Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ч1, п. 3). При 1 = е", 0 =. о з г/2, получим, что е Л(вм) = — К'(ем) — С(ам) [ ~ д +132(е')~ а. е/а. (7.40) ня 220 Гя ПТ Теоремы существования и единственности Из соотношений (6.9), (6.10) и (6.12) следует, что 2-Р 2 — 2 де ~Н( ы — л ы— = К,(В) — =ест ~ — ! = Л4не- ™е ' 2 саяе а из уравнения (7.37) — что — — от = — — —." оо. зм зл (7.4 Ц находим, что подинтегральное выражение в (7.40) Отсюда равно (7.42) и, поскольку Х = — с!3/с/о и дй = — с/дд/с/о, может быть приведено к виду еь'~2-а~Рг//с/о (отесв/К„(4) ).
Выполняя интегрирование и замечая, что Г. (а2т) а'ящя(г РЬ2 — — ! С (ЕЬ) ! получим Л(см) = (у'(е") — + /С(а")!ооК,(9). (7.43) В частности, !ш (Л(ом)) =О. Чтобы изучить поведение функции Л(/) на действительной оси, сначала продифференцируем (7.38) по ап — + (Л вЂ” — !Р'/ = — ! о!с. дЛ Г ЗМ дг ( М (7.44) Если разделить обе части соотношения (7.44) на с/~-'/с/г, приравнять их мнимые части и учесть, что йт, о!1 и с/1 т/с/а действительны на действительной оси (см. 4,27), то получим !ш[„, +Л1=0 (7.45) при действительных значениях й Угловая точка / = 1 представляет особый интерес. Поскольку производная функции д!!(/) всюду удовлетворяет условию Липшнца, эта функция допускает локальное разложение вида 221 9. Единственность которое, вместе с аналогичным разложением функций Д/) и г(1) (см, гл.
1Ч, п. 7) приводит к соотношению Л(/) — Л(1)= — М 00(0)(/ — 1) +(1 — 1)ао(1). (7.46) Результаты можно сформулировать в виде леммы. Л е м м а 1, Функция Л(1), определенная равенством (7,38), аналитична и регулярна в первой четверти единичного круга и всюду в замкнутой области имеет непрерывную производную, за исключением начала координат. Кроме того, эта функция принимает действительные значения на мнимой оси и на части границы, совпадающей с окружностью; она также удовлетворяет условию (7.45) на действительной оси и имеет разложения (7,39) и (7.46) соответственно в тачках 1 = 0 и 1 = 1. 9. Единственность. В п.
7 было показано, что течение единственно, если 0Л = 0 является единственным решением уравнения (7.37). Найдем теперь достаточные условия единственности, для чего предварительно определим достаточные условия тога, что из Л(1) = 0 следует 0Л = 0 (лемма 2), а затем получим достаточные условия для Л(1) = 0 (лемма 3), Л е м и а 2. Для того чтобы из Л(1) = О следовало 0Л = О, необходимо и достаточно, чтобы функция р(о) =й/да(Л(о) с(па) не удовлетворяла уравнению (7.37). Доказательство. Если Л(1) =О, то по формуле (7.43) имеем 08 (в) = — — Ф'(е ) К, (О (в) ) ~ С ~ (е~') 1. (7.47) > Учитывая, что с/г/дв =~С (в)11с/%/с/с~ = Мн(в)е-'< Л получаем 00(с)= — — „Мч(в)К,(0(с)) е "'= — — Л(с) с19 в.
ЬМ Ят(е"),, вМ !% Отсюда ЬЛ = — с((00)/сЬ = (ЬМ/М) и, Таким образом, если 0Л Ф чь О, то 0М/М Ф 0 и 1х удовлетворяет уравненао (7.37). Наоборот, если функция р удовлетворяет (7.37), то она сама является ненулевым решением (7.37), для которого соответствующая функция Л(1) тождественно обращается в нуль. Легко видеть, что при / = сапа( или при / = я 'з(п о, соответствующих фиксированному углу отрыва или каверне с нулевым сопротивлением (гл. 6, п. 5), уравнение (7.37) ие может быть удовлетворено ни при каком значении р, соответствующем препятствию с положительной кривизной. В самом деле, если 222 Т с ПД Теоремы существования и еоинственносто функция !т удовлетворяет уравнению (7.37), то ) т р йа = 0; о однако ~ !с йа = / — (Л с1ь а) йа = — 2Х' (0) = — 2 Щ (0) К (О (0) ) ~ О, о о е сове в !тяп ада= ) ейпа — (1с1да) да= — ) 1,— — аачьО.
аа ми в о о о Рассмотрим, далее, случай, когда в условиях леммы 1 функция Л(1) обращается в нуль. Условия достаточности были получены различнымн авторами"), однако приводимый здесь результат Фридрихса [26) является наиболее общим, Л е м и а 3. Если существует гармоническая функция 1, не обращающаяся в нуль ни в одной точке замкнутого первого квадранта единичного круга и удовлетворяющая уравнению д//дп= = 1д(!и с/)/дп на действительной оси (д/дп — нормальная производная, д = )Ь!), то всякая функция Л(1), удовлетворяюсцая условиям леммон 1, тождественно обращается в нуль.
