Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(925) о о 282 Гл. /Х. Применение численных методов Следовательно, согласно лемме 1, (3„ , Ох„ ,)" : « ( л)(х„, вол)' . (9. 30) Однако 0 =. от -.ч и, поскольку «(то) растет вместе с то, то «(ыл) <«(ч). Кроме того, если величина а лежит в пределах, указанных в условии теоремы, то, согласно определению (9.24), «(ч) <1. Производя итерацию, согласно (9.30), получаем (о,~ Ро,) ' «(и/) «(мт) . «(~л-~)(ЗЛА~) ' < -~ « (ч)" (8о 06,) '. (9.31) Поскольку оператор 0 положительно определен (гл. «/11, п. 5, !/ лемма !), то функция (х, ОЛ)а удовлетворяет метрическому неравенству (при гп < п) л л «'/т (/,„— Л,ив(˄— Л ))'/'=( '~, Хти О ~ Х, < 'н- л=тет л л < ь (Ьн, Оол)" (йо Оо,)/' ~ «л-'=(Хо ОЬ,)У'««-., (9.32) л=м+/ н=мч 1 Из неравенства (9.32) видно, что [Х„) образуют последовательность Коши с метрикой (х, Ох)/', откуда следует равномерная сходимость Х„, Согласно лемме 1 гл.
И1, п. 5, из равномерной ограниченности Х„вытекает, что;„= ОХ„и и„=не 'л являются равностепенно непрерывными функциями. Следовательно, для всякого е>0 существует т)(а))0, такое, что из !о' — ал! < т) следует ограниченность ! р„(а')— — 1тл(ол) ! < а для всех п. Если, кроме того, т)(а) выбрано так, что из [о' — .-"! < Ч следует ! Хо(о') — Хв(аи) ! < а, то будет также !)ч„(о') — Х (ол) ! < а для всех л = О, 1, 2 .... В самом деле, последнее неравенство, по условию, справедливо при а = О, и из соотношения ! Лл (а') — хл (ол) !: в ! Нл (а') — Н„(ол) ! + (1 — в) !) л, (о') — / „, (ол) ! по индукции вытекает справедливость утверждения для любого и. Следовательно, функции Х„равностепенно непрерывны, а поскольку они равномерно ограничены, из каждого их бесконечного подмножества можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность (см, работу [49], т.
1). Однако, согласно неравенству (9.32), расстояние [с метрикой (х, Ох)~'! между всеми полученными таким путем предельными функциями равно нулю, и, поскольку они непрерывны, они тождественно равны. !О. Другие методы Ввиду того что предельная функция единственна, последовательность ).„равномерно сходится к непрерывной функции Х и 5), = е ' [$,) — (1 — е) ),[ = В ш е -' [$,).„— (1 — е) ),[ = л-+ ю =-11ш е ' [к„„, — (1 — е)л,[ =>,, что и требовалось доказать.
10. Другие методы. Для решения задач струйных течений применяются и другие численные методы, которые большей частью представляют собой методы приближенного решения уравнения Лапласа РЧУ = 0 в произвольной области либо методом электрогидродинамической аналогии в электролитической ванне или на сетках сопротивлений, либо путем графического построения конформной сетки, либо численным методом релаксации. Поскольку малым отклонениям скорости [70[ вдоль свободной границы соответствуют значительные изменения формы свободной границы, для получения удовлетворительных результатов по указанным приближенным методам, градиенты следует вычислять не менее чем с двумя верными знаками. Это требование точности, по-видимому, ограничивает роль графического метода конформного отображения только получением картины течения в первом приближении.
Ввиду того что свободные границы криволинейны, приближенное удовлетворение условия Р'0 = 0 вблизи границ с помощью электрических сеток сопротивлений также нецелесообразно. Эту же задачу при решении ее методом релаксации в связи с применением так называемых нерегулярных звезд трудно запрограммировать для быстродействующей вычислительной машины, хотя она не представляет серьезных затруднений для опытного вычислителя м), Метод электрогидродинамической аналогии в электролитической ванне может вполне успешно применяться опытным оператором, по крайней мере для построения плоских идеальных течений.
