Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 55
Текст из файла (страница 55)
4, осесимметричные задачи струйных течений различными спосо- бами можно привести к решению интегральных уравнений от- носительно функций одной деиствительной переменной. Сначала рассмотрим задачи о течениях с бесконечной "' 5 каверной, для которых в качестве неизвестной функции удобно взять - (7 — х, так как 78 исчезает на бесконечности. Для данной пробной свободной граРяс.
87. ницы 5оо (рис. 87) на линии со'5'05оо ' можно принять распределение ис~очников с плотностью о(х), считая ~р неизвестной функцией. Тогда условие д(7(дп=О на линии 05оо сводится к известному интегральному уравнению Фредгольма относительно функции о(х) м). (Аналогично на линии оо'5'05оо в качестве неизвестной функции можно прини- мать распределение диполей или распределение вихрей.) Затем на свободной границе 5оо следует проверить условие Р(l П/ = 1 и путем последовательных приближений опреде- лить правильную форму свободной границы, Другой вариант метода основывается на предположении, что для построения функции ст достаточно задать распределение источников на дуге 5'05 и на круговом цилиндре г = г(5). Для любого такого распределения можно определить линию тока, проходящую через точку 5, и попытаться выполнить условия д0)дп = О на дуге 05оо и т(7 ° т(7= 1 на дуге 5оо.
Более целесообразный способ заключается в том, чтобы за- дать пробные значения функции ч~ = 7(5) вдоль дуги 5'05 и наиболее вероятной формой свободной границы г = '- й(5) "), Для принятых функций 7(5) и д(5) функция р и производная ду/дп определяются на всей границе о'5'05оо следующим об- разом. Поскольку дУ(дп = О, то ду/дп = — дх)дп на всей гра- нице, На дуге 05 функция о = 7'(5), по предположению.
На ли- НИИ 5со, ЕСЛИ 5 ОбОЗНаЧаст дЛИНу дуГИ, ИЗМЕрЕННуЮ От Гз. Х. Осегилмегричнме течения точки 5, имеем (/- з + сопз1, откуда следует, что о = (з — х) + + у(5) + х(5), Значения функции о на дуге 05'со находятся нз условия симметрии, о(х, г) = у(х, — г). Подставляя найденные таким путем значения дади и д в третью формулу Грина [42, стр.
219], получаем во внутренней области течения Дх, г)= ~ — — О,(х, г; х', ') г/а'— '-- ) у(/,(х, г; х', г')гй', (10.11) где (/, — потенциал кольца источников в точке (х', г') [см, (10,9а)1, (/т — потенциал кольца диполей в точке (х', г'), нормальных к линии 05со, оба нормированные соответствующим образом. Весьма вероятно, что если (!О.11) сходится к предполагаемой функции р при приближении к границе, то (/ = р + х обладает требуемыми свойствами.
Действительно, условие т(l 'РУ= = 1 немедленно выполняется, однако обращение в нуль производной д(//дп пе столь очевидно. Во всяком случае, условие того, чтобы (10.11) сходилось к принятой функции з на границе, является необходимызк Используя этот факт, Левинсон [521 сумел определить асимптогическую рормд осесимметричной каверны при О = 0"). Делая довольно слабые тауберовы предположения о регулярности асимптотической формы каверны, Левинсон показал, что при х — ~-со должно быть г(х) = ( ',~ ' ) ~1 — ' — "" — +О Ы1. (10.12) Кроме того, лобовое сопротивление определяется формулой О (10.12') Более точно, оценка хг'(х)/г(х)/ й+О(х) справедлива только при й = '/,, что дает показатель степени '/, в соотношении (10,12).
Оценка хг'(х)/г(х) = й + О(1/1и х) справедлива только з том случае, когда выполняется формула (10.12). Формула (!0.12') может быть также выведена эвристически путем асимптотического вычисления кинетической энергии на единицу длины течения вокруг параболоида г' = с'х, соответствующего полулинии источников, расположенных за фокусом. 6. Приближенные методы. Практический расчет кавитационных течений основан в настоящее время на менее тонких соображениях. Некоторые важные результаты получаются из законов сохранения (см.
гл. 1, п. 1О, !!); эти законы были суммиро- Я 8 6. Приближенные легода ваны в и. 2. Другие результаты следуют нз нестрогих приближенных соображений. Так, обобщая приближенный анализ гл. 1, и. 11, можно прийти к выводу, что конечные осесилметричные каверны являются приближенно зллипсоидальньо|и и). Предположим снова, что течение происходит в основном в радиальном направлении. В буквальном смысле этому предположению соответствовала бы (радиаль~ая) скорость г = аа/г, где а(х,!) — радиус каверны. При этом возникаю! щая кинетическая энергия на единипу длины была бы бесконечной: тра'а' ~ гс(г)г'=ос.
яа а Чтобы избежать этого противоречия, интеграл ) заменим ", Нааер"а ~ псь а симметрии на интеграл ~ (см. рис. 88); Рвс. 88. а эта замена дает конечную величину удельной энергии, равную тра'а' 1п и. Предполагая, что и изменяется в диапазоне, например 10 — 20 или 15 — 30, !па можно приближенно считать постоянным (это не было бы справедливо в плоском течении). Теперь сделаем еще одно предположение; и кинетическая энергия и (гидростатическая) потенциальная энергия я(р — р,)а' определяются работой, совершенной снарядом против сил лобового сопротивления Р. Это дает уравнение сохранения энергии — аьа'а' 1п п + я (р — р,) а' = Р.
