Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 42
Текст из файла (страница 42)
[24, 25). Эти доказательства почти полностью основываются на методе симметризации. Они сводятся к двум основным этапам: 1) доказательству существования тела, которое обеспечивает относительный минимум выражения н(В) — Я ° объем(В) при заданном Я; 2) 'доказательству применимости формулы (4.44) к этому телу, Сц йирианиькчми лсгсо~С, сьсслсетрссся~Сьл Первый вопрос рассматривается в и.
10 и 11, а второй яв. ляется предметом отдельной работы мь), в которой доказывается, что минимизируюсцая граница описывается аналитической функцией. 1-1апомним сначала определение симметризации, введенное в 1836 г. Штейнером для доказательства изопернметрического свойства сферы"). Определенссе. Симметризацией тела В (по Штейнеру) относительно плоскости П называется получение тела В', образованного отрезками всех прямых М, пересекающихся с В и перпендикулярных плоскости П, середина которых лежит в плоскости П, а длина равна длине пересечения М П В.
Очевидно, что тело В' сямметрячно относительно П. Штейнером была доказана ") следующая теорема. Т е о р е м а Ш т е й н е р а. Симметризация сохраняет объесс тела и уменьшает площадь его поверхности. Площадь поверхности остается неизменной тогда и только тогда, когда тело узке симметризовано. Аналогичным образом можно определить симметризацию для плоской области относительно прямой /.. В этом случае при симметризации сохраняется площадь и уменьшается периметр. Известносс), что многие физические величины, такие, как. например, электрическая емкость или жесткость па кручение, изменяются монотонно при симметризацнп, Аналогично можно заказать, что присоединенная масса при симметризации уменьшается.
Этот результат может быть доказан для пространственного случая [24, и. 4), однако мы ограничимся рассмотрением плоских теченийм). Т е о р е и а 1О. Присоединенная масса идеального бесциркуляционного плоского течения у,иеньшается при последовательной силсметризации препятствия В сначала относительно прямой /., параллельной течению, а затем относительно прямой М, перпендикулярной ему. Д о к а з а т е л ь с т в о, Полагая скорость на бесконечности равной единице и выбирая направление осп х по течению, комплексный потенциал течения в окрестности бесконечно удаленной точки можно представить рядом )т' = г + (т'с/г Ч- ))с,/гз+ .... Функция тока )с = 1гп())т) будет тогда гармонической функцией, обращающейся в нуль на В и равномерно приближающейся к у на бесконечности. Пусть Я = Я(т) — квадрат со стороной 2г и с центром в начале координат, две стороны которого параллельны потоку и который содержит препятствие, и пусть )с,— гармоническая функция внутри Сг, обращающаяся в нуль на В и совпадающая с у на границе 1г.
15 г. ачрььоф 226 Гэ ГГП Теорглм гкирмгвованчл и единственности Легко видеть, что )г, равномерно приближается к (Г прп г- гю н что абсолютная величина (г, никогда не превосходит г. Рассмотрим в пространстве (к, у, г) тело (рис. 78), ограниченное снизу частью плоскости х, у, содержащейся внутри В, и поверхностью г = е~(г,(к, у)~, з )О, сбоку ограниченное плоскостями х = +г и сверху — плоскостью г = зг.
Симметризируем теперь это тело относительно плоскости ку. В этом процессе бо- ковые и верхняя границы л остаются неизменными, так как они уже симметричны. Что же касается нижней границы, то ее плоская часть внутри В заменяется симметризпрованной относи- в тельно оси х областью В', Поверхность а = Ы(г,(х, у)~ —: = Р'. постыл я = е~(',(х, у) ~. функ- ция Г, дифферепцируема с в в квадрате Я, за исключе- нием, быть может, оси х, Рис. 78.
