Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это дает следующий классический результат Леви-Чивита 4). Т е о р е м а 1. Разделяющиеся струи около препятствий с углом при вершине йк определяются выбором функции 0(1), регулярной при 11! < 1 и непрерывной при ~1~ = 1, а также выбором постоянных М, ав, аь а,, Зависимость г = г(1) задается уравнениями (6.4), (6,5), (6.7) и (69). Применяя теорему 1, легко построить широкий класс разделяющихся струй и каверн за криволинейными препятствиями'). Так, в симметричном случае (см. п.
5) большое и характерное семейство течений задается трехчленами ее (е) а!~ + азГ + аее (см. гл. 1Х, п. 8). Случай 1е(1) = О соответствует клину (гл. 11, п. 4). 3. Геометрическая интерпретация. Можно считать, что теоремой 1 Леви-Чивита решил обратную задачу описания класса всех струй, разделяющихся около криволинейных препятствий'). Обратимся теперь к прямой задаче нахождения вида функции 11(1) для данной струи, обтекающей данное препятствие Р, 3. Геометрическая актера ретиаия Для решения этой задачи удобно сначала выразить геометрические параметры течения через неизвестную функцию й(г). На твердой границе 8=а", согласно (6.8), мы получим для функции 0) = 0+ 1т следующее выражение; 0=па+а,сони+а,соз2а+ ..., с=а, з1п а+а,з!п2а+ ....
Целесообразно также рассмотреть производную аз Л (а) = — — = а, з)п а+ 2а, з! п 2а+ .. йа (6.8в) Мы не предполагаем, что ряды в правых частях (6.8а) — (6.8в) обязательно сходятся, знак равенства означает лишь, что они являются формальным разложением в ряд Фурье соответствующих функций, Покажем сначала, что функция 0(а) имеет простую связь с углом наклона касательной к контуру препятствия, Так как агц (г(г|йТ) = агд~-'+ атас(%'/с(Т и агд с(г!с1Т = у (всюду, кроме точки С), то очевидно, что ч — к на АС,- агцГ = Л се- наСВ (см. также рис. 68, а и замечание ниже). С другой стороны, учитывая отмеченные выше свойства величины агц(! — 1)/(1 + 1), имеем 0 — = наАС, 2 агй.Г 0+ — на СВ.
Сравнивая оба написанных выражения для агд ь-', получаем а — я+ — =~а — (1 — р) — — — на АС, рк 0а и и 2 2 2 0= к и у — — =ча+(! — р) — — — на СВ. 2 2 2 (б.!О) Очевидно, что 0 равно углу между осью у и касательной к «спрямленному» контуру'препятствия Рь полученному из Р поворотом АС и СВ до вертикали. В отличие от угла наклона касательной в величина 0 — непрерывная функция ! даже в точке С. 172 Гл. Л, Криволинейные иреяятетвия Условие о = 0 при о = и/2 и 1- г сводится, согласно формуле (6.8а), к виду Однако на дуге (см.
(6.7)) 1= е", и с учетом тождества 12 = = — з)п о+ (сов о имеем Аналогично, в силу формул (6.4) и (6.6), поскольку Т = — созо, получим, что при 1 = е" М ! сов а а!п а ! Д (1+ ая соа а) я а Для заданных р, ао, аь аа введем функцию х(а) = в!и а (1+ а!и а)а !сов а !' Р (1 + ая соа а) =о (6.1 1) Используя введенную функцию «(о), в результате непосредственной подстановки получаем г/1 = Мх (а) а 'нп гта. (6.12) Используя это соотношение, можно получить формулу для кривизна! н границы препятствия Р.
По определению, н = — г(сг/с(1; учитывая (6.9), (6.8в) и (6.!1), имеем х= (6.13) Замечание. Докажем теперь, что 1)(1) непрерывна в круге )1) ~(1. Пусть !) = 6(1) — угол между осью у и спрямленным пре- Г~е !~а СГа + Гга (6. 10') В наиболее интересном случае гладкого препятствия р = 1 и й = у — гг/2 всюду на дуге АСВ. Из формулы (6.10) следует интересный результат, состоящий в том, что случаю прямого клина (гл. П, п. 4 и гл.
1!1, п. 7) соответствует просто о = О, откуда в силу (6.8а) и (6.8б) находим т = 0 и 11(1) = О. Дифференциал длины дуги вдоль границы Р можно найти с помощью формулы (6.9), которая дает') ттз 4. Основные интегралоные уравнения е С0 (а) =т(о) =— а е сов а — сов е' о ма 5Л(а)=0(а) = $ Л(а')с(а', а (яЛ(а) =т(а) = ~ г.г(а, а') Л(а') сга', о (6.14а) (6.14б) (6.
