Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Н!. Поверхностное натяжение оказывает стабилизирующее воздействие. на самые короткие волны и существенно стабилизирует короткие волны, предотвращая возможность того, что поверхность раздела потеряет свою правильную форму"). Действительно, если пренебречь поверхностным натяжением, то функция 5(к) будет неограничена для обоих видов неустойчивости — и по Гельмгольцу и по Тэйлору.
Отсюда следует"), что проблема возмущений поставлена математически некорректно в классическом смысле (Адамара), т. е. что дифференциальные уравнения возмущения просто не имеют решения при начальном возмущении общего вида. 12. Неустойчивость по Тэйлору. В случае и=и', соответствующем неустойчивости по Тэйлору в чистом виде, вязкость в начальной стадии действительно не играет никакой роли.
Благодаря этому теория неустойчивости по Тэйлору проще теории неустойчивости по Гельмгольцу. Поэтому мы сначала рассмотрим первую, хотя последняя лучше изучена и, по-видимому, играет более важную роль. Теория Тэйлора была создана для объяснения неустойчивости пузырьков при подводных взрывах (п. 3), когда их радиус близок к минимуму (п. 13). Ранее Рябушинский" ) предложил критерий устойчивости, заключающийся в том, что пузырек будет устойчив, если внутреннее давление меньше атмосферного, и неустойчив в противном случае. Тэйлор вместо этого дал соответствующий критерий П п.
11. Количественная теория развивается следующим образом. Согласно (!1.28) и (11,28'), существует непрерывное множество 13. Сферические и цилиндрические пузырьки неустойчивых собственных возмущений, каждое из которых обладает своей скоростью экспоненциального роста у~о'(й). Ллина волны возмущения 1,„, = 2зг/й, соответствующая наибольшему значению 5(А), будет, очевидно, соответствовать наибольшей скорости роста отклонений.
Назовем ее длиной наиболее неустойчивой волны. При неустойчивости по Тэйлору в чистом виде, поскольку и = и' по (11.28') имеем йы =(р — Р') (а — 8)/ЗТ Например, если а = 50д и р'«р = 1, как это было в экспериментах Льюиса с воздухом и водой, то получается А ж 14 и = 0,45 см.
В общем случае наибольшая скорость роста будет равна з! з(,+,1 По истечении времени, достаточного для того, чтобы случайные начальные возмущения выросли в тысячу раз, можно ожидать, что поверхность раздела примет неправильную форму и приближенные соотношения, использованные при выводе формул (1!.28) и (!1.28'), станут неприменимыми. Если р « р' и первоначальные возмущения имеют синусоидальную форму с длиной волны ! = 2зггл, то пузырьки с закругленными концами более легкой жидкости проникают в более тяжелую жидкость, подобно тому как было описано в гл. Х, п. 11, с почти постоянной скоростью порядка ~Гул. Тяжелая жидкость в промежутках почти не двигается.
Эти выводы Тэйлора были подтверждены Льюисом 158] для случая поверхности раздела воды и воздуха. Случай двух жидкостей или газов со сравнимыми плотностями экспериментально труднее исследовать, так как в этом случае скорее возникает неустойчивость по Гельмгольцу; при этом она протекает более симметрично по отношению к обеим жидкостям. В конце п. 11 мы обнаружили, что линеаризированная задача неустойчивости поверхности раздела некорректна, если не учитывается поверхностное натяжение, в обоих случаях неустойчивости, как по Гельмгольцу, так и по Тэйлору. Остается открытым интересный вопрос; позволяет ли точная нелинейная теория корректно поставить краевую задачу. 13.
Сферические и цилиндрические пузырьки. Неустойчивость по Тэйлору сферических и цилиндрических каверн может быть исследована методами, аналогичными тем, которые были изложены в п. 11. Если 6(1) — радиус сферической каверны, зависящий от времени, то возмущения поверхности раздела, выраженные с помощью полиномов Лежандра Рь(соз су), имеют амплитуды 6п(1), которые, если поверхностное натяжение т Гл. Хд Иеустоновившиеся нотениивльние течении пренебрежимо мало, удовлетворяют уравнению м) ЬЬ„+ 3Ь܄— (Ь вЂ” 1) ЬЬь = О.
(11.30) В случае подводных взрывов имеем Ь ) 0 вблизи минимального радиуса, что указывает на неустойчивость по Тэйлору в обычном смысле (гл. 11, п. 11) сферической формы. Это и приводит к тому, что значительная часть обшей энергии взрыва переходит в энергию турбулентного движения жидкости. В случае небольших паровых каверн поверхностное натяжение играет важную стабилизирующую роль и, кроме того, Ь < О, поэтому неустойчивость по Тэйлору отсутствует. Тем не менее, вследствие отрицательного демпфирования (6 ( 0) амплитуда последовательных колебаний возрастает приблизительно как Ь-'и. Следовательно, захлопывание кавитационных пузырьков теоретически также неустойчиво "'). В предыдущем теоретическом обсуждении не учитывались многие важные факторы, такие, как возрастание давления паров, которое возникает при Ь«Ь,„, отклонение от сферичности вблизи стенок, влияние вязкости и т.
