Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Они так- же эквивалентны условию существования потенциала скорости (> и функции тока )с, удовлетворяюсцих уравнениям дсг р, д дх р ду дУ р, д!с (8.2а) (8.2б) ду р дх в которых ре обозначает плотность торможения. Из равенств (8.2а) и (8.2б) перекрестным дифференцированием получим (ри,),+(ри,),=О. (8.3) Рассматриваемое течение удовлетворяет уравнениям движения Эйлера для пхссмаемой невязкой жидкости тогда и только 1б г, внрмсоф 1.
Уравнения годографа. Многие методы гл. 1! — ЧП могут быть применены к исследованию дозвуковьсх течений сжимаемых невязких жидкостей. Это будет показано ниже в п. ! — 7; сверхзвуковые течения (которые связаны с ударными волнами и другими усложнениями) будут рассматриваться в п. 8 — 9. Кроме того, некоторые из методов гл. 11 — Ч1! можно применить к свободному движению несжимаемых невязких жидкостей под действием сил тяжести; это обобщение будет рассмотрено в и. 10, 11. В дальнейшем мы будем рассматривать установившиеся безвихревые плоские течения невязкой жидкости.
По-прежнему будем считать, что р обозначает плотность, а и, о — компоненты скорости соответственно в направлениях осей х и у. В этих обозначениях локальные условия отсутствия вихрей и сохранения массы эквивалентны уравнениям сс =о„(ри)х+(ро) =О, (8.1) Гл. Ггг!.
Течения еоеияоежой и тяжелой жидкости тогда, когда давление удовлетворяет уравнению Бериул.ти, д~д+ — -О, др Р где г) = 1 и~+ее — местная скорость течения. Течеггие яв- ляется изэнтрааическим ('по обычно означает адиабатичность) тогда и только тогда, когда р и р связаны уравнениелг состоя- ния ') в виде р = 1(р), где 1(р) — возрастаюшая функция р. Производная 1'(р) = агр!агр = с' равна кггадрату местной ско- рости звука с, так что М = г)/с — местное число Маха.
В дозву- ковых течениях всюду выполняется условие М ( 1; такие тече- ния будут рассматриваться в п. 1 — 7. В интегральной форме уравнение Бернулли для изэнтропи- ческого течения сжимаемой жидкости, очевидно, имеет вид Ф+ ('! (Р),„ 2 .Г ю (8.4) где р=!(р) и А — постоянная Бернулли, Из этого уравнения следует, что г), р, р и М являются однозначными монотонными функциями друг друга (сяг.
формулы (8.11), (8.1!') и (8.26), (8,27)1 Выполняя необходимые подстановки в уравнение (8.3) е 2 2 и учитывая, что г7 =(г,+ (э,, получаем нелинейное дифференшгальное уравнение относительно потенциала скорости (1, которое в случае дозвукового течения имеет эллиптический тип. Известно, что предыдушие уравнения движения становятся линейными, если в качестве независимых переменных взяты компоненты скорости, Вводя, как и в гл. П вЂ” 'тг11, комплексную скорость "=!с — рв = гуе (8.5) из соотношений (8.2а) — (8.26) получаем г. ! =( — Рв) (х+ (. + .) (у = !б!+ г —" )К Р с(з = г(х + г агу = ".
' ~Н/+ г' Рю аг)/) . (8.6) На основании этого выражения, а также на основании тождества з =в сразу получим уравнения движения в плоскости ею юе годографа скорости — — — (8. 7) дГГ Рюа д)Г дт р до д(! Рю(1 'М ) тем дР РР де Эта формула дает выражение полного дифференциала комплексной координаты 2. Уравнение состояния Чанамгина которые напоминают уравнения Коши — Римапа. В самом деле, в несжимаемой жидкости М = 0 и ра/р = 1, так что онн становятся в точности уравнениями Коши — Римана в сопряженных независимых переменных )п г/ и о.
Хотя предыду1ций вывод является строго локальным и может быть даже затруднен, если якобиан д(г/, ь)/д(х, у) обращается в нуль или в бесконечность, мы будем избегать случаев, в которых такие затруднения возпикаюта), пРименяя уравнения (8.7) только к дозвуковым течениям. Исключая потенциал скорости (/ из уравнений (8.7), получаем уравнение относительно функции тока (8.8) Несколько частных решений уравнения (8.8) можно получить сразу. Так, например, радиальное течение определяется соотношением )т = йнт, которое, очевидно, удовлетворяет уравнению (8.8) для любого й.
Далее, локально безвихревое течение одиночного «ихря с концентрическими круговыми (свободными) линиями тока можно получить ]учитывая, что р = р(г/)] путем интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения раг/г/(г = ре(г/ или .~(а ) г/ ](н) (8.9) В более общей форме, любая линейная комбинация Г= й. + Ат]г (г/) представляет собой течение, аналогичное вихреисточнику, со с«иральнытти линиями тока, которые конгрузнтны друг другу прн вращении их около неподвижного центра симметрии.
