Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 64
Текст из файла (страница 64)
ИП, Установившиеся вязкие следы и струи Завихренность Ь = (За/2)тт) (7 з1п ф. Лобовое сопротивление В = бя1са(Г, а коэффициент лобового сопротивления Со 24/(хе. Формула для с) имеет погрешность не более бто при числе Ке < 0,3 (31], за исключением поправок. содержащих средний свободный путь пробега, которые должны быть сделаны в случае газа. Точные решения уравнений Стокса были даны также и в других случаях, представляющих физический интерес.
Следует У йд У гд У-йд У=усе Р и с. 100. упомянуть случай жидкого шара, падающего под действием тяжести (51, $337], и сфероида (51, $339]. Кроме того, приближенными методами были рассмотрены также случаи движения шара в цилиндрической трубе' ), движения шара около плоской стенки и движения двух шаров тандем. Так, например, было показано, что более точная формула для лобового сопротивления шара радиуса а в цилиндрической трубе радиуса А а1 при Ке « 1 приближенно имеет вид бяри~ 1+ 2,1 — ]. А]' Однако Стокс показал также, что аналогичные краевые задачи для плоских. ползущих течений, определенные соотношениями (12.4), (12.5а) и (12.6), решения не имеют"). Этот парадокс Стокса будет разрешен в п. 5, б путем более тщательного исследования течения при больших радиусах шара 4.
Отрыв потока. Сначала, однако, мы закончим изучение следов вблизи препятствий, отметив некоторые основные факты, касающиеся отрыва потока при малых чнслах Рейнольдса. Давно известно, что в диапазоне'") чисел Рейнольдса 5<йе<30 поток отрывается за круглым цилиндром или дру- 4. Отрмв потока гим тупым (т. е. необтекаемым) препятствием вдоль отделившихся линий тока (см. рис. 99, б), которые смыкаются за препятствием на некотором расстоянии, увеличивающемся с увеличением Ке'"). Область, ограниченная отделившимися линиями тока, заполнена двумя симметрично расположенными вихрями, вращающимися около некоторых центров.
Рассматривая этп центры как точечные вихри, Феппль в 1913 г. построил теоретическую потенг(ипльную модель таких Р,н с, 101. течений; ее линии тока показаны на рис. 101. Из-за математической простоты этой модели, из-за ее интересной теории устойчивости, а также из-за некоторого ее отношения к вихревым дорожкам (гл. Х111) модель Феппля заслужила большого внимания ").
В общем эта модель дает конфигурации линий тока, которые хорошо согласуются с наблюдавшимися экспериментально. Однако эта модель теоретически необоснована. В реальной жидкости завихренность в вихревых центрах рассеивается, создавая вместо точечных вихрей область медленно изменяющейся завихренности. Вблизи вихревого центра множество полей скорости сходно с полученной конфигурацией линий тока, но это соответствие между предсказанными и экспериментальными линиями тока вовсе не означает соответствия, например, связанных с ними распределений давления "). (То же самое замечание относится и к вихревым дорожкам, рассматриваемым в гл.
ХП1.) Конфигурации линий тока, похожие на конфигурации линий тока, обусловленные стационарными вихревыми кольцами, Гл, Х//. встиновившиесв вязкие следы и струи также наблюдались за шарами и дисками вплоть до чисел Рейнольдса Ке = 200 "). Наконец, последние вычисления Томотико и Аой "), основанные на приближении Озеена, показывают, что отрыв может возникать за круговыми цилиндрами и шарами даже при Ке = О,1, в то время как в прежних расчетах получалось противоположное.
5. Асимптотическая структура следа. Как было замечено Озееном '"), на больших расстояниях от препятствия уравнение (уравнение Озеена) ри —, = ражип — рр ди дх (12.8) дает лучшее приближение к уравнению (12.1), чем уравнения (12.5а) и (12.5б), так как в чем учитываются главные члены левой части уравнения (12.1). Математическая теория линеаризованных уравнений Озеена очень интересна "ь); некоторые ее применения даны в п. 7.
Так, например, произведя операцию го1 над обеими частями уравнения (12.8), видим, что завихренность Ь = У Х и удовлетворяет уравнению /./ —. = чзь. дй дх (12.8а) Аналогично, так как б)ч и = 0 согласно уравнению неразрывности (12.2), из (12.8),получаем т р =рр (б)т ц) — р// д(д дх (12,8б) Это упрощение может быть мотивировано замечанием, что для гладко убывающих величин асимптотически д'/дхт « д/дх; оно будет оправдано в п.
б а роз1ег1ои. О ~евидно, что уравнение (12.8') оказывается просто уравнением теплопроводноети, в котором роль времени играет координата к, направленная вниз Поскольку И/ = О, уравнения (12.8) — (12.85) сохранятся, если мы изменим обозначения так, чтобы ((/+ и, о, ш) = = (1/+ иб иь и,) означало вектор скорости относительно препятствия, а и = (и, о, ш) — вектор скорости относительно неаозмуи(енного потока.
