Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 58
Текст из файла (страница 58)
' (11.2б) Для периодически колеблюи1егося парового пузырька, упруго расширяющегося после захлопывания, период колебания равен соответственно 21!. 20 % ° 10 Ф /В Врез!я, мсек Рис. 93. С другой стороны, можно получить выражение ! ае ~на (11.3) где т = К1, а = а/В. Это выражение также может быть проинтегрировано с помощью табулированпых эллиптических интегралов, однако в этом случае формулы имеют более сложный вид. Решение в графическом виде представлено на рис. 93; даже в случае подводных взрывов (п, 3) наблюдается вполне удовле- Гя Хl.
Неуетановившиеея яотенциаявнме те нин творительное совпадение с экспериментально~~ зависимостью радиуса от времени '), в Из уравнения (11.!') видно, что при а (, 0 сКорость а — а Таким образом, в пределе теоретически предсказываются бесконечные скорости (а, следовательно, и давления) захлопывания.
Как будет показано ниже (см. гл, ХЪг п. 6), очень высокие давления действительно возникают, и кавитационное разрушение практически связано с захлопыванием паровых каверн'). Однако обсуждение действительных условий этого явления связано с учетом большого числа физических переменных, которые нами не принимались во внимание (см. также ниже п. 3.!3), и поэтому мы пока отложим рассмотрение этого вопроса.
2. Кавитация в поле переменного давления. Обычно кавитация возникает в быстротекущей жидкости, когда она протекает через область пониженного давления. Местное значение разрежения — РЯ = р„ — р часто может быть определено по уравнению Бернулли, если известна форма твердых стенок. Грубая оценка наблюдаемой скорости роста пузырьков может быть получена в) без учета поверхностного натяжения из уравнения энергии — = — 4иа аР (1). е!ь и'т Отсюда, 'в свою очередь, с помощью (11,!) получается дифференциальное уравнение второго порядка относительно а ) = — 2Р(г)ааа Н нли — та -1- 2 тех= 3 - — Р(г) (11.4) которое может быть проинтегрировано численно.
Получаемое решение дает вполне удовлетворительное совпадение с экспериментом. Особое решение а=А! ', (11.4') — Р(г)= 8 рА~! приближенно описывает скорость роста неподвижного пузырька в случае линейного возрастания разрежения РЯ. Если разрежение постоянно и равно Р„то а= )т'2Ро!Зрг. Ввиду того что ни поверхностное натяжение, ни сжимаемость или вязкость не нарушают сферическую форму каверн, заполненных паром (более того, поверхностное натяжение спо- 8.
Каверны, заноаненные газом собствует образованию сферической формы), естественно попытаться обобщить предыдущие теоретические результаты с учетом этих фактсров. Влияние пойерхностного натяжения т в неподвижном поле легко можно учесть, имея в виду, что внутренняя энергия равна 4. Р (й' — а') +4 (гзг аг) 3 При этом вместо (11.2) получим дифференциальное уравнение 1,5ра'а' =(Ргхз+ ЗЯз) а — Зтаз — Ра'. (1!.5) В этом случае ( = 1(а) также может быть выражено с помощью эллиптических интегралов. В случае Р < О величину Яз можно взять положительной или отрицательной, в результате чего возможны качественно различные типы решения. Легко проверить, что поверхностное натяжение не нарушает справедливость асимптотической формулы а а ьа при а (, О. Влияние сжимаемости и вязкости жидкости при а (, О также существенно и будет исследовано в гл.
ХЧ, п. 6. Демченко и Понсин') рассмотрели захлопыванне эллипсопдальных каверн, однако не получили простых результатов. 3. Каверны, заполненные газом. В случае пузырька (почти) сферической формы, появляющегося в результате подводного взрыва, следует учесть внутреннюю потенциальную энергию образующихся газов. В этом случае радиус пузырька пе может падать до нуля и можно определить максимальный радиус каверзы Я.
Легко видеть, что величина Я связана с полной энергией взрыва У по формуле У = 4кРегз(3, где Р— давление окружающей среды. Влияние газов, образующихся при взрыве, проявляется в основном прн относительно малых значениях радиуса а«Я. Поэтому они мало влияют на период колебаний, вызванных под одным взрывом. Подставляя У = 4кРКз(3 в формулу (11.2б), получаем формулу 2(, = 1,14р'Ф'Яр (11.6) дающую вполне удовлетворительные результаты ').
Можно также применить анализ размерностей для учета в формуле (11.6) влияния сжимаемости газа. Из соображений теории подобия ') следует инвариантность колебаний относительно подстановок а - 6а, У- ргу, 1- 6(, откуда следует, что 21, = Унт(р, Р), где р — плотность окружающей воды. Если предполагать, что газовый пузырек расширяется однородно и адиабатнчески, н учитывать только его потенциальную энергию. 312 Гл.
Хд Неуетановившиеея потенциальные течения чений этого отношения Я7 и значений ((т, полученных экспериментально Гилбаргом и Андерсоном [ЗО) при начальном числе Фруда Р(0) = 1986 и при давлении, равном 1/27 атмосферного давления. Расчетное время захлопывания каверны также вполне удовлетворительно совпадает с измеренным.
