Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Введя в рассмотрение потенциал ускорений, он пришел к неожиданному результату, что давление мингглгально в центре, где находится критическая точка. Косой удар тупых тел был исследован Л. И. Седовым 'т) и Триллингом '4). Полученные приближенные решения этой задачи менее надежны. Во всех случаях предшествующий теоретический анализ не учитывал влияния сжимаемостн (из-за которой максимальное давление не может превышать величины рса, где с — скорость звука в жидкости), а также упругости ударяющего тела, значение которых может быть существенным.
Однако имеющиеся экспериментальные данные'") подтверждают теоретические расчеты с точностью до -~-20о)о для большей части периода погружения тела на одну четверть диаметра. 9. Удар конусов и клиньев. Вертикальный удар конуса о горизонтальную свободную поверхность приводит к очень изящной краевой задаче теории потенциала, если пренебречь влияниями вязкости, силы тяжести, сжимаемости и поверхностного натяжения. Из соображений теории подобия ]?, гл. 1Ч, 5 8] потенциал скоростей можно искать в форме (! 1.20) которая соответствует течению автомодельному при всех 1) 0 где 1 = 0 — момент удара.
Эта автомодельность была впервые введена Вагнером "), который показал, что (для правильных круговых конусов и клиньев) расстояние по кривой на поверхности жидкости между конусом и любой фиксированной частицей не зависит от времени. Для построения всего течения необходимо на неиз. Гм Х!. Неустановившиеся потенциаяьные течения вестной границе решить интегральное уравнение вида ф(у)= ~ [ф(п) с)К(у; ч1)+ Е(у; ч) ~ с(з~. (11.20е) Приближенное численное решение этого уравнения было дано Шифманом, Спенсером и Хиллманомте). Косой удар пластины. или клина также приводит к потенциалу скоростей в форме (11.20) и к интегральным уравнениям относительно ф(у), решение которых связано с определением положения неизвестной свободной поверхности ").
С рсаенасть и Рве. 96. Весьма важно найти закон изменения силы удара г от времени. Простые соображения теории размерности показывают, что Р = ягт для конусов (и Е = яс' для клиньев). Ввиду инструментальных и других трудностей измерений ранние эксперименты") не подтвердили справедливость этого закона, однако экспериментальные данные нельзя считать надежными, !О. Постоянный коэффициент ускорения. Другой класс не- установившихся автомодельных идеальных струйных течений был открыт Карманом" ).
Эти течения определяются потенциалами, имеюшими вид т (х) аг (11.21) Таким образом, ускорение а(~) = с)о/Ж пропорционально 1/тт, а безразмерный ноэффиь)иент ускорения а1~о' (или коэффициент замедления — а1/о') постоянен, Из уравнения Коши — Лагранжа (11.14) получаем фф ° фф — 2йф = сопз1 (11.22) на свободной границе. Предельный случай 6- 0 соответствует установившемуся течению. Проведем аналитическое исследование симметричного плоского течения около каверны с заостренным концом (рнс.96, а).
Всякое течение такого вида может быть конформно отобра- 10, Посгоннныа коэффициент ускорения 32! жено на внутренность единичного полукруга Г на вспомогательной плоскости и (рис. 96, б) так, чтобы смоченная дуга 5А5' препятствия переходила в дугу полуокружности и = е", а свободная гранина 5С5' — в ее диаметр. В связи с симметрией течения бесконечно удаленная точка г = о переходит в точку мнимой оси и = ф, где 0 < () < 1.
При обозначении %' = У + с(э = и(а)/М приведенный комплексный потенциал ш(а) определяется как и в гл. у'1, п. 1О, формула (6.26), по формуле т Тэ+ Дэ (11.23) где В= — (р — р) и Т= — — (и+ и '). (11.23') На свободной границе 5'С5 потенпиал и = ф действителен, и по условию (11.22), обозначая приведенную скорость ~ = = с(в/с1г, имеем Ввиду того что (и+и )(и — и;.') и (и — и )(и+и-')— сопряж. иные комплексные числа при действительном и (и и, = ср, и; = ст или и; = ее'), имеюшие одинаковую абсолютную величину, мы получаем, что на 5'С5 и+и и — и (11.24*и) (и+1~3) (и+г~й ') В случае плоской пластинки, исследованном Карманом и Гилбаргом"), ~ принимает на 5А5' чисто мнимые величины.
В этом случае функиия ~ (и+ сз) (и + ф ') к [(и — и ')+ Г(й+ Р ')) Т'(и) — ! — 1 — 1 с (и+и1) (и — и, ) с((и — и )+(и~ — и1 )1 В (11.24) все члены действительны, с = 4, в точке С, ввиду того, что в ней Т = оо, и К' > — 1 вследствие того, что 5'С5 не содержит критических точек.
Теперь запишемсК= Т, = — (и,+ +и,')/2; ясно, что и, =ст, где О<т<1, если К'<О и и,= = ееэ, где 0 < т < к, если — 1 < К' < О. Кроме того, поскольку Т ч: Т.= — и-' (и и,.)(и+ и-')/2, из формулы (11.24) следует ( ~ ~е — се,, (11.24*) (и+ иП( — и,)(и+ и, ')( — и, ') (и+Гй) (и — ес)(и — еу ') (и + Ох ~) Гл ХЛ Неуетановиоитиеея потенциальные течения регулярна на Г, имеет единственный нуль при и = й чисто мнимая на и = е'* и по модулю равна единице на действительной осн. Такой функцией является (и — !)/(и + !); следовательно, (и — Г) (и + и ) (и — и1 ) 'н=с (и+ Г) (и+ !Э) (и+ !З 1) (11.25) определяет совместно с (11.23) ускоренный поток около плоской пластинки для любых 3 и т, удовлетворяющих укаэанным выше неравенствам.