1 Учитывая, что а = и(с(а/с(х), после упрощений получаем ( — ) !пи+Я вЂ” ~ — ) Сп, (10.13) где а — радиус снаряда, или ада ах у Сра~ — Оа р !и я (10А3) Интегрируя и возводя обе части полученного равенства в квадрат, получаем уравнение образующей эллипсоидальной каверны, оси которой находятся в отношении 2А /т'. = )/Я)!пи, где А„, — ширина каверны, 1.
— ее длинз. Экспериментально Гя. Х. Осееимметричные течения установлено, однако, что отношение А„!7., по-видимому, растет как с„а не как ~/Я, что видно из графика, приведенного на рис. 89 'и). Чтобы получить лучшее приближение, можно предположить, что п пропорционально отношению 7.(А . Это предположение мало влияет на результаты предыдущих вычислений, однако Рнс. 89. По оси абсцисс: я; цо оси ораииат: яыд. полностью изменяет результаты, полученные аналогичным спосабом в плоском течении. 7. Струи, истекающие из конических отверстий. Наиболее обстоятельно изученным осесимметричным течением является, вероятно, струя, вытекающая из круглого отверстия в плоской стенке с острой кромкой (см.
рис. 85,а). Коэффициенты сжатия и расхода такого течения изучались на протяжении столетий. Если эффекты вязкости, поверхностного натяжения и тяжести малы и если отверстие имеет острую кромку, то измеренный коэффициент сжатия С, равен приблизительно 0,61 "), как в аналогичном случае (гл. 11, п. 5) плоской струи, истекающей из щели.
Соответствующее отношение диаметров равно приблизительно 0,78. Многочисленные авторы провели теоретические исследования, подтвердившие экспериментальное значение С, = 0,61. Заслуживают особого упоминания работы Треффтца"), Саусвел- д Соударение мруй ла и Вэйси [79, пример 3), а также Роуза и Абуль-Фету" ). Эти авторы применяли методы интегральных уравнений (и.
4), релаксацнонные методы и методы моделирования в электролитической ванне. Было также рассчитано релаксационными методами (79, пример 2) осесимметричное свободное течение из насадка Борда (гл. 1, п. 10), Кроме того, Роузом и Абуль-Фету" ) была рассчитана струя, истекающая из круглого отверстия в центре диска на конце круглой трубы, причем использовались релаксационные методы и моделирование в электролитической ванне. Во всех случаях коэффициент сжатия струи незначительно отличается от коэффициента сжатия соответствующего плоского течения (течения Рети). Это наводит на мысль, что тот же самый принцип справедлив для струй, истекающих из конических отверстий, образующие которых составляют произвольный угол 8 с осью симметрии.
Кречмер даже считал, что осесимметричные струи могут быть рассчитаны, исходя из известных плоских струй, на основании предыдущего принципа соответствия плошадей"). Если ф(х, д) есть функция тока плоского потенциального течения, то этот принцип сводится к определению )г(х, г) =у(х, йг'). (1О. 14) Легко показать, обозначая дифференцирование индексами, что справедливо соотношение (г„+ Ь;, — — (г, = ф„„+ 4й'г'ф . (10.14') Следовательно, при У'ф = 0 функция 1'(х, г) (10.14) приближенно удовлетворяет уравнениям движения (10.14), причем для любого й, если производные ф„„или (ь„достаточно малы. Кроме того, поскольку г (1', + (г ) = 4й Э, + г ф„ условие на свободной границе приблизительно сохраняется, если величина г близка к 1/(2Й) (см.
также конец п. 9). 8. Соударение струй. Нормальный удар круглой струи в плоскую пластинку (рис. 90) также был уже неоднократно исследован"). Элементарные соображения показывают, что в случае спокойного течения все количество движения передается пластине. Однако распределение давления и конфигурапия потока также представляют интерес; обычно распределение давления измеряется, а конфигурация течения рассчитывается приближенными методами потенциальной теории. Так, например, приближенные расчеты конфигурации течения были выполнены Рейхом" ), использовавшим разложение в ряд, Шахом "), применнвшим метод интегральных уравнений Треффт- /'я.
Х Осесичи4етричн4яе течения ца 4'), и Леклеркомм), использовавшим моделирование в электролитической ванне. Представляют интерес также различные подобные течения и среди них круглые струи, набегающие симметрично на конические и полусферические чашки, и струи, набегающие под некоторым углом па пластины").
Нормальный удар струи в пластину может рассматриваться как половина течения, возникающего при соударении двух равных соосных круглых струй, имеющих равную скорость. Этот случай был подробно изучен Саваром "), который экспериментально показал, что образующаяся дискообраз! ная конфигурация устойчива. В случае неравных струй образующаяся коническая конфигурация отбрасывается, и обращение этого течения Рис. 90. соответствует разрушению конической оболочки, которая изучалась в теории действия кумулятивных зарядов (см. рис, 86 и гл. 1, п.
10). Интересен также предельный случай, когда одна из этих струй имеет бесконечный диаметр, который соответствует случаю пробивания струей мишени. Ни в одном из этих случаев течение не было рассчитано теоретически. 9. Подводные каверны. Вследствие появления интереса к движению снарядов под водой с большой скоростью значительное внимание за последнее время было уделено осеснмметричпым кавернам и особенно зависимости коэффициентов лобового сопротивления от формы головной части и числа кавитацин Я. Вследствие видимой справедливости формулы С„Я) = = (1+ Я)Со(0) (гл. !, п. 1!) достаточно определить С„(Я) для одного значения Я, например для Я = О. Наиболее ранние результаты получены для шаров Бауэром м), который нашел Сп(0) = 0,30. Этот результат, по-видимому, надежен с погрешностью +-!0%, хотя экспериментальные наблюдения требуют некоторых поправок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
