Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. которые имеют функции тока в форме !т =1(3), Можно полагать, что на больших расстояниях от отверстия эти течения Га Х!!. Установившиеся вязкие следи и струи аппроксимируются асимптотическими течениями типа ползущих струй. Рассмотрим сначала случай струи, истекающей из щели. В полярных координатах уравнение (12.5а) записывается в форме ! дт 1 д 1 дг гг Подставляя )! = !(О) в уравнение (12.5а), получаем ггч+ 4Г' О. Полученное уравнение имеет фундаментальную систему частных решений ! = 1, О, соя20, я!п20. Пренебрегая аддитивными постоянными, не имеющими физического смысла, и предполагая симметрию около оси О = О, находим ! Осе — — — ~, )!=а [я!п 20 — (2 соя 2сс) 0].
(12.23) Радиальная скорость и, = 2 — (соя 20 — соя 2а) (12.23') удовлетворяет граничному условию и„= О при 0 = и а, хотя аг = О везде в потоке. Для осесиммегричных ползущих струй с радиальными линиями тока уравнение (12.5б) может быть записано в виде если использовать сферические координаты и учесть, что и = соя О. В случае радиальных линий тока )! = )(1с) написанное уравнение сводится после умножения на г"!'(1 — 1сг) к уравнению (1 — р.')!' ~ — 4!с! + 4г" = О. Помимо сингулярных решений, бесконечных при 1с = 1, уравнение имеет регулярные частные решения 1 = 1, 1с, 1сз.
Следовательно, наиболее общее ползущее течение с радиальными линиями тока, имеющее осевую симметрию, дается соотношением ") Ь' = а (3 сояг и соя Π— соя' О). (12.24) В соответствии с этим радиальная скорость равна и, = —, (соя' Π— соя' и). Зв (12.24') !3. Инерционные»ффекти Заслуживает упоминания тот факт, что в рассмотренных выше радиальных струях имеется локальное обратное течение (т. е. и„< 0) в интервале я — а < 6 < а, если а > к12. Это справедливо как в плоском, так и в осесимметричном случаях. Действительно, согласно решениям (12.23') и (12.24'), поток массы направлен в обратную сторону, если а > 142,5' в пространстве или если !ц 2а > 2а(а > я) на. плоскости.
Представляет известный интерес попытаться построить ползущие струи, соответствующие истечению жидкости из отверстий конечного размера. Исходя из элементарного решения )г = г(0 гбп 0) = хб уравнения (12.5а), Дин") рассмотрел ре- шение )г= (х — а) агс !я ~ — (х+ а) агс !я ~~ . (12.25) Это решение представляет ползущее течен но к выходному сечению [х[< а, у = 0 и тельной к «стенкам» [х[ > а, у = О, как показано на рис. !03. Однако там не выполняются условия прилипания, а именно д(//ду Ф О.
!2. Инерционные эффекты. Поведение вязких ламинарных струй становится значительно более сложным в тех случаях, когда рассматриваются инерционные эффекты. С целью общего ознакомления дадим сначала краткий обзор довольно обширных экспериментальных данных, относящихся к круглым ла- не, которое нормаль- направлено по каса- минарным струям ").
Количественно эти данные не были сопоставлены; кроме Ри с. 103. того, малые скорости делают опыты особенно чувствительными к конвекционным потокам и другим отвлекающим воздействиям. Тем не менее некоторые общие черты очевидны. В случае круглого отверстия (диаметра с() при числах Рейнольдса (се=оФт порядка !О и выше (в зависимости от того, насколько острыми являются края препятствия) в плоской стенке имеется отрыв течения и образуется круглая струя.
Эта струя порождает тороидальные вихри в окружающей жидкости (рис. 104, а); следовательно, она может подчиняться гипотезе подобия п. 10 только вблизи оси. Когда число Ке возрастает до 200 или более, то струя становится более концентрированной и менее устойчивой [50] и, наконец, разрушается и становится турбулентной. Гл.
ХГД Устаковивисиесл влэкие следы и струи Р н с. !04. экспериментального подтверждения этой теории струй, вытекающих из круглых отверстий (98, рис. 9.!2 и !0.3], использовались данные Андрадеээ) для струй, вытекающих из трубы. Кроме того, согласование теории и эксперимента требует вы. бора двух произвольных параметров: угла распространения струй и величины расстояния от отверстия трубы, в плоскости которого помещено начало координат (виртуальный источник) или эффективное отверстие"). С точки зрения этого выбора и того факта, что все дифференциальные уравнения типа уравнений диффузии дают колоколообразные профили скоросзн, упомянутое подтвержленне вряд ли можно считать существенным. Теория Шлихтинга строится следующим образом. Поскольку для струй (7 = 0 и вне струи р = сонэ!, то уравнения (12.17а) н (12.17б) сводятся соответственно для плоских струй к урав- нению ди ди д'и н — +и — =ч —, дх ду дут ' (12.26а) а для рассматриваемого осеснмметричного случая — к уравнению ди ди гдти ди ч и — +и — = ч!! — +г ' — ~.