д.м). Тем не менее, это обсуждение, по-видимому, дает качественно правильную картину. Многие другие задачи, связанные с неустойчивостью каверн, могут быть исследованы подобным же образом. Так, например, можно рассмотреть устойчивость сферического пузырька в переменном поле давлениям) или изучить устойчивость захлопывающейся цилиндрической каверны, принимая возмущения в форме т = Ь(1) + Ьн(1) соз Ьо, где Ьь(1) бесконечно малы. Вместо уравнения (11.30) будем иметь ЬЬн+ 2ЬЬи (Ь 1) Ьв = О. (11 30а) В этом случае возмущения возрастают не медленнее, чем по логарифмическому законуео), однако их относительная амплитуда растет как 1)Ь. Кроме того, подобными же методами могут быть также исследованы колебания почти сферических капель с учетом поверхностного натяжения (51, $ 275). И, наконец, предметом интенсивного исследования в связи с астрофизическими приложениями стала задача устойчивости сфер и эллипсоидов в гравитационном полем).
14. Неустойчивость по Гельмгольцу. Неустойчивость свободных линий тока (гл. 11 — Х!) может быть выведена сразу из уравнений (11.28), (11.28'). В этом 'легче всего убедиться, положив р = р' (или а = д) и т = О. Для всякого постоянного волнового числа А в случае р'«р, соответствующем поверхности раздела газа и жидкости, скорость роста возмущения будет про. 327 44. Неустойчивость ло Гельмгольчу порциональна )/р'/р.
Это объясняет условие Бетца' — Петерсона (гл. 1, п. 4), которое показывает, что теория свободных струй приложима к границе газ — жидкость, Неустойчивость в этом случае мала и часто поверхностное натяжение преобладает. Более сложным является приложение теории к образованию ветровых волн. Эта теория была разработана в 1871 г. Кель- вином"). В этом случае р'«р. Расчет длин наиболее неустойчивых волн показывает (51, $ 268), что поверхность раздела должна быть устойчивой при скорости ветра и'< 646 см/свк.
а Рис. 97. (Как сила тяжести, так и поверхностное натяжение оказывают стабилизирующее влияние; если было бы а = ст, как, например, в падающем лифте, то мы всегда имели бы неустойчивость при 'ь„ж ЗиТ/р'и'. В экспериментальных условиях волны образуются при скоростях около 120 см/сек "), Указанное расхождение типично для приложений теории устойчивости Гельмгольца — Кельвина к конкретным задачам. Его объясняют различными причинами "): влиянием вязкости, отрывом воздушного потока у гребня волны (т. е. разрежением в зоне отрыва) и турбулентностью ветра в действительных условиях. Эти приложения усложняются также нелинейными эффектами, возникающими в случае крутых волн (волн конечной амплитуды). Так, в случае р = р' поверхность раздела (вихревая пелена), разделяющая две жидкости одинаковой плотности, стремится свернуться в несимметричную спираль.
Розенхедом") были выполнены расчеты в предположении, что поверхность раздела вначале имела синусоидальную форму. Развитие спиралей показано на рис. 97. 828 Гл, Хй Леустановившиеся нотенциальные течении 15. Устойчивость капиллярных струй. Вероятно, наиболее поразительно приложение методов, изложенных в п. 11 — 14, к вопросу об устойчивости капиллярных струй. Это приложение было изложено Рэлеем в ряде классических работ"). Рэлей схематизировал такую струю (диаметром 1 — 10 мм) в виде цилиндра радиусом а. Он предположил, что распад струй возникает под влиянием поверхностного натяжения, которое вызывает возмушения в виде последовательных радиальных расширений и сжатий струи. Таким образом, он рассматривал возмушения вида т = а + Ь(() ып йх, аналогичные возмушениям вида (!1.25) в теории Кельвина.
Потенциалы скоростей, соответствуюшие таким возмушениям, равны У = = ло(йт) соя йх внутри струи и У' = К,(йт) сов йх вне ее. Они заменяют выражения У = енусозйх и У' = с-носов йх в расчетах Кельвина. Рэлей показал, что такая идеализированная струя статически не устойчива под воздействием поверхностного натяжения т, если ее длина т'. превышает диаметр Р в и раз, и что длина наиболее неустойчивой волны равна приблизительно 4,5 Р. В случае водяных струй соответствующее наиболее неустойчивоевозмушение будет усилено в 1000 раз через промежуток времени 1 = 0,828 Рч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