равна у на границе Я и рав- на нулю на границе В'. Уменьшение общей площади поверхности при симметризации приводит к уменьшению площади поверхности г = з~)г,~, поскольку площадь других частей остается неизменной. Поэтому, сравнивая аналитические выражения площадей обеих поверхностей, находим ~ )( + ездку(l ~з)з г(хг(у < ~ ~ )( +в~~ (ГЬ',~з(~ г(хг(у. о в| о-в Ввиду того что площади фигур Я вЂ” В' и Я вЂ” В равны между собой, при е — ~0, пренебрегая членами, содержащими в', получаем 1" ~" (РЯ )здхЫу ~ ~' ~ ( уу )хг(хг(у.
Согласно принципу Дирпхле, это неравенство усиливается, если функцию Г, в левой части неравенства заменить гармонической функпией )г,, принимающей те же граничные значения: / ~ РЬ', ! г(хг(у ( ~ ~ ( у(г,)~г(хс(у. (7,49) о в' о-в ГВ Вариахионние .я, тод, еи.яметриаания Кроме того, ) 1 ~У()т,— у)~'ахи = о-в ~ ~ ~У1тт)'"'ЫхеУу — 2 ~ ~ Р),уу е(х г(у+ ~ ~ е(х г(у. По формуле Грина средний член равен интегралу — 2 ~ (х,(ду/Дп)езз, взятому вдоль границы 1"е, где У, = у.
Следовательно, он равен площади фигуры Я, умноженной на — 2, а последний интеграл равен площади фигуры Я вЂ” В. Таким образом, ) ) )Р()х,— у)~'а'хе(у = о-в = ) ) )ЧЬ',~'егхету — площадь Я вЂ” плогдадь В, где Я =- Я(г). Отсюда и из аналогичного соотношения для )т'„ а также из формулы (7.49), учитывая равенство площадей В и В', получаем уу~д(1" у)~',(х,(у.: / ~ )г7(~l,— у)!'е(хе(у. (750) Прп г-я оо функции )я", и 1т', равномерно стремятся к функциям тока Р' и Р в течениях Эйлера соответственно около В" и В. Остается показать, что обе части неравенства (7,50) стремятся к пределам, являющимся соответственно присоединенными массами В и В'. По формуле Грина (42, стр.
212) (обозначая через Я всю плоскость) получаем ~ ~ Ч ( 1я — у) ~ ' е(х г(у — ~ ) ~ у ()т, — у ) ~ еВхе(у = -и о-в дл + д( ' У) д с с д ~(У ( ')д где С вЂ” контур сечения тела В. Применяя снова формулу Грива и учитывая, что у н Р— Є— гармонические функции, можно 228 го. ггы, !евреям еуигеегвованив и единегвенноеги заменить С любой замкнутой кривой, содержащей В, без изменения величины последнего интеграла.
Таким образом, если считать С аналитической кривой, находящейся на положительном расстоянии от В, то и (У вЂ” !'„), и д(У вЂ” Уе)!дп равномерно сходятся на С к нулю при г- о (см. (42, стр. 2481) и поэтому сам интеграл тоже стремится к нулю. Следовательно, правая часть неравенства (7,50) в пределе стремится к величине й(В) соответствующей присоединенной массы. Аналогичные рассуждения применимы и к левой части неравенства. Это доказывает, что присоединенная масса уменьшается при симметризации относительно прямой ~.. Весь ход этого доказательства остается справедливым также и при симметризации относительно прямой г)4, за исключением, быть может, инвариантности боковой поверхности.
Однако если препятствие уже симметризовано относительно 7., то очевидно, что (У„) < !у(, и поверхность а = е(У„(х, у) ! выступает наружу, так что прямые, параллельные С и проходящие через боковые треугольники, с ней не пересекаются. благодаря этому возникшее затруднение устраняется. 1!. Минимизирующий профиль. Применим теперь теорему!О для доказательства существования плоских течений Рябушинского около симметричных профилей общего вида (см.
