т' С (т) = †., т [1 + †' — т + — — тв + ... ) . (9.4) Е . ! сЕ! тв в " й 1 1+а 2+а Легко видеть, что Св (т) = г" (1, 5, 5+ 1; т) является комплексной гипергеомегриттеской функцией. Расчет величин С (т) для любого параметра 5, рационального или иррационального, не связан с какими-либо существенными трудностями. Так, например, можно вычислить дейстнительную и мнимую части С, (т) = В~ + Ыг путем решения действительных дифференциальных уравнений 1 — г сав:;~ Дт ( г) г [! +ге — 2г сав  — (У)= — [— З [ гв!ат ттг в г [1+г' — 2г сов т — т' (9.5) (9.5') для верхней полуплоскости, можно ограничиться табулированием функции на единичном полукруге.
Такие таблицы [с помощью уравнений (9.5) и (9.5')), по-видимому, могут быть вычислены на современных электронных машинах меньше, чем за один день. Однако печатание таблиц осуществляется машиной значительно медленнее. На машинах, существовавших до последнего времени, в данном случае может потребоваться целая неделя. записанных в полярных координатах т = тета. Первые члены каждого выражения в квадратных скобках не зависят от О и могут быть вычислены заранее. Начальные значения при г ( 0,2 можно легко вычислить с помощью ряда (9.4).
Окончательно значения С; (т) в плоскости могут быть получены с помощью простых формул преобразований по известным значениям в полукруге 0 .. г-( 1, 0 (вт (я. Для наших целей, по-видимому, достаточно иметь таблицу, содержащую 100000 пятизначных величин (по 5000 для каждого в), Используя формулы Сг(т)=Сг(т*) и с С„(т)=Рт-У ~ —,„-е-"+, р С,,(т ')~ Гл. !Х. Применение численных методол Большую пользу могли бы принести таблицы связанных функций — (л(()=П ~ и ~й=В~((и) (Р= — — ).
(9.6) и Они легко могут быть вычислены на машине одновременно с В-, (т). Так, для течений Рети (гл. 11, п. 7), ввиду того, что по формуле (2.29') и~ („(~, г.,) =; („® = —," В,(г"), (= ~(,-', по формуле (2.29) можно получить г= — — („~ — ) — Ы„(1е)+ем(„(енч)+е-т"(и(е-нч). (9.7) Если табулирование выполнено по квадратной сетке в плоскости 1п Г, то для ралионалоных углов а и !п и можно пользоваться этими таблицами, не прибегая к комплексному интерполированию. Подобные таблицы позволили бы применить очень удобный способ определения геометрических размеров, связанных с заданными значениями параметров Кроме того, с их помощью было бы очень просто решить проблему вычисления констант, связанных с течениями Рети.
(Формулы, выражающие коэффициент сопротивления Са и т. п. через бета-функции, мы опускаем.) 5. Задача определения параметров. Если имеются таблицы функций Вз (Ги), то можно эффективно решить задачу определения параметров для течений Рети, а также в более общем случае, согласно следствию теоремы 3 гл.
П1, решить эту задачу для любых простых течений около клиньев. Для иллюстрации рассмотрим задачу построения симметричного течения около клина с длиной сторон ( и углом раствора 2гй (см. рис, 17, а), помещенного в струе, вытекающей из сопла шириной 2Ь, на расстоянги т( от отверстия, Решение этой задачи (2.24) зависит от двух параметров а и о, но из него еще не видно, как их можно определить, Следовательно, для решения прямой задачи обтекания необходимо найти а и о в виде функций от геометрических параметров ((Ь и Ы/Ь. Единственный способ заключается в вычислении 1(Ь и с(/Ь как функций от а и а и выполнении затем обратного интерполирования, чтобы найти обратные функции.
На диаграммах 9, 10 приложения приведены номограммы для вычисления этих функций, Отметим, что мы не знаем ни одного практически пригон. ного способа расчета подобных номограмм в случае криволи- 27З 5. Задача оаределеаая ааралегроо нейных препятствий'), поскольку функцию г(Г) нельзя выразить в простом виде в замкнутой форме.
Вследствие отсутствия подходящих таблиц неполных бета- функций нам пришлось обратиться к формуле Мизеса [61[, Используя формулу (2.30), мы преобразовали формулу (9.7), которая при Ьг = 1 принимает вид г-1 Уи, (и) = ~ч ', е-егг«е!г!п (1 — е-егг«~ги) «=о Поскольку е(=рсе[а(1)[ и 1=еггчаг(е"'"), то с помощью формулы (9.8) можно рассчитать номограммы приведенные на диаграммах 9, 1О приложения«). Объем вычислений может быть существенно уменьшен, если применить принцип наложения (гл.
П, п. 8). В частности, обо- значим Н„(о) = г У„~ — [+ о7„(о), (а) — е — ! 7 (е — ь) + егьу (егч) е"и /е"" ' Но (те', = — У„[ — [+ оегио7„(оегя'"). (9.9) В принятых обозначениях иг = Н, (о) — Н„(а), 1 НО(о) Н [" „) т (г! 1' + ~„ соз †' [о+ †) )п[1 — 2Ы" соз — -1-оп )— «=г 2о« Г ! 'г . 2о«е о' е!о— г — 2 [ — — о ! з! п — . а гс1и о г гг, 29А' ! — о 'сое Г +[о+ — ) соз ггз сов' ~ — ггг) !п (!+очи) (9.10) В формуле (9.10) т(г) = (г — 2)/2 или (г — 1/2) в зависи- мости от четности г, причем функция у = 3 выбирается таким !В г. Берчгоо Вычисление Уи,(и) по формуле (9.8) затрудняется в связи с необходимостью определения нужной ветви функции !п(! — си), Для иллюстрации трудностей, с которыми приходится сталкиваться при использовании этой с виду простой формулы, приведем выражение, которое в действительности применялось нами для вычисления Н„(о), а именно Н,и(че) = — „с1и — +(о+ о ')1п (1 — оги)+ 274 Гл.
