Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Лаврентьева (гл. 1У, и. 12) скорости в точке Р удовлетворяют неравенству о~(Р) < а,(Р). Аналогичным образом, смещая Р, относительно Рь найдем точку й, для которой е),(Р) < д,(Й). Точки Р и Р соответствуют максимуму и минимуму расстояния по вертикали между двумя профилями, !1оскольку свободные границы в каждом квадранте строго монотонны, эти экстремальные расстояния не могут достигаться на вертикальной прямой, пересекающей один профиль на свободной линии тока и другой — на горизонтальной части кривой С.
Единственные исключения могут быть в случаях, когда экстремальное расстояние равно нулю или когда точки Р или Р лежат на мнимой оси, что соответствует совпадению одного нз профилей с О. Из сказанного следует, что если бы ни одна из областей первоначально не содержала другую, то обе точки Р и й находились бы на свободных линиях тока и были бы справедливы соотношения у~ (Р) = ч! ф) = (! + (н)1) е)2 (Р) чн (Й) (1 + е2) противоречащие полученным выше неравенствам. Следовательно, либо О~ содержит Оь либо наоборот; будем считать для определенности, что Ре ~ Оь так что по первому неравенству Ч1(~ ) < ч2( ) (!+(еч) Если минимизирующий профиль для течения Р, не совпадает с О,то у,(Р)=(1+9,)у* и Я, < !'),.
Если минимизирующий профиль для Р, совпадает с О, то по вариационной формуле (7.4!) (примененной к прямолинейной части границы) должно быть (1+(г,)' < д,(Р) н снова В<Я. Следовательно, если минимизирующие течения различны, то и соответствучощне пм числа кавнтации пе равны друг другу, 11. Пипи.ииэирдюький профиль .З1 что и доказывает единственность решения, Кроме того, так как меньшей области течепия соответствует большее Я. то минимизирующее препятствие увеличивается вместе с чис:юм кави. тации. Чтобы показать непрерывную зависимость минимизируюгцего профиля от Я, рассмотрим последовательность Яп, сходящуюся к положительному числу Яо. Так же как и в доказательстве теоремы 11, соответствующие профили и функции тока образуют компактные последовательности, пределы которых должны соответственно совпадать с минимизирующим профилем и функцией тока, соответствующей числу Яо.
Другими словами, по мере стремления Я к некоторому положительному значению, минимизирующее течение стремится к соотвстствующему пределу. Тем самым доказывается непрерывносгьп Перейдем теперь к последней части леммы. Сравним между собой половипу течения около минимизирующего профиля, отличного от С, при числе кавитации Я с половиной течения около 6 Перемещая последнее течение вертикально до тех пор, пока минимизирующий профиль не коснется горизонтальной части С в точке Р, мнимой оси, и снова используя теорему сравпепия М. А.
Лаврентьева, получаем ь) (Ро) = (1+ Я) ' ) ь)ь (Ро) или Я > до (Ро)' — 1, (7.52) где дь(Рь) обозначает скоРость в точке Рь течениЯ около Рк Таким образом, если Я ( дь(Рь)' — 1, то минимизирующим про. филем должен быть гУ. В заключеиие сравним половину минимизирующего течения с течением около гладкой симметризированиой кривой Ст', содержащей С и совпадающей с ией только вдоль дуг 5~ и 5ь Если минимизирующий профиль не лежит целиком вне С', то половину минимизирующего течения можно поднять путем параллельного переноса выше В так, что минимизирующий профиль будет касательным к С' в точке Р (обязательио на свободной границе).
Сравнивая скорости в точке Р, получаем (1 + фь ( д„(Р), где ь)',(Р) — скорость в точке Р для течения около В'. Таким образом, для всех Я < М' — 1, где М— максимальная скорость в течении около В, минимизирующий профиль должен целиком лежать вие 6', а следовательно, и вие 6.
Сказанным завершается доказательство леммы. Из леммы следует, что длина части кривой Хь принадлежащей !х( = гп, — непрерывная и возрастающая функция (;), обращающаяся в пуль только при малых Я. Следовательно, существует наибольшее число Я = Яь, для которой она обращается в нуль. Свободная граница, соответствующая Яо, Рл ИП теоремы суи<ествовавил и единствеввости соединяет концевые точки 5 н лежит вне В. Следовательно, соответствующее течение есть течение Рябушинского. По доказанной выше лемме это течение единственное.
Это доказывает еще одну теорему, Теор ем а 12. Существует единственное течение Рябуи<инского около л<обого препятствия с двойной симметрией, отрь<- вающееся в его концевых точках. !2. Внутренние вариации *). Чтобы доказать, что кривая Хг является свободной границей, достаточно показать, что к ней применима формула (4.44). Как отмечалось в гл, И, для этого в свою очередь надо показать, что Х< является аналитической кривой. (По-видимому, достаточно показать, что кривая Х< будет достаточно гладкой, например, что наклон касательной является трижды дифференцируемой функцией длины дуги").
