Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Заменяя соответственно И в последнем выражении, получаем мз'з Г мз 'з з~ 94 Е хО+ )94(Е хО Ь=е 04 (3+хо+ 4 ) 94 (о+го 4 ) из 'з В, (е — хо+ — ) '( о 4) — 4 (з 4 за) Из этого следует еще одна теорема. Итак, аргумент функции И всегда равен — 244е(го). Аналогичное доказательство проводится и для верхней стороны прямоугольника. Рассмотрим теперь функцию И(г, г;, 2т') с параметром 2т' = 2/К/К'.
Преобразование Г = (2/К'/к) г переводит прямоугольник периодов в прямоугольник )(, — К < )(е (з) < К, О < 1п4 (/) ~ К', Гл. У. Обтекание несколь»ил пластин Теорем а 7. Для любого а ~ 11 функция »» и»1а> е(1, а; я)=е к' Ь( —,, —.„; 2к') (5.42) обладает вышеуказанными свойствами 1) — 5) (п. 10). Здесь т' = сК/К', а Ь (г, гь! т) определяется по формуле (5.41).
По теореме 5, функции +-е(й а; А) являются единственными такими функциями. Согласно формулам (5.38а) и (5.12б), они являются эллиптическими функциями тогда и только тогда, когда 1гп (а)/К' = 6/2к есть рациональная дробь р/д. В этом случае периодами являются 2/К', 2д»К, если знаменатель д четный, и 2/К', 4дК, если он нечетный, 12.
Пластина в струе, вытекающей из сопла. В качестве одного прило'зг жения общих формул п 10 — 11 рассмотрим зе случай ") пластины, поп б мещенной под некоторым Рнс. 62. углом к струе, вытекающей из сопла (рнс. 62,а), причем давление на всех свободных линиях тока одинаково. Как обычно, можно считать, что на всех свободных линиях тока 4 = 1. Точно так же, как в п. 6 (в котором мы имели дело со слу- чаем 5 = я/2), можно напвсать В ге' т — В (5.43 вт (т — т,)(т — тд(т — тд * ( ) где параметры Тт = зп Г; имеют тот же смысл, а В = зп Ь соот- ветствует критической точке на пластине. Далее, очевидно, что функция ь = е(1) обладает всеми свойствами 1) — 5) п. 1О.
Сле- довательно, годограф течения представляет собою полукруг с разрезами (рис. 62, б), и на основании теоремы 7, а также фор- мул (5.38) и (5.4!) можно записать ,, а, (к (г + ь )/2 К ~ 2 ) (5.44) где т'=/К/К' и !га(Ь) =- 6К'/и. В частном случае п. 6 5 = к/2, 1гп(Ь» = К'/2 и е(й К вЂ” //С/2, й) — эллиптическая функция.
Предельные случаи, представляющие особый интерес при р = к/2 и перечисленные в п. 6, заслуживают внимания и 157 ПК Внутренние источники и вихри здесь. Кроме того, отметим случай гв = 1~ = К, ге = К + (К' пластины около бесконечной стенки, рассмотренный Вилла" ), а также случай В = К, 1т = К+ (К', !ш (1в) = — К плоской струи, истекающей из сопла и ударяющей в бесконечную стенку. К этому следует добавить, что развитая теория дает решение задачи профилирования тройников, разделяющих канал на параллельные ответвления, при постоянном давлении на пово- ротах (во избежание отрыва потока от стенок), Скодньсе течения.
С только что определенными течениями тесно связаны аналогичные течения с неравными давлениями в различных обтастях, разделенных струями. Видоизменяя эти течения, мы приходим к случаю течения Вилла †Морто "), изображенного на рис. 63, а. Годограф !7', / / 1 3-~: / / / Рис. 63.
этого течения имеет разрез по дуге круга, который соответствует свободной линии тока с точкой перегиба. Допуская существование двух критических точек, получаем большое число возможных конфигураций с двумя пластинами в ограниченном или в безграничном потоках, пример которых показан на рис. 63,б. Здесь мы отсылаем читателя к весьма обширной литературе, имеющейся по этому вопросу'з). Некоторые результаты относятся к случаю гп ) 2 (см.