С другой стороны, путем аналитического продолжения через единичную окружность (при котором Ь(иь-') = — Ьь(и)) и действительную ось любую функцию !(и), обладающую указанными выше свойствами, можно аналитически продолжить на всю плоскость и, причем эта функция будет иметь нуль в точке и = ~', полюс в точке и = — 1 и не будет иметь никаких других нулей или полюсов. Следовательно, )(и) = н- (и — !)/(и + !), т. е. (1!.25) и (11.23) определяют единственные течения рассматриваемого т)ша.
Карман показал"), что существует только один случай, при котором «(С) и г(.1) имеют одинаковые мнимые части. Однако в свете обсуждения в гл. Ъ', п. 14 и гл. Ч!, п. 10, можно ожидать, что в случае твердого криволинейного препятствия число свободных параметров должно быть больше. Поэтому физичегжий смысл результата Кармана не ясен. Действительно, общий случай криволинейного препятствия может исследоваться методами гл. И с использованием формулы (11.24*) для отражения относительно свободной границы; детали этого метода мы опускаем. Течения рассматриваемого типа позволяют объяснить некоторые свойства виртуальной массы ускоренной пластинки 'о). Однако остается неясным их физическое воспроизведение, а также не ясно, может ли быть устойчивым след или каверна с заостренным концом.
Действительно, не ясно, может ли образоваться поверхность разрыва в первоначально покоящейся идеальной жидкости. Этот вопрос является предметом длительных разногласий "! . 11. Устойчивость плоскости раздела. Неустойчивость поверхностей разрыва скорости отмечалась в гл. 1, п. 7 как основная причина того, что теория, развитая в гл, 1! — Х, не может быть применена к реальным следам. Дадим теперь первую количественную теорию этой неустойчивости; см. также .гл.
ХЧ, п. 10 — 12. 11. Устойчивость плоскости раздела В простейшем случае рассматривается единственная плоскость раздела у = О, разделяющая две жидкости с плотностью р и р', в вертикальном гравитационном поле") с интенсивностью у. Предположим, что эти жидкости имеют тангенциальные скорости и, и' и постоянное нормальное ускорение а, направленное в сторону жидкости с плотностью р. Относительно осей, движущихся с горизонтальной скоростью (ри + р'и')/(р + р') и вертикальной скоростью а1, скорости и, и' будут параллельны оси х и будут удовлетворять уравнению ри + р'и' = О.
Рассмотрим относительно этих осей бесконечно малые синусоидальные возмущения у =Ь(1) з(пйх=я(х, 1) (11.26) плоскости раздела. Если пренебречь вязкостью, то давление р удовлетворяет уравнению Коши — Лагранжа в гравитационном поле. Это уравнение в системе координат, движущейся вертикально вниз со скоростью а1, имеет вид р+ Р ( — тт+ — + уу — у ~ = С Я, (11.27) в области у > т((х,1), занятой нижней жидкостью плотности р; аналогичное уравнение можно написать относительно р', р', (7' для верхней жидкости.
Если поверхностное натяжение на поверхности раздела 1 > О, то давление на ней удовлетворяет условию ( дкт ' д'ч (11.27а) При обычных приближениях, принятых при исследовании малых возмущений"), уравнения движения Эйлера и условия на поверхности раздела (11.27а) эквивалентны обыкновенному дифференциальному уравнению дтд дгт ~ (и) Ь где 21ч о (А) = ",, (а' — а)'+ Р— ' —,(а — д) й — т, . (11.28') (Р+ Р')* Р+ Р' Р+Р Случай р' = О, а = О, д > О, при котором 5(в) = — дй и Ь(Ф] = йе (С ехр 1' ~/й(г 11, соответствует классической теории гравитационных волн в океане бесконечной глубины при отсутствии ветра. Мы не будем даже пытаться дать обзор всей обширной литературы, посвященной этому случаю нейтральной устойчивости (см.
(51, гл. !Х]). Вместо этого мы исследуем некоторые виды неустойчивости, которые легче всего поддаются истолкованию с помощью 324 Гк ХЛ Неуотоновиешиеоя потенциольнь~е течения уравнения (1!.28). Наши рассуждения будут основываться на классическом принципе, доказательство которого опирается на теорию рядов Фурье" ), состоящем в том, что условием неустойчивости является неравенство Я(й) > О (11. 29) для некоторых й > О.
Отсюда немедленно можно заключить следующее. 1. Относительная тангенциальная составляющая скорости ~и' — и( всегда оказывает дестабилизирующее влияние. Неустойчивость, вызываемая в основном этой причиной, может быть названа неустойчивостью по Гельмгольиум), П. Ускорение в направлении от тяжелой жидкости к более легкой оказывает стабилизирующее воздействие; ускорение в направтгении от легкой жидкости к более тяжелой жидкости является дестабилизирующим. Неустойчивость, вызываемая в основном этой причиной, может быть названа неустойчивостью по Тэйлору ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