14в) где 2 Сч в!и уа в!и 5е' а у ! 1 Отметим, что в формулах С0, 5!., ОЛ не представляют = — !п~ ~ ' ~, ', ~. (6.14г) (6.14а) — (6 14в) пары символов собой сложных фунщий; так, пятствием. По предположению'), О(1) удовлетворяет условию Липшица всюду на АСВ. Так как кривая АСВ к тому же всюду (за исключением угла йк в точке С) непрерывно дифференцируема, то функция 1 = 1(а) на дуге 0 < а ( и окружности! = е" удовлетворяет условию Липшица порядка, сколь угодно близкого к ш!п(2 — 0, !) ').
Следовательно, функция 0(а) = 9(1(а)) сама удовлетворяет условию Липшица на дуге 0(а ' ю Поскольку 0(о) = 641(а)) — четная функция, то она также удовлетворяет условию Липшица на дуге — и ( о ' О. Из теоремы Фату — Привалова (гл. 1Лг, п. 7) следует, что й(1) также удовлетворяет условию Липшица на 1= е" и, следовательно, непрерывна в замкнутом круге !1~ (1. В качестве следствия получаем, что функция ~(1) непрерывна и обращается в нуль только в точке С.
Итак, мы показали, что рассматриваемые разделяющиеся струи являются простыми течениями (см. гл. П1, п. 2). Обратно, мы показали также, что если вся свободная'поверхность находится под одним и тем же давлением, то условия 3 и 4 гл. П1, п.
2 можно заменить более слабыми условиями, заключаю. щимнся в том, что 3') угол касательной к твердым стенкам как функция длины дуги удовлетворяет условию Липшица и 4') скорость потока ограничена. 4. Основные интегральные уравнения. Из формул (6.8а), (6.8б), (6.8в) и (6.10') видно, что любая из выраженных имн действительных функций на 0(о < я определяет обе другие при использовании (6.10'). Связь между этими функциями определяется либо зависимостями между их коэффициентами Фурье, либо тремя интегральными операторами ') С, 5, О, имеющими вид 174 « л.
!'К Криволинейные препятствия например, Сб(о~) = С(6(о~)1 не означает для любых конкретных о = о~ функцию числа 6(о~); это — значение сопряженной всей функции ч(о) при о = оь Интегральные операторы ) и Р мы обсудим в гл. НП, п. 5. Используя эти соотношения, можно легко вновь сформулировать прямую задачу определения функции Р.(г) для данного препятствия Р при помон!и системы интегральных уравнений с одним или более неизвестными параметрами. Таким образом, для данного препятствия Р, если ! измеряется от точки разветвления потока С, величину $ легко выразить как $ = Гд (1) при помощи формулы (6.10).
Течение около Р характеризуется в этом случае в силу (6.12) и (6.14а) следующим соотношением; т 1(о) =М ~ «(о) е-саавмс(о. (6. 15) и Такую формулировку прямой задачи дал Вилла (19). Мы предложили другую формулировку ш), которая, по-видимому, хорошо приспособлена к расчетам в случае контуров препятствий с кривизной постоянного знака (т. е. не имеющих точек перегиба). Для данного Р, используя формулы (6.!О), можно легко выразить кривизну х как функцию к = К(6) угла псевдокасательной 3. Разделенное течение около данного препятствия Р характеризуется тогда, согласно формулам (6.13), (6.146), (6,14в), тем, что Л(о) в соотношении (6.8в) удовлетворяет функциональному уравнению Л = М«К()Л) е-в", (6.16) где « = «(а) задано формулой (6.11).
Таким образом, нами доказана следующая 'теорема. Теорема 2. Для существования заданного теоремой! течения около препятствия Р, граница которого описывается естественным уравнением 6 В(1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось функциональное уравнение (6.15); если Р имеет кривизну х = К(6) постоянного знака, то необходимо и достаточно, чтобы выполнялось уравнение (6.16), 5. Симметричные каверны. Помимо других трудностей, решение прямой задачи при помощи уравнений (6.15) или (6.16) усложняется в общем случае тем, что заранее неизвестны параметры М, ао, аь ат Таким образом, в общем случае существуют четыре свободных параметра, Однако в важном частном случае симметричной каверны в бесконечном течении заранее известны все параметры, за исключением М.
Действительно, ао = - О, поскольку точка С находится на оси симмегрии препят- 1«5 В. Условие отрыва Бриллюэна — Вилла ствия Р; ао = а~ = а« = О, так как в уравнении (6,6) )0" = МТЧ2 (как и в гл. П, п. 2). Это весьма упрощает соотношение (6Л1); в наиболее важном случае . '= 1 для гладкого препятствия имеем «(о) =з(по(! — [ — з(п о).
Кроме того, в симметричном случае имеем 0(к — о) = — 0(о), так что из разложения (6.8а) следует ао = а, = а, = ... = О, н !т(г) оказывается нечетной функцией: ~ (~) а!~+ аз! + а5! + Функция кривизны также легко выражается в некоторых простых случаях; например, для эллипса К(0) = [сов~ 0+ + Сз з!пз О['и, для параболы К(0) = соз'0, для ииклоиды К(0) = = вес 0. Отметим, что наличие (или отсутствие) постоянного коэффициента в К(0) не влияет на функцию !)(!); этот коэффициент просто входит в множитель М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