Таблица 7 22 26 30 1,93 1,76 10 14 18 'ттш (! ) 3,78 2,26 Ктш/ К'р 1,15 0,94 0,97 1,04 1,18 1,30 В случае входа снарядов в воду из воздуха эффект поверхностного смыкания каверн, рассмотренный в гл. ХЧ, п. 8, может вызвать значительно болыпее расхождение теоретических данных с экспериментальными. В случае косого входа дополнительные погрешности вызывает гидростатическое всплывание каверны. б. Движение пузырька; законы Бьеркнеса. В реальных условиях пузырьки при подводных взрывах (и другие пульсирующие пузырьки) перемеи4аются под влиянием силы тяжести, твердых стенок и свободных границ. Покажем теперь, что они обладают тенденцией перемещаться ло направлению к твердой границе (корпусу корабля или морскому дну) и прочь от горизонтальных свободных границ.
О влиянии силы тяжести на пузырки см. гл. ХЧ, п. 9. Хорошо известно 162, 9 8.41, 9 13.31), что влияние твердой плоской стенки на источник в точности эквивалентно влиянию воображаемого источника (рис. 94, а), помещенного симметрично относительно плоскости стенки. Влияние плоской свободной границы приближенно совпадает с влиянием воображаемого стока той же мощности (рис.
94, б). В самом деле, при наличии воображаемого стока на плоской границе выполняется условие У = О; поскольку на ней же дУ/д1 = О 'и Ч()ЧУ = 0(17тгт), то имеют место небольшие вариации давления. Далее Бьеркнесом уже давно было показано'"), что сферы, пульсирующие в одинаковой фазе, притягиваются, а в противофазе — отталкиваются друг от друга, Этот факт подтверждает справедливость сформулированных выше положений. Выведем их, исходя из других соображении, 313 д даизеение пузырька; заканы Бьеркнееа Лля неподвижного пульсирующего источника (сферического пузырька), интенсивность которого ЕЯ меняется со временем, а ось х проходит через источник и его отображение, потенциал скорости вблизи источника определяется приближенно по формуле У = — — + еЕ (() г з! п 8, е (г) г где г — расстояние от источника (центра пузырька), гс — расстояние до плоской границы, 9 — угол возвышения, е берется ~тенла Сегзйдлггя Ряс.
94. со знаком плюс или минус, в зависимости от того, является ли граница твердой или свободной. Предположим теперь, что форма пузырька остается сферической, но его центр может свободно перемещаться. В этом случае (г = — — +еЕ(г)гз)п 9+ Е (г) В (г) згп е (11.10) где В(() — момент диполя, соответствующий поступательной скорости Ь(() сферы (отраженным липолем мы пренебрегаем), Тогда, если а(() — радиус пузырька, то ЕЯ = а'а и В(1) = а'Ь. Если пузырек предполагается невесомым, то результирующая сила давления на его поверхность должна обратиться в пуль.
Однако величины давления, не зависящие от 3 или пропорциональные э!п'0 или соз'9 на поверхности, не дают нужного эффекта. Поэтому из уравнения Р+ 9 '1( д ) +'( — лз ) )+Р,з( =СОПЗ(> 314 Гл, ХЕ Иеуетоновивизиесв лотенчиольнме течения используя (11.10), получим результирующую силу давления в виде поверхностного интеграла от — р, умноженного на выражение — з[еЕ(1) — — з — ~ эзп ь+( еЕг+ —,, ) 81п ь. Е (т) В«)- . В Это выражение обращается в нуль тогда и только тогда, когда В = —, — 2еЕ' — 2еЕа', 2ВЕ (1 1.1 1) оз Суммарный эффект Е и Е за весь цикл равен нулю. Следовательно, знак В (а потому и В) противоположен знаку еЕ' (а потому и е), что и доказывает высказанные ранее утверждения.
Поскольку Ь(!) =В(!)|аз, мы обнаруживаем, кроме того, что большая чисть перемещения происходит тогда, когда радиус пузырька мал. Если функция Е(1) известна (п. 3), то, конечно, можно получить количественные оценки, однако отклонения пузырька от сферичеекой формы и влияния турбулентности делают эти оценки недостаточно надежными. 6.
Присоединенная масса кавитационного течения. В п.6 — !О мы рассмотрим реакцию несжимаемой жидкости со свободными границами на внезапное ускорение твердого тела, находящегося в жидкости. Таким образом, мы распространим классическое понятие присоединенной массы ([7, гл.
ч[, [51, 5 93, гл, 'Ч!), [62)) на этот случай (см. также п. !0). Для формулировки основных идей будем вначале считать, что чз(х) является потенциалом скорости идеального кавитационного течения около неподвижного твердого тела, так что Узу = О. Вырожденный случай ез(х) = 0 также включен в рассмотрение. Пусть тело мгновенно получает ускорение а в момент времени 1= 0 в направлении оси х. Тогда, согласно общим положениям теоретической гидромеханики, потенциал скорости при малых ! ) 0 разлагается в ряд Сг(х; 1)=о(х)+а!А(х)+ ..., з7зА=О. (11.12) Функцию А(х) будем называть потенциалом ускорения для единичного ускорения. Сведем задачу по его определению к смешанной краевой задаче теории потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