дх дг ~дг' дгэ'' (12.26б) Первоначально Шлихтинг предположил, что можно попробовать применить гипотезу подобия при р = с) = 1. В цилиндрических С другой стороны, круглые струи, вытекающие из тонких трубок, по-видимому, радиально подсасывают окружающую жидкость согласно схеме рис.
104. б. Слеловательно, такие струи, по-видимому, согласуются с гипотезой подобия, даже далеко от оси струи. 13. Модель Шлихтннга. Шлнхтинг ") построил математическую модель круглых струй, основанную на приближенных соотношениях пограничного слоя (!2.17а) и (!2.17б). Однако для гд. Модель Шлахтанеа координатах (х, г, о) это предположение приводит к соотношению (г = гхй (а), (12.27) М = гй ) иг(х, у)с/у, а для круглых осесимметричных струй") равно Мз=2ай ) иг(х, г) гс(г. о Чтобы М, было постоянно, в (12,286), очевидно, должно выпол- няться условие р = г/, С другой стороны, соотношение р = д = 1 является единственной возможностью совместить р = ь/ с гипо- тезой подобия (12.22).
Подставляя (12.27) в уравнение (12.266), получаем — (йь+ — + — ) = О, если р = г/ = 1. (12.29) д / ь а' ал' г Граничные условия для обыкновенного дифференциального уравнения (12.29) имеют вид ди и=О при тг=со и о= — =0 при г=г1=0. дч Отсюда следует, что постоянная интегрирования в уравнении (!2.29) равна нулю, что дает тйь й'+ йй =(,и — 26+ — 2-')' =о. (12. 286) Дальнейшее интегрирование (см.
(31, 8 57)) приводит к соотно- шению аглг ! + '/ агзг ' где а — произвольная постоянная. Соответственно ьагхгг 2акггхь и= кх'-1- '/гаггг ' (кхг -/-'/,а'г'1' (12.30) (12.30') 23 г. вкркгьа где т) = г/хгчг. Однако к такому выбору величин р, г/ можно прийти также и аналитически (см, табл. 1).
В приближенных соотношениях (12.!7а) или (!2,!76) пограничного слоя, поскольку (/ = О, количество движения Мг для плоских струй равно Гл. ХП. установившиеся вязкие следи~ и струи Частный случай показан на графике рис, 105; очевидно, что все течения Шлихтинга (!2.30) и (12.30') аффинно подобны. Из соотношения (!2.30') следует, что струя пересекает все конусы внутри модели Шлихтинга и что «горловина», соответствующая любой линии тока, находится при г = х)а Поскольку постоянная а произвольна, угол распространения а = агсс!па оказывается теоретически неопределенным.
Таким же является ~~=2'р Г "г ~.= — "- — ". 3 о (12.31) Однако приток окружающей жидкости можно определить. Так как объемный поток равен (,! = 2 т ~ иг с(г = 8 ох, о Р и с. !Оз. (12.32) и=х-ру~ —,1=х ррЯ (в!=у!хо), которая оставляет количество движения струи (12.28а) постоянным и удовле|воряет уравнению пограничного слоя (12.26а). Для такого решения, допуская (как в осесимметричном случае) разделение переменных, согласно (12.22), мы должны иметь 24 — р = 1.
Из уравнения количества движения (!228а) при 2р = д получим, что р = '!о, д = Чо и, следовательно, функция тока равна )г ='х":) (+ = хуку (т), (12.33) то приток на единицу длины струи равен 8яо, Таким образом, воздействие струи на окружающую жидкость совпадает с воздействием однородной полулинии стоков. 14. Ламинарные плоские струи.
Предполагая, что теория пограничного слоя применима и что можно ожидать автомодельное течение, Шлихтинг") и Бнклиоо) построили модель этого течения вблизи оси плоской струи, вытекающей из бесконечно малой щели. Решение снова ищем в виде функции (12,22) 15. Точная авто,чодеяьновть а число Рейнольдса 1величивается вдоль струи пропорционально хчь Определяя компоненты скорости и и о и подставляя нх в уравнение (12.26а), получаем ф" + ффн+ з.ф"'= 0. (12.34) Интегрирование уравнения (!2.34) при граничных условиях ф (О) = ф' (О) = ! иц ф (ч!) = 0 (12. 34') дает общее решение ф (ч!) = 2а!п(ач!), и =, зс1Р(ат!). Зхь (12.35) (е = чгТ'(р), (р = х7г = соз 6). (!2.36) Как и в случае круглых струй, в решении содержится неопределенный угол распространения, соответствующий величине а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
