Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда переменная п(о!+ сН) определяется в той же полуполосе )гп !и (е+ сН)1 < О, О < Ке !и (о+ еН)1 < т, (8.17) что и аналогичная переменная о! = ! !п ~ в случае несжимаемой жидкости Поэтому переменная Т = — соэ п(о! + сН) изменяется в верхней полуплоскости. Следовательно, комплексный потенциал течения с годографом скорости в виде кругового сектора будет удовлетворять, как и в теореме б гл. 111, уравнению вида (и=1, 2 или 3). (8.18) Д (т — т,) э!и и Мо и (и+ !Н) 'й() с( (пм) И (т — т!) !=1 х = — !гп ( ~'э!пы й%) = — !гп (8.19а) Ц(т — тй !=! !/.-.е!е)=! [ (8.19б) Таким образом, х и у оказываются гармоническими функциями ы, хотя и не сопряженными гармоническими функциями.
Из этого следует, что кв дратурные формулы гл. 1Х, п. 6 можно использовать беэ потери точности результата. Кроме того, если з!п о! и соэ о! заменить нх линейными выражениями через показательные функции е" — ', е' — и, то х и у могут быть выражены по формулам (8.16э) и (8.166) в виде интегралов, аналогичных интегралам в случае несжимаемой жидкости (гл.
!1, п. 9), так что и в этом случае возможен аналог конечных формул Мизеса и выражений через неполные бета-функции. Принцип отражения. Если область годографа неоднолистна, то можно применить принцип отражения гл, 111, п. 2 и 3. Рассмотрим течения в односвязной области, ограниченные клином Если использовать квадратную сетку для переменной п(ы+ !Н), то значения Т можно вычислить по итерационным формулам, как описано в гл.
!Х, и. 6. Тогда координаты х, у точки определяются по формулам (8.16а) — (8.16б) путем численного интегрирования гармонических функций 247 е. Кяивояинейние ирепятетвия с = е-' = си-'в = а-"(- — '. ] е-еи ш, т 1+и гв (8.20) где Р. = й + )т н У зависят от числа Маха М = зсЬ ТТ. На свободной границе, на которой 1 принимает действительные значения, т = О. Отсюда, применяя принцип отражения к функции т, почти также, как в гл. Н1 [см.
формулы (6.8а) и (6.8б)], получаем й=ав+а,созе+а сов 2а+ ..., (8.21а) е=а,а!пи+а,з!п2а+ .... (8.21б) На неподвижной границе й Ф вЂ” Н и, следовательно, (8.22) откуда можно вычислить д '=зй( — й)='/е(е "— е"). Затем пчтем интегрирования можно определить длину дуги вдоль (или пластиной) и одной свободной линией тока (мы не будем делать различий между бесконечно удаленными и обычными точками). Вновь используем комплексный параметр 1, изменяющийся в единичном полукруге. Начало координат в плоскости ! соответствует вершине клина (или критической точке па пластине), а точки 7 = н-! соответствуют точкам отрыва, так что граничный диаметр — 1 <1 -:! соответствует клипу, а полу- окружность !11 =! — свободной линии тока.
Тогда переменная Т =. Че(1+ 7-') определена в нижней полуплоскости, а функция тока )т — кусочно постоянна на действительной оси Т. Учитывая это свойство, функцию г!'й)гг!Т можно определить, как и в гл 111 (теорема 2), изучая ее нули (критические точки) в нижней полуплоскости и особенности (разрывы, источники и стоки) иа действительной оси. Аналогично, экспонента е"(и ™) является рациональной функцией 7, нули и полюсы которой можно определить, применяя принцип отражения, как в гл. !11, п. 7.
Исходя из этого, х и у могут быть получены численной квадратурой по формулам (8.19а) и (8.19б). 4. Криволинейные препятствия. Путем аналогичного обобщения методов, описанных в гл. Н1, можно также строить течение газа Чаплыгина около криволинейных препятствий"), Используем снова параметрическую переменную 7 ЛевиЧивита и отметим тривиальный факт, что функции )й'(7) и Й(7) сохраняют свой смысл. Вместо комплексной скорости используем ее аналог 24В Гл. гй!11 Течения сжыиаежой и тяже.гой жидкости неподвижной границы а 1= ~) г) й(1= ~) — (е — ' — еи) г 1 й ~ сое а аго а! с(о = .) 2 Ц (1 — ая сое а) Г е чг'гр'г (а) — е'гагРя(а) ага.