Однако, как показано в гл. 1<<, теорема 2, следствие 1, аналитическни случай является общим.) ,<(оказательство того, что кривая г.< аналитична, является очень специфическим и основано на методе внутренних вариаций Шиффера'о). Рассмотрим прежде всего вариацию типа г, = г+ вР(г), (7.53) где Р(г) — дифференцируемая комплексная функция х и у, об- РащающаЯсЯ в нУль вне малого кРУга Р,,:',г — го((2Р, на минимизирую<цей кривой Х< с центром в точке го, не совпадающей с ее концевыми точками, а в остальном произвольной. Для достаточно малых а функция (7,53) совершает однолистное преобразование всей плоскости на себя, отображающее препятствие В на новое препятствие В,.
Поскольку сдвигается только часть граш<цы препятствия В, которая лежит внутри круга Р,, можно всегда выбрать такое р, чтобы В, принадлежало к классу препятствий, рассматриваемых в экстремальной задаче, Преобразование (7.53) переводит функцию тока ф(х, у) в новую функцию ~),(х„у,)=у(х, у), (7.54) которая вне круга Г,, совпадает с функцией ф. Если Г,(х, у) — функция тока нормированного течения за препятствием В„то, согласно принципу Дирихле, А(В,)= ~ ~ (г7(ф,— у)~'с(хс(у ". ~ ( (У(Ф,— у)('с(ха<у, *) Относительно п.
<2 и <3 сн. раба<а 122*1. — Прим, ред. 12. Внутренние вариации где О, обозначает внешность В,. Соединяя это соотношение с минимизирующим свойством препятствия В й(В) — ()А(В) ( й(В,) — ЯА(Ве), получаем (,т ~ ( ( Дхду — ~ ~дхду ~ - ( ~~ у(ф,— у)РГ(хг(у— ьв, в о, Поскольку ф, и ф вне круга Г,, совпадают, то области ин- тегрирования с правой стороны могут быть ограничены теми участками, которые содержатся в Г,р, аналогично этому измене- ние площади как раз и есть изменение части площади каверны, находящейся внутри Г,, Следовательно, ~ ~ Г(х ау — ~ ~ дх ду1 .
( ~ ~ (т (фе — у) ~' т(х ату— ~к,йг,, «Пг .) нейгет — ~ ~ ) Р (ф — у) ~а т(х Г(у. (7.55) П Теперь запишем ) е (ф, — у) (' = ( ттф, !'+ 1 — 2 ктду и анало- гичное равенство для ~ Ч (ф — у)Р и после интегрирования по частям заметим, что интегралы от 2дф/ду и 2дф/ду взаимно уни- чтожаются; кроме того, поскольку площадь круга Гтт остается неизменной, то ~' ~'ЫхЫу — ~ ~'дхИу+ ~'~ Ыхду — ~' ~' дхду=-П, к» П гее кй",. о,йг„ АФПГ Следовательно, неравенство (7.55) можно представить в форме (1+9) ~ ~~ дхду — ~~ дхду1 = ~~ ~матф,~'ИхЫу— ке П Ге «Пге 1 о Пге — ( ( ~ уф ~ ттх тгу, ойг„ которая после замены переменных преобразуется к виду' (1+(,)) ( ( ( ( "у)д — 1)(7хду < «П < ~~~~уф,р ',("' " — (уф~~ дхду.
(7.5п нйг„ 234 Гв, Пй Теоревии суисествовинии и единсгвенносги Чтобы явно представить различные величины в неравенстве (7.56), удобно ввести обозначения д/д2 Чи(д/дх — /(д/ду) ) д/д2* = '",о(д/дх+ с'д/ду). Простое вычисление показывает, что „( "3') =-1 (-2рсе1 д 1+0(ви), (7с57) + — „( — ') ~ ~ -(- /7 (еи1 (7.58) е.("он-а // — '"е.ее с К П Гер си.(е //( —,'„')(Щ/е*ес)<.о| С которое, будучи справедливым для всех достаточно малых е, дает вариационпое уравнение +(н() 3 3 де о(хо(У+4 Г.) ~д ~/( де) ахо(У=О, (759) о п Ге Теперь выберем специально вид функция г" (2).
Пусть еа(г)— бесконечно дифференцируемая функция положительной действительной переменной г, принимаюсцая значение 1 прн О < г < р и обрацгаюцгаяся в нуль при г )~ 2о. Теперь для любой точки ( в круге Гие: (2 — 2„' < р (но не на Е~) и для любого положительного числа т(, такого, что круг 12 — т1 < т) весь содержится в Г, и не имеет никаких точек на Хп положим Р(2) = се((е — ее 1) для (г — ()) и), ДЛЯ (2 — С' !.~ Ъ). Для указанных значений / функция г"(г) является непрерывной функцией х и у, диффереппируемой вск1ду, за исключением круга 12 — (( = и, где ее производные имеют простые раз- где Д(ви) — функция вида ((е (А+ В дб/д2-~-С(д(/д2)'-') с коэффициентами А, В и С, равномерно стремяшимися к нулю, как 0(ее) при з- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
