Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Этот вопрос рассматривается в п. 1О, 11. 2. Почти плоские препятствия. Метод А. И. Некрасова [65] и его последователей') может быть легко описан с помощью нелинейных интегральных операторов. В качестве отправной точки возьмем интегральное уравнение (6.16), переписанное в виде Л= М$ [Л], 8 [Л] = «К(ЯЛ) е-и". (7.1) Здесь М вЂ” постоянная, « = «(а) — заданная неотрицательная функция. Определим теперь «расстояние» между двумя функциями Л~(а) и Л«(а): 'ВЛ,— Л (! =зпр]Л,(а) — Л (а)]. (7. 2) Л е м м а.
Если функция К(В) > 0 удовлетворяет условию Липисица [А.(В) — А.(В Ц.- Е]Π— В ], (7.3) то оператор Я удовлетворяет, для некоторого конечного й(, неравенству В8[Л,] 5]Л,][~ <АгВЛ,— Л,[] (7.4) в единичной сфере [[Ле[[ < 1. Д о к а з а т е л ь с т в о Функция «(а) для всех случаев, рассмотренных в гл. Ч1, ограничена. Кроме того, из соотношения (6.146) следует, что замена ЬЛ на Х изменяет )Л самое большее 197 2. Почти плоские орепятствия на к[!АЛ[[/2; следовательно, К()Л) изменяется, согласно условию (7.3), ие более чем на кЕ[[АЛ[[/2. Аналогично О ~ ! 0 (а, З)! тй = ~ О (а, З) тй = — ~ о1" в ~ З1П ПЗ тй < о о в=1 О < ~~(1+9+ за+ ...)=2 <2.
Следовательно, [[0[Л[[! < 2[[Ц! и если [!Л1[! <1, то !!в- "— в- '[! <во![0[Л1[ — 0И!! <2в'Р,— Ло[!. Из написанных соотношений следует справедливость неравен- ства (7.4), Детали вычисления величины А/ опущены. Т ео р е м а 1. Если постоянная М достаточно мала, то ре- шение интегрального уравнения (7.1) можно найти непосред- ственно методом последовательных приближений. При [!Ц < 1 решение единственно. Доказательство.
Если М< 1/А/ и все приближения Л„+1 — — Мз[Л„! при Ло = О лежат в единичной сфере, то, как из- вестно для процесса последовательных приближений Пикара' ), Л,в1 сходится к единственному решению. В самом деле, соглас- но неравенству (7.4), имеем [[Л„„— Л„[! < МА/!!Л„Л„,[[, откуда по индукции [[Л„+, — Л„[! < (МА/)о[[Л1[!. Таким образом, повторно применяя известное неравенство треугольника, а так- же учитывая, что МА1 < 1, получаем, что т — 1 Є— л„[! < ')'. [[л„,— л„[! < ™) (™~д) [!Л,[! я СтрЕМИтСя К НУЛЮ Прн Пг, П- ао. ДруГИМИ СЛОВаМИ, ПОСЛЕдОВательность [Л„) оказывается последовательностью Коши, Таким образом, последовательность функций Л„(а) равномерно сходится к предельной функции Л(о) ').
Легко видеть, что МБ Я =)пп М$ [Л„[=1пп Л„+1 — — Л и что Л(о) является решением уравнения (7.1). Единственность решения (при [[Ц < 1) следует из того, что если Л1=МЯ[Л1[ и Л =МБ[Л,], то Р, — Л [! =М!!~И вЂ” ~И[! < МАг!!Л вЂ” Лг[!. откуда [!Л, — Ло[! = О и Л1 = Лм поскольку МА/< 1, 198 Гл, )тО Теорема саи1ествованил и единственности Для получения достаточного условия того, что все Л лежат в сфере [Щ <.'1, нужно лишь вычислить Л~(о) = М5[0) = = МК(0)т(о).
Теперь легко показать, что это достаточное условие имеет следующий вид: М< тт'+ К (0) вир н (в) Теорему 1 часто называют теоремой о неподвижной точке ввиду того, что решение Х(о) уравнения (?.1) является неподвижной точкой оператора $. Б!иже в п. 3 мы применим для доказательства существования другие (неконструктивные) теоремы о неподвижной точке. Для наилучшего использования таких теорем о неподвижной точке будет удобно перейти к другим пространствам Банаха, определяемым различными функциями расстояния. Так, например, Лерэ [52), исследуя уравнения Вилла, вначале использовал норму [!1[~ =зпр,[1(в)[+зпр,... [1! ) !в — в" ! в то время как Кравченко'в) применил норму [[Ц = зпр[1(о)[+ + зцр[1'(о)[.
В п. 5 при исследовании уравнений кривизны мы будем использовать норму гильбертова пространства [[Л[[ = ~ !Лв(о)[с(о~ . Для этой цели применялись также нормы о более общего вида (см. [67]) ![Л [[ = [ [ [Л (в) [дв~ Применяя норму ![1![ = зпр[1(о)[, доказательство теоремы 1 можно обобщить на интегральное уравнение Вилла (6.15) при условии, что функция Гд(1) достаточно гладкая, чтобы оператор 1(о) — С[В(1(о))) удовлетворял условию Липшица (п, 3, лемма 3). Во всяком случае при каждом достаточно малом сриксированном значении постоянной М наше конструктивное доказательство гарантирует существование и единственность симметричного потока около симметричного препятствия произвольной формы.
В самом деле, при симметричных условиях решение (7.1) должно быть симметричным, так как любое несимметричное решение в результате отражения (о- к — о) дало бы еше одно решение, что противоречит единственности. Далее, легко показать, применяя общую теорию ограниченных операторов, удовлетворяющих условию (7.4), что функции Л(о) и 1(о) изменяются непрерывно с изменением М, если МЛт<1.