Ц (1 — аи соя а) (8.23) В соотношении (8.23) С соответствует параметру М гл. Ч! и П1; функции Рг(о) и Ра(о) суть Р,(о) = е*нз1п а ! соз а ! '(1 ос з(п а)~ и не зависят от ))т(1). Отметим, что функции Рг(о) не имеют никаких особенностей в интервале 0 <о <к, если 8 < 1. Так, в случае гладкой стенки )а =! и Рг (о) = ен ей и о (1+ з(п а), Е,(о) = е-" з(п а(1 — з1п о). Наконец, используя уравнениедля кривизны йй/йо = — К($) с(11йо и применяя рассуждения, приводящие к уравнению (6.16), получаем аналогичное интегральное уравнение Л= ЕК()Л) [чг(о) е-ог — аа(а) еог!.
(8.24) Здесь ), = — с(О)г(а и ч, (о) = Рг (о)/И (1 — и„соз о); функции 0 =.)Л и ПЛ = г вычисляются по формулам (6.14а) и (6.14г). Кроме того, разрешая уравнение М = зсй Н (теорема! ), находим ен= М '(! + )' 1 — М ), е =М '(1 — )' ! — М'). (8.24в) Р Ра = йр'. (8.25) В результате, мы доказачи следующую теорему. Теорем а 2. Дозвуковые течения газа Чаплыгина около ггрепятствия Р, иягеюи(его кривизну к = К(8) постоянного знака, взаимно однозначно определяются функцией Л(о), удовлетворяюсцей интегральныяг уравнениям вида (8.24) и предшествую- и(им формулам.
5. Политропическое уравнение состояния. Чаплыгин (93] предложил также метод расчета простых дозвуковых течений с годографами в виде кругового сектора, отправляясь от соответствующих течений (гл. 11 и 111) несжимаемой жидкости, для любого газа, удовлетворяющего политропичсскому уравнению состояния ") д Пояитрояияеское урооиеиие сосгоякия Изложим кратко метод Чаплыгина, который был развит также и другими авторами 4'). В случае полнтропического уравнения состояния уравнение Бернулли принимает вид ; = рс(1 — )', (8.26) где (т ) 72 (8.27) 2кт21 т — 1 Уравнения движения в плоскости годографа (8.7) запишутся так: (8.28) ц = — — —,е- е [1 — к (2Р+ 1)1 2 (1 — )2+ С е' Исключая потенциал скорости (I, получаем дифференциальное уравнение для функции тока )с (см.
8.8) — [22 (1 — т) [е,! +, Ъ' = О. (8,29) дк 22 (1 — 2)" е~ Частные решения этого уравнения можно найти методом разделения переменных. Полагая [г = В т"'~2Р (т) з[п (тй + в ), где В и а — постоянные, получаем дчя функции Р обыкновенное дифференциальное уравнение -.(1 — )В «+!(т+1) — (т+1 — 1) 1Р'„,«+ + — т (т+ 1) ре"-„( с) = О, которому удовлетворяет гипергеометрическая функция Р (2)=Е(а, Ь, с; т)=1+а Ьт+ ( + ) ( + )22+..., (8.30) 1 ° 2с (с+1) где а + Ь = т — 8, с = т + 1 н аЬ = — '/28т(т + 1). Поскольку уравнение (8.29) линейно, любой сходяшийся ряд вида ['= ~ В тяч2Р (т) в!п(ту+я ) (8.31) со сходяшнмися производными будет решением уравнения (8.29).
Рассмотрим теперь течение сжимаемой жидкости, ограниченное прямолинейной стенкой и свободной линией тока с постоянной на н. й дозвуковой скоростью ао. Тогда 5 и т поочередно постоянны на границе, Сравним это течение с течением несжимаемой Гл ПВ. Те«гния сжимаечой и тяжелой яийкостч жидкости, имеюшим ту же самую неподвижную стенку н свободную границу с той же скоростью о„.
