Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Все течения вновь аффинно подобны, а все линии тока геометрически подобны. Можно также найти колоколообразный профиль скорости и величину подсоса окружающето воздуха струей (см. рис. 104, б). Андраде и Цянь приближенно осуществили описанную модель втонкой экспериментальной работетв). Для проверки снова требуется заменить течение из отверстия в стенке течением из трубы, эмпирически располагая начало координат после выходного сечения струи и подбирая угол распространения струи, Было сделано также обобщение этой теории на случай течения сжимаемой жидкости" ). Однако количественная экспериментальная реализация таких струй, по-видимому, будет ~рудной. Наконец, отметим, что вязкость должна оказывать влияние на струи жидкости в воздухе. Так, например, Лелли") отметил, что вязкость может уменьшить коэффициент сужения струи из насадка Борца от величины 0,50 до 0,45 (гл, !, п.
1О). 15. Точная автомодельность. Яцеев и Сквайр") существенно улучшили теорию Шлихтинга, получив точные решения уравнений Навье — Стокса при сохранении гипотезы подобия Шлихтинга (!2.27). Их трактовку можно рассматривать как распространение на осесимметричный случай' теории спиральных течений Джеффри — Гамеляза) [7, гл. !Ч, ~ 6) или !31, й 24 и соответствующие ссылки].
Формулы Сквайра наиболее удобно вывести в сферических координатах. В этих координатах предположение (!2.27) принимает вид Гл. ХЫ. устаиовивитиеся вязкие следя~ и струи Радиальная и угловая компоненты скорости равны и = —— тд Ю ту ' (12,36') где д = у/г = э!и $, а штрих означает дифференцирование по р, так что — )' = — с(!зс) Ж Можно показать"), что точные уравне-' ния Навье — Стокса (!2.36) в этом случае математически эквивалентны обыкновенному уравнению (У) =21+((1 — Р)1] — 2С„ (12.37) где с,— постоянная интегрирования (с размерностью давления).
Полученное уравнение после двухкратного интегрирования дает уз = 4рУ+ 2 (1 — рз)~т — 2 (с, р'+ сер+ сз), (12.38) где сь св, с,— произвольные постоянные интегрирования. На оси струи р = 1, с) = О, ив = О, а компонента скорости и„ ограничена. Подставляя все эти величины в (1'2.36'), видим, что !' = ! = 0 на оси струи. Отсюда и из общего решения (12.38) находим с! + с, + сз = О. Рассмотрим еще раз решение (12.38), которое пЮсле дифференцирования записывается в виде Ц' = зт'+ (1 — Р') Ув — (2с,1з + сз). (12,38') На оси струи Д' = 2! = О, как и раньше, в то время как, со- гласно (12.36'), Учитывая это равенство в соотношении (!2.38') при р = 1, получим второе уравнение 2ст + с, = О. В итоге имеем ст+сз+сз=2с,+се=О или с,=с,, с,= — 2с,.
(12.39) Кроме того, в случае отверстия в плоской стенке на ней р = О, условие и, = и, = 0 прилипания к стенке дает ! = !' = 0; аналогичное условие справедливо на любой конической стенке р = К( †! < К < !). Подставляя эти условия в уравнение (12.38), получаем уравнение с1К' + с,К + сз = О, из которого на основании (!2.39) следует, что Ст = Сз = Сз = О.
(12. 40) В случае струи, вытекающей из трубки, согласно условию дифференцнруемостн на оси трубы (р = — !) получим уравнение с, — сьр + сз = — 2с, + с, = 0 и соответственно равенства (!2.40) в результате повторения рассуждений, приводящих к равенствам (!2.39). Таким образом, условие (12.40) является еднн- Примечания ственным, при котором естественные физические граничные условия удовлетворяются ").
Теперь легко проинтегрировать уравнение (12.38), Общее решение имеет вид") 2 — 2р' 2 и!пг 0 а+1 — р а+1 — сов 0 ' г (Р) = (12А1) Единственной неподвижной границей, совместимой с решением (12.41), оказывается стенка трубки бесконечно малого диаметра, О = я. Этим можно объяснить экспериментальный факт, отмеченный в п. 12 и заключающийся в том, что только в случае струи, истекающей из трубки, действительно наблюдаются радиальные линии тока.
Однако даже в этом случае условие и рилипания 1'( — 1) = О не удовлетворяется, но результирующее касательное напряжение действует на «нулевую» площадку и поэтому им можно пренебречь. В других случаях, как можно предполагать, на очень больших расстояниях при 1че ! О получается ползущее течение (и. 11). В решении (12.41) случай струи получается при а > О, где постоянная а соответствует углу распространения струи и является математически неопределенной. При а „'О вблизи оси струи получается уже рассмотренное в и. 13 решение Шлихтинга — Бикли уравнений пограничного слоя; в пределе струя ведет себя как полулиния стоков, расположенных на оси струи. Если это особое поведение на оси струи допускается, то можно уловлетворить граничные условия !(К) = Г(К) = 0 для любой неподвижной конической границы.
Так, например, случай К = О круглого отверстия на плоской стенке был рассмотрен Сквайром "). ПРИМЕЧАНИЯ т) [51, 621, Мы считаем и иь е = !г их+ йа. а) Ь е г а у 3., А йе таМ„12 (1933), ! — 82, (Новые результаты относительно теорем существования и единственности уравнения Навье — Стокса см. в работах [24*, 37*!. — Прим, ред.) ') Другие примеры см. в работе К и Ь а с Ь Н.
