Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Аналогичное интегральное уравнение для с.зучая периодических волн было дано в работе зг !1!а1 Н., Аал. ьсг'. ес. ногль сир., 32 (1915), 177 — 214. ") В1гййо11 С., Саг(ег Р., Кер. ЪА-1927, Еоа А1агпоа 5сй ЕаЪа., 1956 (а также А Матй. МесЬ., 6 (1957), 769 — 779. — Прим. ред.) "') На движение струй тяжелой жидкости сугцественное влияние могу". оказывать силы поверхностного натяжения. Этот вопрос впервые рассмотрен Н.
Е. Жуковским [12', т. 111, стр. 377[, см. также [9*, $ 50, 10*). — Прим. ред. ГЛАВА ГХ Применение численных методов 1. Общие замечания. Мы уже говорили в гл. 1, п. 15 о том значении, которое мы придаем проблеме разработки эффективных вычислительных методов. И в самом деле, она оказывается, пожалуй, одной из наиболее сложных проблем. Однако в литературе эта проблема освещена очень слабо, и поэтому ее последующее исследование будет основываться главным образом на нашем собственном опыте.
При формулировке вычислительной задачи необходимо, конечно, иметь ясное представление о том, какие величины и с какой точностью должны быть вычислены. Даже в простейшем случае течений Рети (гл, П, п. 7) существенно различать три типа расчетов; 1) вычисление констан1 (коэффициентов сужения, коэффициентов сопротивления и т.
д.), связанных с данной конфигурацией, 2) определение формы свободных границ и 3) вычисление внутренних линий тока и эквипотенциальпых линий или изобар и изоклин. Вычисление внутренних линий тока рассматривается в п. 2, 3; п. 4, 5 посвящены расчету констант (и родственной задаче определения параметров, о которой упоминалось в гл. 1, п, 15); в п. б вычисляются изобары и изоклины. Как будет показано, выбор правильной линии поведения в большой степени определяется уровнем вычислительной техники. Решение задач обтекания криволинейных препятствий (гл.
Л) состоит из двух этапов; решения интегрального уравнения Х=Мт(а) К(Ю) ехр ( — 0Х) относительно неизвестной функции Х(о) и расчета течения при известной функции Х(о). Ввиду того, что второй этап содержит сравнительно мало нового, мы будем в основном рассматривать первый этап (п. 8, 9). Во всех случаях достаточно ограничиваться вычислением трех верных знаков по следующим причинам. Во-первых, только три значащие цифры физически достоверны, поскольку не учитываются такие параметры, как вязкость, капиллярность и т, д.
Во-вторых, числа с ббльшим числом верных знаков просто 268 Гл. IХ. Лроменение ниоленныл методов нельзя представить в графическом виде на обычном листе размером 150Х230 мм (6Х9н). Даже пользуясь пером с очень тонким острием и читая результаты на миллиметровой бумаге через лупу, нельзя получить точность отсчета более 0,25 мм. Вопросы экономики. После выяснения задач расчета проблема выбора эффективных методов вычисления становится в основном вопросом о стоимости.
В связи с этим мы произведем грубую оценку затрат на вычислительные работы. Поскольку эта книга написана в период значительного развития методов вычисления, наш опыт нуждается в некоторых пояснениях. Можно считать, что стоимость одного действия умножения на ручной настольной машине равна приблизительно 2,5 цента, а на электронной машине не более 0,002 цента, т.
е. более чем в тысячу раз дешевле'). Далее, для выполнения 1О' †' операций умножения на ручной машине вычислителкт потребуются месяцы работы, в то время как современная быстродействующая электронная машина может выполнить 10' операций умножения за один †д дня. С другой стороны, требуется затратить много времени для выбора расчетной схемы и программирования всякой новой задачи для электронной вычислительной машины, Наибольшие затраты были у нас связаны именно с этой частью работы '). Поэтому для того, чтобы использовать потенциальную эффективность быстродействующих машин, очень большое значение имеет создание унифьн)ирооанных расчетных схем, приложимых к широкому классу задач, желательно для большого числа расчетных точек.
По этой причине мы сосредоточили особое внимание на задачах типа (3). Перейдем к изложению нашего опыта по решению различных задач этого типа. 2. Каверна за пластиной. Сначала, в !949 г., мы использовали вычислительную машину Марк 1 (Гарвард) ') для расчета линий тока и эквипотенциальных линий в случае каверны за пластиной, составляющей угол а с направлением безграничного потока (гл. П, и. 2).
Наш план состоял в том, чтобы непосредственно подставлять числовые значения, соответствующие прямоугольной сетке в плоскости (е' в конечные выражения для а((е'). Мы предположили, что наиболее простыми формулами для работы на машине Марк 1 являются следующие Т= у~йт, »=Т ~+2С, С=севка, (9.1а) 1(»Ч-)Г»е ), (шГ>0, (9.(б) СТ1 -т Т ! С вЂ” ем е = ~15' — ~ Г + — зо — — !п — —. (9.1в) 28т) 23' 4ьз й — е '" 2.
