Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 63
Текст из файла (страница 63)
'з) Так как впервые в ясном виде этот принцип был сформулиронан Тэйлором [84], который также вдохновил Льюиса [58] на выполнение его экспериментальной проверки. См. также примечание 'з). Исчерпываюшее исследование неустойчивости по Тэйлору было выполнено Биркгофом (В1г ЬЬ о ! ! С., йер. ЕА-1862, 1.А-1927, Еоз А!агпоз Бс). 1.аЬз.). м) В е!1 го а п й., Р е п п) п 91 о и й. 5., ЕЗиагЕ. АРРЕ.
Ма%., 12 (1954), 151 — 162. зз) й 1 а Ь о и с Ь1п з Ь у Р., С. й. Асае(. Яс(. Рог!в, 184 (1927), 583; Згб 1п(егп. Сопит. Арр1. Месй., 51осййо1т, 1930, чо1. 1, р. 149. См. также Нет. !с Ь е и й о В., С. й. Асае(. 5сб Раггз, 184 (1927), 1314, зэ) См. [47, стр. 311].
") В1гййо11 Сх. ЕЗиагЕ. Арр(. Ма(А, 12 (1954), 306 — 309; см, также В е пп!е А М., Ргос. Сотвг, РЫ! Бос., 49 (1953), 151 — 155; Р1ев ае( М 5., При.ыечанил М11сйе11 Т. Р., 4)иаг1. Арр!. Ма№., 13 (!956), 419 — 430; ).а у хе г В., Азгго- рйуз. У., 122 (1955), ! — 12, о ) Слг. 2 тт 1 с 1г 5. А., Р 1 е з в е 1 М, 5., У. Ми1И, РИуз., 33 (1955), 308— 330; Е 111 з А. Г., СаВесЬ. Нубго. ЕаЬ.
)(ер., С!т. ХЧ, $ 4. 4з) В1г(гЬ о(1 О., Яиаг1. АРР1. Май., 13 (1955), 451 — 453; см, также Р1е за е( М. 5,, У. А рр1. Рйуз., 25 (1954), 96 — 98, м) [51, гл. Х!1, в особенности 9 376 н следуюшне]. Метод Чжинса иссле- довался в работе Во з не !а п 6 5., Ногзйе угй.-Айат., Оз!о, Ма№;Ниг, Кгоззе, № 7 (1931). См, также С Ь а п 4 г а не й Ь а г 5., Ргос. Сатуг. РИ11 5ос., 51 (1955), 52 — 78; ()магг. У. Месй. а.
Аррг. Май., 8 (1955), 1 — 2!. м) См. Уе(1ге уз Н., Ргос )7оу 5ос., 107А (1924). 189 — 205; см. также [85, стр 85]; М и п 1г %. Н., У. Матис )7езеагсй. 6 (1947), 203 — 218. О влиянии турбулентности см. работу Е с й а г 1 С.. У. ЛРР1. Рйуж, 24 (!953), 1485 — 1494, См. также Е о с й )1., Ргос. СатЬг.
5ос., 50 (1954), !05 — 124. ") В о з е п Ь е а б, Ргос, У[ау. 5ос., 134А (1931), 170 — 192; [31, стр. 30]. В новых расчетах, изложенных в отчете ЕА-1927 (Ьоз А!антон Зсй ЬаЬз.)г модифицируют обычную интерпретацию результатов Розенхеда. 4э) )1 а у!е ! 8 Ь, Ргос, У.оп8, МагЛ. 5ос., 1О (1879), 4 — !3, 19 (1887), 67— 74; [73, стр. 35! — 37!]. См. также гл. ХН, п. 11.
а) 5 ш ! 1Ь 5. 1(г. У., М о аз Н., Ргос. )7оу. 5ос., 93А (1917), 373 — 393; % е Ь е г С., ХаММ, 11 (193! ), 136 — 154; [28, гл. Ч1]. 'э) В!6 о не О., Ехрепепсез змг 1а (оппе..., Топи, 1829; [3); В о и за 5 п е з с! У., Мет. асах), зсг. Рагм, 23 (!877), 639 — 659; )1 а у! е1 9 Ь, Ргос, 17оу. 5ос„29 (! 8791, 71- — 97; Ы е ш е п у! Р., %азвегЬан!(сйе 5!гошнпдз)ейге, Т. Ч!; (й а 4 э У., У, РИуз. 5ос.