2. Уравнение состояния Чаплыгина. В гипотетическом случае идеальной жидкости, уравнение состояния которой имеет специальную форму Чаплыгина [93] на /з = ра (8.!О) предыдущие уравнения сильно упрощаются' ). Действительно, как будет показано ниже, математическое исследование оказывается не более сложным, чем в случае несжимаемой жидкости. Очевидно, что са = /'(р) = /га/р', откуда М = г/р/я. Кроме того, уравнение Бернулли (8.4) сводится к уравнению дт ! /га '2 рн (8.11) Гл.
рууу. Течения ежи.ноевой и тяжелой жыдкости Следовательно, обозначая С = — 2А, получаем Таким образом, в зависимости от выбора знака константы Бернулли С течение будет везде только дозвуковым, звуковым или сверхзвуковым; в п. 1 — 7 мы рассмотрим только первый случай, соответствующий С > О. Согласно соотношенику (8.11') при М = О величина С//ее=. = 1/рое. Следовательно, уравнения (8.7) (с учетом (8.11')] приводятся к уравнениям вида д/У рч дЬ дУ р д!е дну ро'у дт де р до Вводя новую переменную Ь = ~ (р/ро)с/чу/чу, которая однозначно определяется скоростью чу или плотностью р, получаем уравнения Коши — Римана дУ д1е (8.1 2) Вводя комплексную переменную так называемого псевдогодографа м= о+/й, (8.13) видим, что Ф'(оч) является аналитической функцией комплексного переменного, как и в несжимаемой жидкости.
Теперь выберем единины измерения так, чтобы было р, = = й = 1; тогда уравнение (8.11) сводится к равенству уе = = р ' — 1, поскольку — 2А=С=йе/рт,. Очевидно, что тогда и, обратно, получаем выражение плотности р в зависимости от переменной ук ! сея р= — = — !'пй, откуда су= — ас(тй, (8.15) 1+ тя причем й ( О соответствует чу > О и М = зсп й < 1.
Поскольку су-' = — з!! й и ро/чур = сй й, обращаясь к формуле (8.6), получаем с/х = — зп Ь соз р с/с/ — сй Ь а)п р с/)/ = — 1гп (а)п м с/У), (8.16а) с/у = — ай Ь а)п чр Нl+ сй Л соа т сук' = )гп (соз м с/Ф). (8.16б) ,3. Течение около клиньен у=зйН / з)пой(л', (8.16в) х=зп Н~созуН/, где р((/) — та же самая функция, что н в данном несжимаемом течении. Следовательно, свободные линии тока этих течений геометрически подобны и находятся в отношении 1: зп Н. Далее, толщины струй (измеренные поперек эквипотенциальных линий) возрастают в сжимаемой жидкости в отношении 1: сй Н, в то время как отношение их длины к толщине умножается на отношение плотностей р/р, = — (п Н.
В частности, если область годографа скорости расположена по одну сторону от прямой линии, проходящей через начало координат, то соответствующее течение сжимаемой жидкости не будет иметь самопересечений в физической плоскости. 3. Течения около клиньев. Ббльшую часть результатов гл. П и !11, относительно струйных идеальных плоских течений около клиньев можно обобщить с помощью теоремы ! на любой газ Чаплыгина, удовлетворяющий уравнению состояния вида (8.10).
(с!тобы упростить формулы, мы продолжаем считать, что единицы измерений выбраны так, что р, = С = й = 1.) Даже численный расчет по существу не оказывается более трудным. Изложим теперь это обобщение. Годограф в виде кругового сектора. Сначала рассмотрим любое течение, имеющее годограф в виде кругового сектора Отметим, что поскольку вообще !дх/д(/! Ф !ду/д)г1, то г()е') не является аналитической функцией комплексного переменного. В принятой нормировке (й = !) случай несжимаемой жидкости не является предельным.
Теорема 1. Пусть функция )Р'=-/(Ц определяет несжимаемое течение Ф, максимум модуля скорости которого !й! =. ! достигается на свободной линии тока. Тогда при каждол~ числе Маха на свободной линии тока М = зсп Н < 1 существует течение идеальной сжимаемой жидкости (8.10) при й = 1, определяемое колгплексным потенциалом )ь' = /(ен — '").
Оно имеет ту же самую область изменения )Р; геометрически подобные свободные линии тока и те же самые направления скорости на бесконечности, как и течение несжимаемой жидкости Ф, Доказательство. Согласно формулам (8.12) и (8.13), )Р' = /(ен — ' ) определяет для )Р'=1)п (е-н~) течение Ф' идеальной сжимаемой жидкости (8.10). Кроме того, )Р' и в будут одинаковыми в соответствующих точках Ф и Ф', включая и бесконечно удаленные точки. При ф! = 1 имеем 6 = !ш(в) = — Н, что дает свободную линию тока течения Ф' с числом М = = — зспН и 24б Гл. КНД Течения сжимаел!ой и тяжелой жидкости с центральным углом и/и. Путем поворота можно добиться, чтобы угол находился в пределах О < о! < к/и, а величину й па свободной линии тока можно считать равной величине — Н < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