Так как 8. Метод неоодаиткной точки Лерэ 1.(а) и Е(а) стремятся к нулю вместе с М, то справедлива следуюшая теорема. Т е о р е м а 2. Позади любой достаточно малой симметричной дуги произвольного гладкого контура существует симметричное кавитационное течение, Поскольку функция «(а) не была определена, аналогичный результат справедлив также для течений Рябушинского и для других течений, С л е д с т в и е, При достаточно малой постоянной М угол отрыва ф, позади выпуклого контура монотонно т) изменяется с изменением М.
В самом деле, в силу уравнения (6.17), о. и, следовательно, ф, однозначно определяют М, иначе говоря, соответствие ф,(М) локально взаимно однозначно. Однако мы уже видели, что оно также и непрерывно; отсюда и вытекает справедливость следствия, поскольку любая локально взаимно однозначная непрерывная функция ф«(М) должна быть монотонной. 3. Метод неподвижной точки Лера. Весьма обшая неконструктивная теорема существования основана на теории функциональных операторов Лерэ — Шаудера, которая была развита отчасти именно для этой цели. Интересуюшая нас теорема может быть сформулирована следуюшим образом [55, стр. 63].
Теорема Лерэ — Шаудера. Пусть Г»[х] — произвольное однопараметрическое семейство вполне непрерывных') преобразований банахова пространства э) $ самого на себя и О(й(1, Пусть, далее, Я вЂ” ограниченная область пространства $, в которой преобразования Г» равностепенно непрерывны по й в том смысле, что для любого е > 0 существует «1 ) О, такое, что при 1Ег — А'1 ( т) имеет место неравенство 11Г» [х)— — Г» ]х]ч (»для всех хЕЯ. Пусть х= Г»[х] при любом х, принадлежащем границе области Я.
Если, кроме того, 1) уравнение х = Го[к] имеет единственное решение хо Е Я, 2) в некоторой окрестности хо отображение бо[х] = х — Го[х] (локально) взаимно однозначно'), то уравнение х = Г,(х) (7.5) имеет по крайней мере одно решение в области Я. Сначала применим эту теорему к интегральному уравнению Вилла (6.15) Е(а) М ~ «(а)е-сгании~йа=.Г Д]Е(а)], (76) «и считая, что постоянная М играет роль параметра Ег.
В качестве $ примем пространство всех непрерывных на интервале 200 Гл. 'т'с1. Теоремы существования и единственности 0 <0 <и функций 1(о) (1(тс/2) = 0) с нормой ~~Ц = гпах )1(а)), ок к. (7.7) из этого следует равностепенная непрерывность по М, если можно показать, что норма []Г~[7)[ ограничена. (Выбор 0 <М <! в качестве интервала изменения М, конечно, несуществен.) Другие условия теоремы Лерэ — Шаудера будут выполнены, если мы покажем, что: а) преобразование Гм[Й[ компактно и б) Гм непрерывно в пространстве б.
В самом деле, из а) и б) следует, что Гм вполне непрерывно. Из общего свойства а) следует, что Гм['ь] содержится внутри некоторой сферы Я: [[т~[< г, откуда находим, что Гм[1] =1 не удовлетворяется ни при каком 1(о) на границе Я. Таким образом, если будут доказаны свойства а) и б), то будет справедлива и следующая теорема. Т е о р е м а 3. Для всякого М ) О, ограниченной функции «(о) )~0 и непрерывной функции Гэ(1) с колебанием, меньшим и, интегральное уравнение (7.6) имеет по крайней мере одно непрерывное решение 1(а).
Доказательства свойств а) и б) основываются на следующей лемме 'ь) Ле м м а 1. Если колебание 2«=гпахь(о) — пнп ь(о) функции 0(о) на отрезке 0 < о <к ограничено, то ~ сй [рС [6 (а)]] йс, и зес рТ о (7.8) для любого положительного числа р <к/2«. Доказательство. Пусть т(о) = С[5(о)], Тогда й(о) = =5(о)+1«(о) дает граничные значения в точке 1=еся анали.
Будем предполагать, что «(о) — неотрицательная непрерывная функция, и потребуем, чтобы функция Гд(1) была непрерывна и имела ограниченное колебание 2« = гпах 8 (1) — ппп Гд(1) < я. Таким образом, мы рассматриваем только препятствия с касательной, непрерывно поворачивающейся на угол 2« < к. Некоторые из условий теоремы Лерэ — Шаудера очевидны.
Так, например, поскольку Го[1(о)]=0 для всех 1(о), уравнение Гя[1]=1 имеет единственное решение 1(о) — = О. Кроме того, отображение бь[1]=1 — Го[1]=1, очевидно, взаимно однозначно, Далее, в любой области Я пространства Ф имеем 1~Г [1] — Г [1][[ — 1М вЂ” М'[ ~[Г [1][!' 8. Метод ненодешкнод точки Лере тической функции 11(г), регулярной в круге )4 < 1 и действительной при действительных значениях 1. Пусть, далее, (9иаэк + 9 м)/2.
Согласно теореме о вычетах, е'р' 'о' и= —. у е'р~ ш-и — ~" е~р~ом-и,уо о 1 р, оч ! е и, так как Ь( — о) = 9(о) — (т(о), то е~рр<о~-и ~ егр~эм-э|сйрчс(а. 1 е о Отделяя действительные части и учитывая, что соз(ь)(0) — р] <1 .4 1, получаем к > ~ совр(9 — ~)ейрт с(а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