До к аз а тел ь ство. Пусть р =-!гп[Л(1)). Достаточно будет доказать, что функция р(1) тождественно обращается в нуль. Заметим сначала, что р является гармонической функцией в первой четверти, обращающейся в нуль как на мнимой оси, так и на части границы, совпадающей с окружностью, На действительной осн, согласно (7.45), др/дп = рд (1п с/)/дп, откуда следует д1п(р/1)/дп = О. Теперь покажем, что существует линия уровня р = О, начинающаяся при / = 1 и продолжающаяся внутрь первой четверти единичного круга. Согласно (7.46), имеем р =! гп [Л(/) — Л (1)) = — — Ь0 (О) 1гп [(с — 1)')+ 0()/ — 1)'), откуда видно, что если 62(0) нь О, то такая линия существует, Если 62(0) = О, то из (7,46) следует, что производная (йЛ/йТ),, = — 1!гп [Л(1) — Л(1)) 2//(/ — 1)о существует и равна нулю. Следовательно, 6, как функция от Т = — (1+ 1-')/2, имеет нормальную производную, равную нулю в граничной точке Т = — 1.
Поэтому, согласно принципу строгого максимума (гл. !Н, п. 9), р не чмеет нн относительного максимума, ни относительного минимума при Т = — 1 (/ = 1), чем и доказывается существование линии уровня, проходящей через точку 1=,1. Ввиду того что 6 — гармоническая функция, такая линия 223 9 Единственность уровня должна заканчиватьси где-то на границе, Если бы она заканчивалась на мнимой оси или на окружности, то р обращалась бы в нуль на всей границе одной из образованных таким образом областей и, следовательно, тождественно обращалась бы в нуль. Если линия уровня заканчивается на действительной оси, то возьмем область В с границей С, составленной из действительной оси и линии уровня, и рассмотрим квадратичную форму Вайнштейна ") д!и (7 1ч) Полом нм р = !)/1.
Тогда по формуле Грина получим е/з = / ~ !',втЧх|п в+ Чрх ° Ч1п р(да, с а и из тождества а' Ч'(п р+ Ч (а' Ч 1и р = Оа! Чр!х, справедливого для гармонических функций р и т (р = ~/ч), будем иметь / ра с/5 = ~ ~ !зх! Чр)ада. с а Если линия уровня заканчивается в начале координат, то по формуле (7.39) функция 3 ограничена на В н применимы те же самые рассуждения. Интеграл в левой части равен нулю по построению, поэтому подинтегральное выражение справа, будучи неотрицательным, должно тождественно равняться нулю. Следовательно, функция р должна быть постоянной, которая, ввиду того что 3 обращается в нуль при ! = 1, должна быть нулем.
Таким образом, р = О, и лемма 3 доказана. будем теперь искать функцию «(!), удовлетворяющую условиям леммы 3. Ясно, что условие дт/дп = Тд(1п и)/дтс равносильно тому, что т = 1гп[М(!)), где М(/) — аналитическая функция, удовлетворяющая условию !гп (~с(М/сЦ вЂ” М) = О на действительной оси. Отметим, что ! т (йс/М/е(.'.1 =! гп (е/М/е( 1п ч) = д Т/д !п су. Такой функцией является 1 =!щ(е та~), поскольку 1 =!гп(М), а ~дМ٠— М = О. 1!айдем теперь условия, при которых функция а может быть выбрана так, чтобы т не обращалась в нуль в первой четверти. Ясно, что 1 обрагцается в нуль на линиях уровня агп ~ = з. Тогда поскольку агп ь — гармоническая функция, принимающая одинаковые значения в сопряженных точках и обращающаяся в нуль на мнимой оси, эти линии уровня 224 Гл. Пд Теоремы суисествовинин и единственности должны оканчиваться в точках 1=е'о, 0 <о <я/2.
Кроме того, в этих точках — ащ~ совпадает с углом наклона касательной, за исключением точки 1=1, в которой его предельное значение составляет угол, равный половине угла при вершине. Таким образом, для существования значения а, никогда не достигающего величины агд~, и соответственно для существования функции ъ удовлетворяющей поставленным условиям, достаточно, чтобы половина смоченной поверхности препятствия имела угловую протяженность, не превышающую к. Для выпуклых препятствий это соответствует случаю каверны с нулевым сопротивлением (гл.
1Ч, п. 8) и очевидно для фиксированного угла отрыва, не превышающего и. Окончательно суммируя полученные результаты, мы приходим к следующему заключению. Теорема 9. Для любого замкнутого симметричного еьы пуклого препятствия существует; а) только одно симметричное кавитационное течение при заданном угле отрыва, меньшем тц б) только одна симметричная каверна нулевого сопротивления. 1О. Вариационный метод; снмметрнзация.
Вопрос о существовании струйных течении можно трактовать также как изопериметрическую задачу, используя вариационный принцип Рябушинского (гл. !Ч, п, 10 и 11). Так, например, если тело В минимизирует приведенную массу й(В) среди всех тел, частично ограниченных заданными фиксированными границами 5; и имеющях заданный объем, то, согласно теореме 15, гл.
1Ч, остальная часть границы тела В должна состоять из свободных линий тока. Это означает, что прн некотором значении множителя Лагранжа Я выражение й(В) — Я объем(В) реализует экстремум; множитель Я представляет собой число ка~внтации (4.44). Следовательно, всякое тело, которое минимизирует выражение й(В) — Я объем(В), должно быть ограничено поверхностями 5~ и свободными линиями тока; такая формулировка задачи является вариационной. Изопериметрические доказательства существования плоских и осесимметричных струнных течений были впервые получены Гарабедяном, Спенсером, Леви и Шиффером в 1952 — 1953 гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