Комплексный потенциал несжимаемого течения )р~ —— у1+ г(т1 — аналитическая функция от иш = 1п (ь/д„). Предположим, что йт1 разлагается в ряд вида Ж', =у+ тВвц+ к„(е'"') ", й„=В„е", (8.32) то~да функция тока выражается в виде ряда Р, = А -+ В~+ ) В„( — "2 1 з(п (2п~+ а,). (8.33) 'т уч) Таким образом приходим к следуюшей теореме Чаплыгина. Теорем а3. Если ряд (8.33) представляет собой функцию тока несжимаемого течения, ограниченного прямои линией и свободной границей, то ряд Р=А+Ву+ ~ В„( — ) ~„.'" ) з!п(2п ° -1-х„) (8.34) является функцией тока течения сжимаемой жидкости, имен>щего ту же самую неподвижную и свободную границу с той же скоростью на ней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Во-первых, проверим, что функция (8.34) удовлетворяет соответствуюшим граничным условиям. Для т = тс правая часть разложения (8.34) совпадает с правой частью разложения (8.33) и, следовательно, )' постоянна на свободной линии тока. Кроме того, поскольку (Г~ постоянна вдоль прямолинейной части границы о = оа то, очевидно, з)п (2по„+ а ) = 0 для всех значений и. Следовательно, )г также постоянна при о = Чм. Во-вторых, мы видим, что ряд (8.34) формально удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.29) дтя функций тока политропи ~еских течений. Доказательство того, что ряд (8.34) не только формально удовлетворяет уравнению, но и сходится к решению, требует тонкого исследования сходнмости, которое здесь не может быть привсденоз). За примерами приложений этой теории к струям нз шелей и воронок, к струям, набегающим на пластинки и т, д., мы отсылаем читателя к специальной литературе"), Теоретически преобразование (т~ - )г с помошью рядов (8.33) и (8.34) дает также возможность строить кавитационные течения сжимаемой жидкости около криволинейных стенок, исходя из аналогичных несжимаемых течений.
Однако, поскольку форма границ изменяется при этом довольно сложным б. Общее ураанение еаетаяния 251 образом, описанный метод в таких случаях, по-виднмому, не совсем подходит. 6. Общее уравнение состояния. Совсем недавно Берг получил доказательство теоремы существования и единственности для дозвуковых течений сжимаемой жидкости, имеющих более общее уравнение состояния, тем самым обобщая на случай сжимаемой жидкости часть результатов гл.
Ъ'1 и 'нгП'). Приведем теперь это обобщение. Для простоты рассмотрим только симметричные кавитационные течения в неограниченном потоке около (симметричных) стенок с углом при вершине йк. Первый шаг состоит в том, чтобы получить соответствующую систему интегральных уравнений. В этом изложении удобно привести уравнения движения к симметричной форме, принимая за независимые переменные Ь =- ~ (1 — Мэ) ь йц!д и ~у '), тогда — .уу )е'1 Мэ ае Ж~ = ° 1/! М% (8.35б) В частном случае газа Чаплыгина эти уравнения сводятся к уравнениям (8.12).
Определим далее функцию с = ехр ( — (н>) = = ехр (й — 1(~), как в формуле (8.20). Очевидно, что вдоль свободной границы (границы каверны) величина й постоянна, как и в и. 4; обозначим ее через — Н. Первый шаг доказательства заключается в отображении течения симметрично, как в гч. Ъ'!, на единичный полукруг Г, 1» ( < 1, !п1 ! ) О, (8.36) так, чтобы неподвижная граница отобразилась на дугу ! = е" (О <о (и), свободная линия тока отобразичась на диаметр — 1 < 1< 1, а функция Д!) была комплексной аналитической функцией. Существование такого отображения следует из обобгцения') основной теоремы конформного отображения, которая применяется в ее обычной форме, когда область изменения («искаженный годограф») однолистна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