!Х Применение ииелеииьи методов образом, чтобы удовлетворялось условие — и/2(д(л/2. Расчетные выражения функций Ни(а) и г1;,(о) оказываются не менее сложными. Кроме того, эти формулы справедливы только при г ) 2; случай г = 2 должен непосредственно следовать из соотношения (9.8). Легко видеть, что для расчета указанным способом только одного значения /тее(и) требуется выполнить 1Ог операций ум.
ножения, а для вычисления а' — в четыре раза больше. Однако с помощью принципа наложения необходимое время расчетов может бгять значительно уменьшено. Эффективность расчетов может быть также гораздо выше в случае использования таблип функций Ве (/и). 6. Изобары и изоклины. Даже при наличии таблиц неполных бета-функций методы п. 4, 5 не будут достаточно эффективными при вычислении границ и внутренних точек течения, т.
е. для решения задач 2) и 3) п. 1. Это частично объясняется тем, что ввиду большого числа расчетных точек желательно применение быстродействующих вычислительных машин, однако память таких машин не может вместить большую таблицу функций и обеспечить ее эффективное считывание.
С другой стороны, численная квадратура, основанная на формуле (2.! ), дает хорошие результаты в случае, если е()47 и ~ выражаются достаточно простыми формулами. Это справедливо, в частности, для течения с годографом скорости в виде кругового сектора. Если угол годографа равен и/и, то переменная а= и 1п".
(9.1 1) отображает течение на полубесконечную полосу /х'а . О, О~~/а . те (9.11 а) плоскости а, причем координатные прямые соответствуют изобарам и изоклиним. Здесь /еа и /а обозначают соответственно Ке(а) и 1гп(а). Значения переменной Т= '/,(ч +ч ), определенной в нижней полуплоскости, можно найти, зная а, по формуле Т = сЬИа сов/а+/ зй йа в!и Уа. (9.1 1 б) Согласно теореме 5 гл. !П, - е/а= ~ Р(а) с/а, г,.е М=~ 3. (9.12) й (т — тт) 275 6.
О»опоры и и»оклик«~ Мы использовали формулы (9.11б) и (9.12) для вычисления изобар и изоклин приблизительно для двадцати течений с годографом в виде кругового сектора'") на вычислительной машине Марк П. Некоторые результаты приведены на диаграммах 5 — 7 приложения. Отметим наиболее важные особенности использованного метода. Во-первых, применялась единая программа, что позволило вычислить все двадцать случаев с помощью одной кодирующей ленты. С этой целью использовалась расчетная сетка с основным шагом я/144, с помощью которой были затабулированы функции сЫ, созгь з(з 5, з!пт).
Это облегчило вычисление Т и з(з го во всех узлах сетки, хотя несколько и ограничило выбор ее шага й. (Вместо этого можно было использовать рекуррентные соотношения.) Путь интегрирования в каждом случае выбирался с особой осторожностью'о) и состоял из ряда «ребер> и центрального «хребта» Уго = сопз1. Этот «хребет» выбирался с таким расчетом, чтобы исключить особенности Т; (в которых г = оо) с тем, чтобы избежать накопления больших абсолютных ошибок. При интегрировании вдоль «ребер» использовалась формула комплексной численной квадратуры и), да= 1ь [24Ро+4(Р1+ Рз) (ыз+Р4)! (9 13) Ошибка оценивалась с помощью эмпирического правила, заключающегося в том, что относительная погрешность этой формулы не превышает 0,)о(„если ближайшая особенность находится не ближе 5Й1з).
Вместо этого мы могли бы исключить простые особенности (случай не совпадающих Т,) с помощью формул вида -л о-:л з лл в=е-'"дл ~~з~С71п(Т вЂ” Т )+ ) гуТ. П (т — Т,) Однако это усложнило бы программирование, так как потребовало бы применения формул различного вида в частных случаях Т, = Т, или Т~ — — Тз = Тз. Легко видеть, что для вычисления каждого Е(оз) по данному способу требуется выполнение около пяти операций умножения комплексных чисел или двадцати операций умножения действительных чисел. Это составляет приблизительно 80«(о от всего объема работы и требует около 45 секунд на каждую точку, в которой вычисляется подинтегральное выражение").
По нашим оценкам вычислитель затратил бы на каждую точку 30 — 40 мин. Таким образом, счет на машине Марк П при решении рассмат- 276 Тл. 7Х Применение численных методов В случае течений, имеющих годографы в виде кругового сектора, знаменатель обращается в нуль и, следовательно, правая часть уравнения (9.!4) становится всюду регулярной. В противном случае при интегрировании необходимо избегать критических точек, а в их окрестности уменьшать шаг расчетной сетки.
Для любого Т функцию Ь(Т) можно определить по формулам г+1 = — 2Т, 1=ту"г(г), (9,1 5) (9.15') риваемой задачи оказался в пятьдесят раз быстрее ручного счета, если не учитывать подготовительной работы. В случае, если бы мы пожелали ограничиться только определением свободных границ и распределения давления на твердых стенках, то можно было бы обойтись применением машин настольного типа, Подобные вычисления в самом деле были проведены и дополнены приближенным конформным отображением (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