Х, гл. 6, п. 12), К Пусть С вЂ” замкнутая кри- вая, симметричная относительвг но обеих осей, составленная пз двух кусочно-аналнтичез, ских "в) дуг 5г и 5,, лежащих вне полосы х = н-т, и двух К горизонтальных отрезков пряЕе мых (рис. 79). Рассмотрим области В, ограниченные 5 = Рис. 79. = 5~ () 5е и двумя варьируе- мыми кривыми Хг и Хь лежащими вне 6, но внутри (х! < т. Будем искать среди всех течений Эйлера при векторе скорости на бесконечности Ь* = 1 и заданном значении коэффициента кавитации Я, такое, кото. рое минимизирует разность й(В) — (,г площадь (В)=В(В).
(7.51) Заметим сначала, что последовательное симметризированпе относительно осей х и р по теореме !О уменьшает В(В), сохраняя инвариантными Ст и полосу !х! <т. Следовательно, 229 /П Л/инимилирую чиа профиль достаточно ограничиться рассмотрением дважды симметризиро. ванных областей В, которые благодаря этому ограничены в каждом квадранте монотонными кривыми, Покажем далее, что множество с(В) ограничено снизу") н что ширина й(В„) каждой минимизирующей последовательности, для которой с(В„) 4 ! = /п1г" (В), ограничена сверху. Действительно, согласно равенству (4.42), величина й(В) + + площадь (В) растет вместе с В и поэтому превосходит значение кй'/4, которое она принимает в течениях Эйлера около поперечно обтекаемой пластинки шириной й (см. (51, гл. 1Ц) С другой стороны, площадь (В) < 2т// и, следовательно, г" (В) )~ к//ь/4 — (1 + /г) 2тй.
При любых фиксированных значениях т и О эти величины ограничены снизу, и для ограниченных Р(5) ширина Й ограничена сверху. Ввиду того что все кривые (В,) дважды симметричны, они определяются функциями у„(х) с равномерно ограниченной вариацией. Следовательно, по теореме Хелли") существует сходящаяся подпоследовательность кривых (В,пм), таких, что также Е(В„,м) ~ 7. Поскольку каждая кривая В„//и обладает двойной симметрией, то в верхней полуплоскости на границе 0 = У„<у, и поэтому всюду )У (<у. Отсюда следует, что функции У„/мобразуют компактное множество, из которого можно выбрать сходящуюся подпоследовательность [42, стр.
267). Переходя к пределу, мы получаем область В с двойной симметрией. минимизирующую Р(В) при любых заданных /,/ и т. Соответственно граница области В будет спрямляемой. Таким образом, мы доказали теорему. Те о р ем а 11. Еу/цествуег область В, обладаю/цая двойной симметрией и имеющая спрямляемую границу, которая минимизирует г(В) в классе рассматриваемых препятствий.
Граница В = В(О,т) может включать в себя прямые х = = ч т или часть кривой С, лежащей в полосе 1х( </п. Однако остальная часть Е/ является свободной границей Для доказательства этого утверждения достаточно, согласно теореме 15 гл. Гь/, показать, что г./ аналитична. Этот важнейший результат содержится в отдельной работе""), в которой использованы методы Гарабедяна и Спенсера (25, 9 5 и 6), но в наших обозначениях, и приводится объяснение некоторых»еясностей. Предполагая кривую л/ аналитической, можно показать существование течения Рябушинского путем исследования зависимости минимизирующего профиля В = В(Я) от числа кавитации /,/ Для этого вывода основное значение имеет следующая лемма, Га !ти терре.ны приеетеаванан а единственности Л е м м а.
Для каждого Я > О имеется единственное минимизируюи(ее тело, непрерывно увеличиваюи(ееся с ростом Я. Для малых положительных !г' кривая Х! является настыв О, в то вре,ня как для больших Я она целиком лежит вне С. До к аз а тел ь с та о. Пусть Р~ и Ре — верхние половины двух разлиеных минимизирующих течений с числами кавптапин Я, н Я,, а Рн Р,— соответствующие им половины областей. Будем переносить Р~ в вертикальном направлении до тех пор, пока О, не будет целиком лежать в Оь Тогда в некоторой точке Р границы 0~ и О, будут иметь общую касательную. По теореме сравнения М. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