)арап, 5 (1950), 259 — 262; 439 — 442; Е г ! с 1т з о п У. 1, У. )7а1. Мссй. Апа)., 1 (1952), 521 — 538; М с Ы очи п .!. 5., 1.)п 8 5. С„Ноийе Мапсйе, (! 955), 775 — 781. м) К е 1ч 1 п, РИ11, Май„10 (!880), 155 — !68 (или [85, стр. 152]); см. также [51 $ !58 1591 зэ) А с й е ге( У., !пу. Агсйиь 1 (1930), 399 — 402; В 1 п п ! е А.
М., Ргос. Доу. 5ос., 205А (1951), 530 — 540. з ) Ео х, М о г и а п, Яиагг. Арр(. И(агй., 11 (1954), 439 — 456; эта работа продолжает предшествуюшее исследование АЬ )ото С. М,, На уев %. О., ТесЬп. Еер. оп Соп1гас1 Ыуопг-35807, Вготчп ()п!ч., 1951. Неустойчивые следы (каверны) Кирхгофа изучались также в работе 97 о об з ).. С., Ргос, 17оу, 5ос., 220А (!955), 152 — 180; [9*). 'з) 5 с Ь а 11е г А., С а ш Ь е) А.
В., Уг1 РгориВюп. 25 (1955), 284 — 287. ") В е п) а ш) п Т. В., Б г не!! Г„ргос. )7оу, 5ос., 225А (1954), 505 — 515, Задача впервые рассматривалась Фарадеем [Г а г а д а у М., РМ1. Тгапз. (1831), 319). ГЛАВА Хн Установившиеся вязкие следы и струи эквивалентно предположению о существовании функции тока Р(х), удовлетворяющей в плоском течении соотношениям э) дР дь' — =И вЂ” = — О ду ' дх (12.2а) 1. Постановка краевой задачи. В гл.
ХП вЂ” Х1Ъ' рассматриваются следы и струи, состоящие из той же жидкости, что и основной поток. Теория движения таких следов и струй основывается на уравнениях Навье — Стокса и почти полностью не связа на с теорией гл. П вЂ” Х1. В гл. ХП вЂ” Х!Ч главную роль играют понятия вязкости, завихренности и турбулентности, которые в гл, и†. Х1 не принимались во внимание. Соответственно понятия потенциала скорости и свободных линий тока (связанных с разрывом скоростей) не встречаются в гл. ХП вЂ” ХГЧ, Причина этого изменения заключается в том, что, как объяснялось в гл. !, п. 7 и в гл.
Х1, п. ! ! — !4, уравнения Эйлера, строго говоря, могут применяться только к кавитационным течениям и жидким струям в газах, но не к следам и струям, состоящим из той же жидкости, что и основной поток. Простейший случай, рассматриваемый в этой главе, это случай ламинарного течения несжимаемой жидкости, При этом уравнения движения Навье — Стокса для поля скорости и(х) приводятся к виду ') р у иа — '=рр'и — — .
%'1 днн др а дха ' дх~ (1 2.1) В уравнении (!2.1) предполагается, что плотность р и вязкость р постоянны, т. е, изменения температуры предполагаются малыми. Анализ ограничен случаями плоских и осесимметричных течений. В этих случаях условие несжимаемости с~й дх — б1х и = О (12.2) к. Кригикескиб обзор а в осесимметричном течении — соотношениям б)г б)г — = ги, — = — гте.
бг (12.2б) Уравнения (12.1) и (12.2), выраженные через функцию тока )г(х), эквивалентны в плоском течении уравнению .е~ б (Ъ; те)г) б(х, у) (12.3а) а в осесимметричном течении (б2) — уравнению с) ()г, г еЕеМ) б(х, г) (12.36) В соотношениях (!2.2б) и (12.3б) использованы цилиндриче. скис координаты х и г, якобиан д(/, д)/д(х, г) = (д//дх) Х Х (д/1/дг) — (д//дг) (дп/дх); оператор Ез = д'/дх' + д'/дг'— — г'д/дг. дифференциальные уравнения (12.3а), (12.3б) должны быть дополнены условиями на твердых границах Ъ' — сопя(, — — 0 (или 7)г — О).
