Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Случаи истечения из круглого отверстия в плоской стенке (рис. 85,а) и из насадка Борда (рис. 85, б) представляют особенный интерес, Такие течения подробно исследуются в п. 7. Далее можно упомянуть прямой удар круглой струи в плоскую пластину, в диск или чашу. Математический анализ течений этого типа важен для понимания работы турбин Пельтона'! и будет проведен в и.
8. 2ВВ Гя. Х. Осесимметричные течения Интересный пример военного применения теории осеснмметричных струйных течений представляют кумулятивные заряды с коническими оболочками (гл. 1, п. 10). В подвижной системе отсчета движение оболочек является обращенным по отношению к течению, образуемому двумя сталкивающимися соосными Ра, ВЗ. круглыми струями (см. рис. 86), которые также рассматриваются в п.
8. Кроме того, кавитационные течения около диска, сферы или другой поверхности вращения важны для подводной баллистики входящих из воздуха снарядов. Осесимметричные кавитационные течения изучаются в п. 9. Рис. 86. Наконец, много интересных осесимметричных течений образуется вокруг полого вихря, расположенного вдоль оси симметрии. Полые вихри возникают при концевой кавитации винтов, в водоворотах и в других приложениях; такие течения рассмотрены в п. 10. 2.
Потенциальная теория. Понятие (идеального) установившегося безвихревого струйного течения математически уже было дано в гл. 1, п. 9. Такое течение имеет потенциал скорости У У(х), удовлетворяющий уравнению ьЧ/ = О, направлено по касательной ко всем твердым неподвижным границам и удовлетворяет соотношению тУ т(т' = сопз1 на каждой свободной границе. 2. Потенциальная теория 289 В осесимметричном случае в цилиндрических координатах (х, г) уравнение 7'У = 0 принимает вид [51, гл. 1!т) дкгт дкГГ ! ди — + — + — — =О, дх' дг' г дг (10.1а) или эквивалентно существованию функции тока )г(х, г), удовлетворяющей уравнещпо дя!' дьЪ" ! д!г — + — — — = О. дх' дг' г дг (10.1б) Осевые и радиальные компоненты скорости выражаются соответственно производными дУ 1 д!г дУ 1 д!г г дх !9 Г, Бкрктьа ег' Прямые кругльке струи при и = с, и = О, У = сх, (к= —— по-видимому, являются единственными представляющими интерес безвихревымн осесимметричными струйными течениями, поле скоростей которых в целом было подробно описано математически в явной форме').
Следовательно, специальные аналитические формулы гл. !! — П1 и Ъ' не имеют аналогов в осесимметричном случае. Однако многие из общих теорем гл. 1Ъ' и ЧП применимы и к осесимметричным течениям. Так, например, справедливы некоторые положения, относящиеся к кривизне свободных границ (гл. !Ч, теоремы 12 и 13), вариационные принципы Рябушинского (гл. !Ч, теорема 14), теоремы сравнения и единственности Гилбарга и Серрнна (гл. 1Ч, п, 12 — 14) и теоремы существования Гарабедяна — Леви — Шиффера (гл. Ч1!1, п. 10, 1!). Кроме того, механические законы сохранения массы, количества движения н энергии применимы, конечно, как к осесим.
метричным, так и к плоским течениям. Так, например, мы уже видели (гл, 1, п. 10), что коэффициент сжатия струи из круглого насадка Борда равен 0,5 (С, = 0,5) и что скорости и отношение массы струи к массе стержня, образующихся при распаде ко. нуса (рис. 85), могут быть рассчитаны, так же как н скорость проникновения струи одной жидкости в другую. С другой стороны, несколько более уточненный асимптотический анализ потенциальной теории ') показывает, что в случае осесимметричного кавитационного течения с возвратной струей и числом кавитации 1,т коэффи ,ент сопротивления равен С,=2(1+!,.)+ ~/1~+()~ — '„'*, (10.2) где А' — поперечное сечение струи, А — поперечное сечение препятствия. 2»0 Г я.
Х, Осеси»счетричнме течения Релаксационные методы. Используя разностные аппроксимации уравнений (10.1а) — (10.! в), Саусвелл и Вэйси (79] приближенно рассчитали релаксационными методамн, описанными в гл. 1Х, и. 10 ряд важных осесимметричных струйных течений.
Хотелось бы упомянуть видоизменение этого метода, разработанное в сотрудничестве с Юнгом и Варга, которые =умели избежать так называемых «нерегулярных звезд». Если (7 и г' использовать в качестве независимых переменных, а 1= г' — в качестве их функции, то уравнения (!0.1а)-- (10.1б) эквивалентны') уравнению (10.
3) или системе двух уравнений дУ дх — =2— а!г аи ' дх дУ 2я а1 аи ' (10.4) Если используется система (10.4), то рекомендуется подвижная сетка, использующая значения 1 и х в переменных точках. Кроме того, граничные условия должны удовлетворять разностным аналогам условий совместности ~ ((с((7+ 2х Н') = О, ~ (2х аЫ вЂ” 1п,~с! ') = О. (10.5) = соз д, (10.6) )Схч+ г' Особенность на оси ! = 0 вызывает некоторые затруднения. 3.