Асимптотическую структуру следа лучше всего изучить с помощью упрощенного уравнения (!2.8а), (12.8') 34! Ю. Асиматотическая структура следа по потоку. Решение этого уравнения возьмем в классической форме Лапласа ") От ~у-зУ ь(х, у)= — 1/ — ) ь(0, т1)е ил а'ч. Используя далее уравнение (12.86) и асимптотическое разложение гармонических функций на бесконечности (42, стр. 269), получаем в плоском потоке р=Р— С вЂ”,+ОЯ (12.9а) а в осесимметричном— р — Р— С вЂ”.+ ( —.). (12.96) В (12.9а) и (12.96) величина Р— давление в невозмущенном потоке, а С и С' — подходящие константы. Таким образом, асимптотически поле давления (на бесконечности) оказывается полем давления диаоля, Обращаясь теперь к функпии и(х), используем, например, соотношение (12.96), чтобы отбросить член др/дх = О(1/с') в уравнении (12.8), равно как и член'дти/дхт « ди/дх.
Это дает нам уравнение теплопроводности ") для функции и(х) (12.10) Наконец, применяя формулу Лапласа к уравнению (12.10), легко получить (для плоского потока) и(х, у) = — Ах-'*ехр~ — С/4',— „) (12.! 1а) Оно показывает, что завихренность, возникшая на поверхности препятствия, ограничивается параболическим или парабола идальным следом К за препятствием, вне которого завихренность убывает экспоненциально. Это утверждение подтверждается и экспериментально. Вне следа, поскольку там завихренность !", незначительна, можно положить дис/дхя = дик/дх; и, следовательно, в уравнении (12.!) Ч'и,=д(6!у ц)/дх; = О. Из этого следует уравнение Бернулли [гл.
1, (1.13)) в потоке относительно препятствия. Соответственно этому уравнению вне следа р ж Р— уст'и. (12.9) Гл. ХП. Установившиеся вявяие следи и струи М(х)= — р ~ и(х, у)ау, (12.12а) и в пространственном М (х) = — р ) ) и (х, у, х) с/у асг. (12.126) !Интеграл (12.!26) соответствует, например, порыву ветра позади экспресса, проходящего мимо платформы.) Согласно соотношениям (12.1!а) и (12.116), мы должны были бы иметь на плоскости Иш М(х) = рА ( и ) ' (12.13а) с некоторой константой — А.
(Знак минус взят для удобства; см. (12.14а).] Подобным же способом для пространственного потока можно найти гт и(х, г) = — А'х 'ехр( — (/ — г'=у'+х'. (12.116) 4тл) ' 6. Количество движения следа. Покажем теперь, что предыдущие формулы очевидны и что константы А, С и А', С' и. 5 попарно прямо пропорциональны друг другу, количеству движения следа М и лобовому сопротивлению О. Аргументация будет эвристической (более строгое исследование см. в и, 9).
Заметим сначала, что если величины )г и о определить исходя из уравнения неразрывности (12.2) и формул (12.1!а) и (12.!16), то уравнение (12.1) удовлетворяется в следе в первом приближении в том смысле, что уравнение (12.!0) состоит из главных членов уравнения (12.!). Вне следа, где в первом приближении имеем потенциальное течение (и. 5), приток массы в след должен быть компенсирован равным радиальным растеканием вне следа. Этот вывод подтверждается при рассмотрении поля давлений "). В радиальном плоском течении и = йх/г' при расходе 2я/ер, в то время как в пространстве и = йх/г' при расходе 4п/ер.
Эти формулы для распределения скоростей согласуются с соотношениями (12.9а) и (!2.96) с учетом формулы (12.9) тогда и только тогда, когда расход растекающейся массы жидкости вне следа равен 2пС/(/ в плоском случае и 4пС'/(/ в пространственном случае. Обозначая через )у' поперечное сечение параболического или параболоидального следа, распределение скоростей в котором определено формулами (12.11а) и (12.116), вычислим количество движения в следе на единицу длины в направлении движения препятствия, в плоском случае 7. Уравнения Овеена н в пространстве— 11ш М(х)=рА'( — '). (12.135) Очевидно, однако, что соотношения (12.12а) и (12.12б) представляют также приток массы в след.
Учитывая предшествующие соображения о расходе растекающейся массы жидкости вне следа, приходим к выводу, что в плоском течении С=р~ — )*А, (! 2. 14 а) а в пространственном течении С' = р.А'. (12.14б) Наконец, мы приходим к эвристическому выводу формул, связывающих А и С, А' и С' с лобовым сопротивлением, обусловленным влиянием вязкости.
С точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно невозмущенной жидкости, количество движения следа (направленное вперед) должно создаваться препятствием со скоростью 0 на единицу времени или со скоростью О/(/ на единицу длины следа. Отсюда и заключаем, что в плоском течении О =2рА~/~~~У =2 С, (12.15а) а в пространственном О = 4ар.А' = 4аС. (12. 15б) С другой точки зрения, предыдущие расчеты показывают, что линии тока на внешней границе следа вытесняются наружу на постоянную величину 5 (на половину так называемой толщины вытеснения следа 25 = М/1/) в плоском случае и на по- постоянную площадь вытеснения А = М/1/ — в пространственном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