Однако следовало бы предостеречь от попыток разрабатывать эту узко специализированную аппаратуру только для решения небольшого числа задач струйных течений. (Задачи с неподвижными границами решаются на ней значительно легче.) В общем, как метод релаксации, так и точная электрогидродинамическая ванна представляют собой довольно эффективные средства для решения задач струйных течений. Они обладают значительными преимушествами по сравнению с аналитическими методами (гл, 11 — Ч!), заключающимися в том, что по существу отпадает необходимость в решении задачи определе- 284 Гл.
IХ. Применение численных лсетодоз ния парамет ров. Эти методы особенно удобны при исследовании течений в узких каналах, однако ввиду значительного влияния удаленных неподвижных стенок на свободные границы они мало пригодны для получения приближенных решений задач обтекания в бесконечном пространстве (которые, между прочим, обычно содержат меньшее число параметров и поэтому проще решаются аналитически).
Упомянутые методы можно применять также к решению осесимметричных задач (см. гл. Х, п. 7 — 9), задач с учетом силы тяжести (см. гл. У)Н, п. 10) и поверхностного натяжения; релаксационные методы в принципе могут даже быть приспособлены для исследования течений вязкой и сжимаемой жидкости со свободными линиями тока. Однако определение свободной границы, удо- влетворяющей условию ) )71/) = сопз(, должно производиться методом последовательных приближений путем сужения струи там, где ~ Р(7) слишком мало, и отодвигания границы, если оно велико.
Хотя этот метод может быть качественно обоснован при помощи вариационного принципа Рябушинского (4.38), трудно подобрать для него соответствующий алгоритм вычисления. На рис. 84 показана свободная линия тока при обтекании клина с углом раствора 90' в канале, рассчитанная приближенно по двум последним методам "). Оба расчета совпали с точностью до толщины линий в приведенном масштабе. Однако в случае применения этих методов к осесимметричным течениям около диска совпадение оказалось менее удовлетворительным (см.
гл. Х, рис. 92). ПРИМЕЧАНИЯ ') См, С!1 РР)пкег й, Р., Нагоагд Виз!пезз )!ее., ЗЗ (1955), 77 — 88, ') Мы платили также около 10 центов за расчетную точку прв построеннв графиков н епге 1О центов за точку прн подготовке графика к печати путем фототнпнв. ') Работа выполнялась по контракту АТ (30-1)-497 Соде НБХ для Комвсснв по атомной энергии. Численные результаты были опубликованы в отчете Не!гпьо)!з-йау1е!ЗЬ Нотч Мгеагпппез апб еяп)ро!еп!1а)з, йер.
№ 1, Согпрпг, 1аЬ. Нагчагб Нпгел онн приведены в виде графиков на диаграммах 1 — 3 в приложении. Примечания 285 ') Эти формулы предложены Юнгом [!02, стр, 128[, использовавшим работу К е пи е! 1у, Согпр1сх с)гси1аг апй ЬурегЬойс (ипс!!опз, Нагхагд Спим Ргезз, 1914. ') К а р)а п 5., Л)01 Меш. 10818, йипе 20, 1950. В подготовке расчетов участвовал Г. Полячек, е) Совместно с Хартри, предложившим формулы (9.5) и (9.5').
Таблицы действительных неполных [)-функций рассчитаны; см, Р е а г з о и К., ТаЫез о1 1псоп1р!е1е Ье1а (цпс(!оп, СашЬг!дце (тпгч. Ргезз, 1934. ') Задача определения параметров для криволинейных препятствий рассматривается ниже в п. 8. ') Разработка описанного ниже метода и выполнение расчетов принадлежат Лаури и Барта. ') Работа проводилась в сотрудничестве с Аллером, запрограммировавшим задачу, и с Хартри, предложившим различные упрощения и дополнительные численные методы. м) Приближенный интеграл зависит от пути интегрирования, хотя точный и не зависит! и) В!гййо11 Сь, уоипй Р.
М., Зг,, Л МаРь Рйуз., 29 (1950), 217 — 221. Использовалась также специальная программа для перехода от одного ребра к другому. 'т) Численная оценка погрешности была выполнена путем сравнения вычетов гармонической функции Р(<о) и результатов интегрирования вокруг каждого единичного квадрата, м) Как и в случае применения машины Марк 1, предварительная оценка (хотя и очень умеренная) давала не более 50 — 70е . м) Эту работу выполнили Книл и Лаури (Кпеа! 5., Ьаччгу). м) Наг1гее О., 14ишег!са! апа!уиз, Ох1огб, !952, 6 7.2.