дЪ' Условия (12.4) выражают соответственно условия непроницаемости и отсутствия скольжения. В сочетании с условием на бесконечности и(оо) = ('(/,О, 0) уравнения (12.3а), (12,4) и (12.3б), (12.4) определяют две возможные краевые задлчи для уравнений в частных производных, аналитическое решение которых можно считать нашей конечной целью. 2. Критический обзор. К сожалению, только что поставленные краевые задачи оказываются очень трудными, Хотя теоретически показано, что их решения существуют'), единственность этих решений до сих пор не доказана.
Следовательно, мы даже не знаем, являются ли эти задачи математически корректными, Более того, физически эти задачи, конечно, ставятся некорректно, за исключением области малых чисел Рейнольдса. Из эксперимента известно, что реальные следы и струи становятся неустойчивыми выше некоторого критического числа Рейнольдса Кекр,, яаходяшегося обычно в диапазоне 25 < кекр < 1000, При Ке > )се„р течение становится зависящим от времени (периодическим или турбулентным) и поэтому уравнения (12.3а) и (!2.3б) просто не применимы, Эта зависимость течения от времени иллюстрируется на рис. 99, где даны примеры мгновенных фотографий следов за круговыми цилиндрами при различных числах Рейнольдса4).
336 !я Л!!, Установившиеся оязкие следы и седки Наконец, не известно ни одного частного аналитического решения граничных задач, поставленных в п. 1, которые описывали бы следы или струи'). Данные ниже аналитические решения, за исключением п. !5, относятся к различным приближениям уравнений Навье — Стокса(12.!).
Среди этих приближений можно упомянуть приближение Стокса (п. 3), приближение Рис. 99. Следы позади кругового цилиндра ири различных числах Ке с 50. Озеена (п. 5) и приближение пограничного слоя Прандтля (п. 8). Первые два из этих приближений линейны. В принципе можно также надеяться получить приближенные решения уравнений (12.3а), (12.3б) численными методами (см. гл. 1Х) Этот подход применялся, главным образом, к следу за круглым цилиндром').
Тем не менее, по-видимому, будет трудно строго оправдать использованные методы расчета, особенно 3. Следы в ползущих течениях и соответственно Е4Ъ'=О. (12. 5б) Рассмотрим сначала краевые задачи, определяемые уравнениями (12.5а) или (12.5б), условиями (12.4) и соотношением ига п(х)=(и, О, О), (12.6) соответствующим данному приближению'). В осесимжетричнозн случае, как можно показать'), эта задача является корректной.
Иначе говоря, уравнения (12.5б) и условия (12.4) и (12.6) определяют для данного осесимметричного препятствия одно и только одно ползущее течение. Кроме того, при Ке « 1 теоретические расчеты течений очень хорошо согласуются с наблюдениями. Легко показать, что ползущее течение около любого препятствия, обладающего продольной симметрией, само будет продольно симметричным (ср. рис.
100 и [60, рис. 3]). Это следует из инвариантности уравнения (12.56) относительно подстановки — 1~, р — — р, соответствующей обращенному течению. Кроме того, могут быть определены аналитически в замкнутой форме различные специальные осесимметричные ползущие течения. Наиболее важным является случай движения шара, рассмотренный Стоксом.
В сферических координатах ()7, ф, 2) это решение имеет вид гйз 3, а'1 'й = с/~ — — — агс+ — ! з(п'у, 2 4 4й) (12.7) где а — радиус шара (см. [51, $336 — 338] или [62, 2 19,63]). Радиальные и угловые компоненты скорости равны и ! За а 1 — и = ~1 — — + — ) соз ~у 1т =~ 2Д 2Дз) ав (12.7а) (12.7б) '22 г. визигов в отношении отрыва течения (см. п.
4). Кроме того, проведенные расчеты содержат до некоторой степени произвольные предпосылки, касающиеся поведения течения вблизи стенок, которые, как известно (гл. Х111, п. 9). стабилизируют течение. 3. Следы в ползущих течениях. При очень малых числах Рейнольдса Ке « 1 можно предположить, что правые части уравнений (12.3а) и (12.3б) становятся пренебрежимо малыми, так как они имеют порядок квадрата скорости. Это приводит к приближенным уравнениям Стокса для ползущего течения ЧЮ= 0 (12.5а) Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