Распределение источников вдоль оси. Различным авторам') удалось успешно аппроксимировать потенциальные течения около тел обтекаемой формы с заданными неподвижными аналитическими границами путем наложения потока от системы источников, распределенных вдоль оси, на равномерный поток, параллельный оси симметрии. Такие течения называются течениями Рэнкина (62, $ 15.27]. Тот же самый метод был применен и для аппроксимации кавитационных течений. Так, например, Бауэр' ) предложил рассматривать течение от источника в равномерном потоке, т. е.
обтекание так называемого полутела [62, 3 !5.23], как некоторое приближение к бесконечному каеигационному течению за движущейся сферой (см. и. 10). Однако с точки зрения асимптотической теории Ле,винсона (и. 5) лучшее приближение достигается при обтекании распределенных источников постоянной интенсивности, расположенных на положительной оси к.
Этот случай, как известно, соответствует параболической каверне (62, $ !5.20]. С помощью известных формул У= . Г'х'-1- г' Д Раснредевение источников вдоль оси справедливых для одиночного источника в точке (0,0), можно вычислить как несобственный интеграл функцию тока течения для полулпнии распределенных источников в равномерном по- токе: 1/= — г' — гп(х+ )ссх'+г') 2 (10.7) Далее, перенося )ссх~+ г~ в другую часть уравнения, возводя в квадрат обе его части и сокращая, находим, что )с=0 на параболоиде г'=4т(х+т). (10.7') Отсюда можно получить некоторые сведения о поле скоростей вокруг снаряда при его кавитационном движении. Осевая н радиальная компоненты скорости равны соответственно и= — — =!в ! д!с т и = — — — = — + ..
(10.7н) ! дтс т тх г дг 1' х'+ г' ' г дх г г)схс+ге Чтобы оценить интенсивность источников при заданном коэффициенте сопротивления с), можно вычислить коэффицпент давления с помощью соотношения (!0.7н), основываясь на уравнении Бернулли, а также используя формулы Левинсона (10.!2') и (10,7'), которые дают Т) = 2«рт' (при о = 1). С другой стороны, известно'), что поле скорости, индуцированное движущимся удлиненным эллипсоидом вращения, оказывается полем источников, распределенных между фокусами (-~-),0) с линейно изменяющейся интенсивностью тД) = = — а~.
Поскольку длинные каверны являются почти эллипсоидальными (см. и. 6), то наложение этого распределения источников на равномерный поток дает приближенное представление о течении вокруг длинной конечной каверны в виде течения Рэнкина. К сожалению, осевые распределения источников — стоков не могут быть использованы для точного описания ни одного струйного течения полностью. Так, допуская, что 1'(х,г) является функцией тока любого течения Рэнкина, получаем ') )г(х, г) = — сг'+ ) с2гп6). (10.8) Тогда [42, стр. 139! ЧУ ЧУ = г-' Ч)с Ч)с оказывается аналитической функцией от (х, г) и, следовательно, от У и )с, всюду, за исключением точек на самой оси. Предположим, что часть ограничивающей поверхности тока )с = 0 свободна, так что на ней Ч У ЧУ = й'.
В таком случае, в силу аналитичности ЧУ ЧУ, мы имели бы на этой поверхности Ч(7. Ч(у=йо+й,((7)1+й,(и)1 + .. „(108в) 292 Гл. Х. Огесимметричные течение ы У(х, г)= йа 1 "х'+ гт+ а' — 2аг соз 8 о = — / - — —,, = — — К(й), (10.9а) где г',=х'+(г+а)', в=672, й'=4аг(г'„К(й) — полный эллиптический интеграл первого рода. Соответствующие компоненты скорости равны ") = ( — ) [К.)- *, ~, )) ° .9б) где г,'=х'+(г — а)', Š— полный эллиптический интеграл второго рода.
Потенциалы колец осевых и радиальных диполей даются аналогичными формулами. Функция тока кольца источников многозначна и имеет более сложное выражение, содержащее дзета-функции Якоби '8). Аналогично этому любое осесимметричное распределение вихрей является суперпозицией вихревых колец. Функция тока вихревого кольца выражается формулой "), )г = (г', + г~) — — г, Е, К (10.10а) На основании аналитического (гармонического) продолжения формула (10.8*) будет справедлива всюду вдоль ограничивающей линии тока, откуда следует, что т (l т(l = йт >0') на передней части любого тела Рэнкина. Поэтому никакое течение Рэнкина не моэкет быть кавитационным течением.
Например, течение Рэнкина не может иметь слабой особенности в ~очке отрыва (см. гл. 1Ч, и. 7). 4. Источники и вихревые кольца. Согласно известному классическому результату [42, стр. 219) любая гармоническая функция может рассматриваться как потенциал соответствующего распределения источников и диполей (простого и двойного слоя) на границе течения и даже (42, гл. ХЦ любого из них в отдельности. Хорошо известны также представления плоских и осесимметричных течений посредством вихревых слоев.
Кроме того, любое осесимметричное распределение источников, очевидно, представляет собой суперпозицию кольцевых источников. Потенциал одного кольца источников с центром в точке х = 0 и с радиусом г = а ") равен 5. Метод интегральных уравнений (10.!Ов) из которой могут быть вычислены компоненты скорости 1 ~ Е(а' — х' — г') (10.10б) г1 гт х Р (а +х'+г')Е гг, гт 2 Потенциал скорости У = (l(х, г) многозначен, и выражение его очень похоже на выражение для функции тока кольца источ- ников "). б. Метод интегральных уравнений. Используя формулы п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