(на русском языке см., например, Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 11, Физия ггиз, М., !959. — Прим ред) 'в) Соответствующий результат в случае тригонометрического интерполирования хорошо известен (3 а сй зон О., ТЬеогу о( арргохггпа1!оп, !ч'. У„ 1930, р. !23). Использование тригонометрического интерполирования и формулы (919) рассматривается по Бродецкому, См. [14, 15); В г о 4 е1зй у 5., Ргос.
ЕаТлвигдн МаРь Бос., 41 (1923), 58 — 62; Ргос. 11пд 1п1егп. Сопйг. Арр1. МесЬ., Хит!сЬ, ! 926, р. 527 — 53!. См. также К о з е п Ь е а с1 1., Ргос. )гоу. Бос„ !17 (!928), 417 — 433. Процесс итерации применялся для оживальной формы авторами, указанными в примечании 4) гл. Тг11. Интегральное уравнение Вилла (6.15) исследовалось в работе Р а п о и ар т С.
М., Украинский матем. ж., 2 (!9501, 107 — 117; см. также Кгач1сЬеп йо 3., Алл. (лз1. РоиПег, 8 (1952), 287 — 299. См. также К у ф а р е в П, П., ПММ, 16 (1952), 589 — 598, Гл. /Х. Применение численных методов и) В(гЬЬо!! О., Оо)бь1!пе Н. Н., вагап!еле!1о Е, Н., йенд. зет. то( Тот!но, 13 (1954), 205 — 223. и) Скобки обозначагот скалярное произведение двух функпий (х,й) = ~ х(а) у (а) г(а.
См, [78, теорема 2[. о ") См. Н а пт е1 Р., 1п1ейга1н1е!сйппнеп, ВегИп, 5рбпйег, !937, 5, 66. м) О нерегулярных звездах см. 5 оп(Ь та е1! К. Н., Ве!аха((оп ше(Ьобь !п бйеоге1!са( рйуысь, Ох(огб, !946. Применение метода см, там же, стр. 212 — 226, а также [79]. и) Один из расчетов выполнен Вейси, ар>гой — в работе М а гс Ь е1 Р., Ргой(еше 0359А, 1пь1!(п! В!аВе Рааса!, СЫЙ5 (РагВ), 1949. Определение других течений методом электрогидродинамической аналогии см.
в работе АЬ 6 е1- Н а1! А 6 и ! -Ге!си йЬ, РЬ. О ТЬеь!ь, !ой а 51аге Оп!т., 1949. (Электромоделировапие успешно применяется в плоскости годографа скорости и, в частности, для конформного отображения. Некоторые примеры построения струйных дозвуковых течений газа через решетки профилей, пол»чеоные в 1949 — 1953 гг., приводятся в работе [40*). — Прим. ред.) ГЛАВА Х Ф Осесимметричные течения 1. Типичные задачи.
В данной главе рассматриваются установившиеся осесимметричные струйные течения в условиях малого влияния сжимаемости, вязкости и турбулентности. За исключением п. 1О, влияние силы тяжести также не будет учитываться. Содержание главы можно разделить на две части. В первой части (и. 2 — 6) изложены математические выводы потенциальной теории, физическая применимость которой при отмеченных выше условиях уже обсуждалась в гл. 1, п.
7. К сожалению, методы теории функций комплексного переменного, которые применялись в гл. П вЂ” ЧП, не имеют эффективного аналога в осесимметричном случае, а точные аналитические методы пока что дали мало сведений, представлнюших физический интерес'). Более полезными оказались приближенные аналитические методы (п. 3, 6). В действительности наиболее полезную информацию дает сраанение приближенных теоретических результатов с результатами экспериментов. Для различных частных типов течений, заслуживающих наибольшего внимания, это сравнение производится в п. 7 — 1О. Чтобы дать более ясное представление о содержании главы, перечислим эти типы течений, Одна из наиболее старых гидравлических задач состоит в определении расхода и коэффициента сжатия струи, вытекающей из конического отверстия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