ь., Оо!1, О!ва., 1914; С а ш ! с Ье! С., Еаяихееппа, 123 (!927); Ра не А., Ргос. Яоц. Еос, 144А (1934), 38! — 386; Но ш а п и Г., Рогяск !пяеа!еагшеаепх, 7 (!936), 1 — 1О. ') Точные решения уравнения Навье — Стокса, не относящиеся к следам нди струям, см. в работе м ов е и Ь ! а 11 А„Гаво. 72 Мегп. 5с!.
Ма!Ь., Рагин '! См, [31, 51, 621. Обычные уравнения упрошаготся, поскольку г[[с!! = О,' [18', 25*, 26*, 35*, 38*), Гл. ХП. Установившиеся вязкое следы и струи Оап(Ыег-Ч!!!агз, 1933; В е г Ь е г )1., 5пг цпе)цпез саз д'!п1ейгз1!опс„раг!з, 1936; Ч 111 а 1 Н., Ьецопз знг 1ез йцшдез ч!зциеих, Рагпь 1943. з! В а)гз 1 отч, С ач е, Ь а и 8, Ргос.
)7оу. Зос., 1ООА (1922), 394 — 413; РИ11. Тгаиз., 223А (1923), 383 — 342; 5 о и 1Ь тч е11, 5 ц ~ ! г е, РИ(1, Тгалз.,232А (1933), 27 — 64; Т Ь о гп А., Ргос. )7оу. Зос„(41А (1933), 651 — 669; К а тч а- 8 п11 М., И РИуз. 5ос. 7араи, 8 (1953), 747 — 757; 9 (1954),303; А 11е п О, (Ц., де О,, 5 оп 1Ь тч е11 Е. Ч„Оиаг1, И Месй. Арр!. Ма!И., 8 (1955), 129 — 145. ') В гл, ХП вЂ” Х1Ч мы используем (Г для обозначения скорости свободного потока вместо (обычно не сушествуюшего) потенпнала скорости, ') По аналогии с теорией упругости; см.
5 сЬ год е г К„МаРЬ 2., 48 (1943), 553 †6. э) 1. а д е п Ь и г 8 Р., Апл. г(. РИуз., 23 (1907), 447 — 458; Еахйп Н„там же, 68 (1922), 89 — 119; МсЫ отти Л. 5., а. о!Ь., Ргос. ЧП1Ь 1п1егп. Сопйг. Арр!, МесЬ., Ьпд., 2, 1948, 17 — 29. ") [51, $343] к Ь а ш Ь Н., РМ!. Мал., 21 (1911), 112 — 121. Более полное исследование было выполнено в работе К не а( З„Нагчагд Оос1ога! ТЬез(з, 1952. 'а') См. в гл. ХП1, п. 9 обсуждение различных факторов, оказываюшнх влияние на веркннй предел этого диапазона.
и) Р о р р 1 1., В а у е г 5,-В., Мигисй Айаг(, (Рнз., (1913); В )с Ь 1 е у ТЧ О., Ргос. )7оу. 5ос., 119А (1928), 146 — 156; М 6 11 е г ТЧ., 2. тесл. РИуз., 8 (1927), 62 — 68, а также Маулегпа1!зсйе 51гошнпйз1ейге, Вег'Ип, 1928, 5, 124, где показано расхождение теоретического распределения донного давления с экспериментальным. 'т) Ы !з) Н„Р ог1е г А. 1Ч,, РЫ1, Май., 46 (1923), 754 — 768; 51а п! о п Т, Е., М а г з Ь а 11 О., Ргос. )7оу. 5ос„!ЗОА (1930), 295 — 301. См. также гл. ХП1, п.
11. "] Т о шо1 ! Ь а 5., Яиаг(. И Месй. АРР1. Ма№., 3 (1950), 140 — 161; см. также У а тп а д а Н., Ма! И, )7еоз„15 (1954), 837; Р е а г с е у Т., М с Н и 8 Ь В, РЫ1. Мад., 46 (1955), 783 — 794, и') О з ее п 1Ч., АгМо. [. Ма1„Аз(г., Руз., 6, № 29 (1910); Ы о е1 Ь е г Е., 2, та№. Р)туз., 62 (1911), 1 — 39. мв) О з ее и тЧ,, Нудгодупаш!Ь, Ье)рх)н, 1927; [51, $342 — 343а]. ы) Ф р а н к Ф., М из е с Р., дифференциальные и интегральные уравне. ння математнческон физики, М.— Л., 1937, т, !1, гл. ХП!, 9 2. 'з) Идея о том, что уравнение (12.10) определяет асимптотическое поведение следов и струй, по.внднмому, принадлежит Рэлею (см. [73]).
См. также То!!гп1еп %., НапдЬ. Ехр. РЬув., !Ч, № 1, 1931,269. Исследование, основанное на полном уравнения Озеена (12.8), имеется в работе [31, $249] н данных в ней ссылках, 359 При нечания м) Этот воарос был разработан Бетцем [В е1х А., Л. Р!ил!. Мо!оН., 16 (1925), 42 — 44]. ") См. работу [31, 9 215] и данные там ссылки. Кроме того, см. Ч 11- 1 а 1 Н., Ьесопэ зцг )ез ВпЫез ч!зйпепх, Раг)з, 1943, 224 — 256. Имеются также другие уравнения, дающие лучшее соответствие с эиспериментом, чем уравнения Озеена, но содержащие чисто эмпирические константы, см. С а гг)ег О. Р., 51оч швсоцз Вотч, Р)па! Йерог! оп Соп1гас1 Ыош-653(00), Вгомп Т)п!чсгз!!у, м) ТЧ Ь ! 1е С. М., Ргос )(ау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