Каверна эа пластиной 2б9 Однако непосредственное вычисление по этим формулам связано с рядом непредвиденных затруднений, которые мы обнаружили при пробных вычислениях вручную. Во-первых, положение запятой в числе г()й') при а- 0 быстро меняется и уже прн а = 15' запятая перемещается на два знака. Поэтому, например, расчет вблизи критической точки (практически совпадающей с одним из концов пластины, см. диаграмму 2 приложения) при а = 5' становится затруднительным.
Во-вторых, вычисление комплексных значений квадратного корня ес+15= Т= )ТО+ с'и' лучше всего может быть выполнено по алгебраическим формулам (а не по тригонометрическим), В этом случае можно избежать затруднений, связанных с положением запятой, если использовать в расчетах условие выбора, вычисляя сначала (;)= 1, — ((У~ -)-)т'(е'+(тэ), где (;)=( (9.1г) а затем определяя другое неизвестное (5 или ес) из соотношения 2Ю = )т. В противном случае погрешность может сильно возрастать из-за операции вычитания в подкоренном выражении.
В-третьих, необходимо определять ветвь многозначной функции 1п((ь — еео))(ь — е-т")] (2.8). Для этой цели мы использовали неравенство а — г < агп ((~ — вм ) /(~ — е ")) < а. В-четвертых, функция а()й') действительно двузначна на разрезе )т =- О, Ъ ) О. Ввиду этого функцию г()й') приходится вычислять на свободных линиях тока с помощью ручной вычислительной машины.
Лналогичное ограничение, по-видимому, будет возникать при всех попытках вычисления линий тока в разделяющемся потоке. Вычисление координат одной точки на машине занимает около 5 мин (120 операций умножения); при ручном счете с применением настольных машин и таблиц на каждую точку требуется 1 — 1,5 часа. На машине Марк !Ч этот расчет занимал бы менее двух секунд! На границе (на свободных линиях тока и на поверхности пластины) при ручном счете по тем же формулам на каждую точку затрачивается ЗΠ— 40 мин. Однако ручной счет с помощью таблиц часто обладает преимуществами перед расчетом на вычислительных электронных машинах из-за трудностей ввода и считывания табличных данных. Так, пользуясь простыми формулами 4) Т=)' Ж', о = —,а+ —,агссоз(25'Т вЂ” С), Г = С + 51д,в, дт+ 2 сов (29 — а) + '!„сов (4о — и) 2 сэ е 270 Гж !Х.
Применение численных методов вычислитель может выполнить расчет координат каждой точки с точностью до 2 — 3 верных знаков за 5 мин (и за 2 мин для точек на границе). 3. Истечение струй из щели. Линии тока и эквипотенцнальные линии в струях, вытекающих из щели (гл. П, п. 5), были рассчитаны в 1950 г.
на машинах ИБМ Лаборатории морской артиллерии е). Как и в расчетах п. 2, используются только рациональные функции, квадратные корни, логарифмы и арктангенс от действительных чисел. Однако для обеспечения достаточной эффективности расчета необходимо реализовать ряд новых приемов. Так, например, при пользовании формулами Г.+Г '=2й; й=Ае +~ Свят+ 1л точность расчета значительно снижается вблизи точек отрыва, в которых ч = ч=!, ~йЩ = О.
Кроме того, всюду, за исключением окрестности щели, оказалось необходимым использовать асимптотические разложения (см. гл. !чт, п. 3). В струе при а Ф 0 используется разложение г(Ф) = — е '"+ Уае' — 5а — 2(51п 25+ в — 'Ю+ е-и + —.в в' — —.в-'кт+ ..., (9.2а) 2!6 16Ь'з и приаФО г()й") = — 1+ )й' — 2е- кч' — — е- кт — — в-'~" + ..., (9.2б) — м2 а в окрестности критической точки г()йт)= — 2(5+5а) — в-в'+2С)Р' — ек'-+Се'к'+ ....
(9.3) Расчет значений функций г(%") и ~()ао) вблизи щели требовал выполнения около 100 операций умножения на каждую точку (7 мин на машине ИБМ, находившейся тогда в нашем распоряжении), Асимптотические формулы (9.2), (9.3) имеют явное преимущество при расчете остальной части потока. В действительности оказалось, что при ручном счете с использованием таблиц для решения этой задачи имеются преимущества по сравнению с расчетом на машинах ИБМ старого образца.
Однако такое заключение было бы неверно в случае применения более современных машин. 4. Неполные бета-фикции. После накопления опыта по решению задач, обсуждавшихся в п. 2, 3, мы сочли целесообразным рассчитывать все течения с годографом в виде кругового сектора по единой расчетной схеме. Мы начали с попытки при- 4, 1тепалнв!е бета-функции менения общих формул гл. П п. 9, 1О и рассмотрели связанные с ними проблемы расчета'). Данный план вычисления был предложен в работе [91. Применяя формулы (2.29) и (2.32), с помощью таблиц бета-функций В~(т) легко вычислить изобары и изоклины Предварительно должны быть построены таблицы величин Вг (т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