п. 2) нескольких пластин; другие результаты касаются течений с циркуляцией и многосвязных течений. 13. Внутренние источники и вихри. Простое распространение предыдущих идей позволяет рассмотреть течения, ограниченные двумя пластинами и двумя свободными линиями тона и имеющие внутри точечные источники и вихри '4). Комплексный потенциал В'(Т) в этих случаях имеет логарифмические особенности вида )й' = т )п (Т вЂ” Т,) + ... в точках, в которых помещены источники, и логарифмические особенности (у' = - (пг1п (Т вЂ” Тв) + ...
в точках,' в которых помещены вихри [62, гл. 131. Отражая йг относительно действительной оси Т, мы получаем дополнительные члены потенциала йт(Т) ог 188 Гл. р. Обтекание нескольких пластин й 1 ские интегралы. Рассмотрим 4г вначале случай точечного вихря между двумя пласти. нами ") (рис. 64, а). Пла. ку: стины равны н параллельны, Г/ -Л.1К/г -Л-!К/е 1Г-1 8 их концы располагаются в вершинах прямоугольника, Рис. 64. а вихрь помещен в центре этой конфигурации. Пласти. ны соединены двумя свободными линиями тока; образующееся течение предполагается симметричным относительно вихря. Возьмем прямоугольник (с — К < гхе (/) < К, — — ()ш (1) < — „, в области параметрического переменного 1 (рис.
64, б) и отобразим течение на этот прямоугольник так, чтобы пластины перешли в вертикальные стороны, а свободные границы — в горизонтальные стороны прямоугольника )4. Отображение этого прямоугольника на полуплоскость дается функцией Т= 1К' ~ =зп (1+-2-), причем вихрь располагается в точке Т, = зп /К'/2 сй'1ь Комплексный потенциал имеет логарифмические особенности при Т= Тги Т= Тс= — То с чисто мнимыми коэффициентами противоположного знака, и поэтому (после соответствующей нормировки) находим т — т 2 пт+т (5л45) Комплексная скорость ь имеет простой полюс в точке 1= О, равна по модулю единице на горизонтальных сторонах прямоугольника К и является чисто мнимой величиной на его вертикальных сторонах.
Согласно теореме 3, ь(1) определяется единственным образом (с точностью до знака) как эллиптическая функция с периодами 4К и 2/К', обладающая этими свойствами. Все необходимые свойства имеет фуниция 4/ "утйэп г любого числа внутренних источников и вихрей. Функция Ь(1) имеет простые полюсы а/(1 — 1,) + .
во внутренних точках, в которых расположены источники (стоки) или вихри. Такие полюсы вводят множители е(1, гс', й) в знаменатель выражения (5.40), которое во всем остальном не изменяется. Изучим подробно только два симметричных случая; как и в п. 5 — 9, мы сможем получить простые выражения для Ь(1) и г(1), используя эллиптиче- 13. Внутренние источники и викри (см. п. 5), следовательно, ч= )г ге епе (5.46) Используя (5.45) и (5.46), после интегрирования, получаем а = [Е (г) — (1 — л) 1], 2)гй (5.47) где Е(1) = ~ дпгипги — эллиптический интеграл второго рода. о Из написанного выражения для а следует, что расстояние с( между пластинами и длина пластины 1 определяются соответственно формулами а' = =[Š— (1 — (г) К[, р% Сила, стремящаяся раздвинуть пластины, согласно формулам гл.
111', п. 5, равна 1 р,ь г [Ег ьКг! (5.49) Случай источника, симметрично расположенного между двумя пластинами (рис. 65), можно эффективно изучить, применяя — в- Ъ Рпс. 65. 1ут= — !и Т+ — и, Т=зп[т+г -2-). (5.50) Сравнивая расположения нулей и полюсов, находим еп (à — К) сп т' епт епгйпг ' (5.51) ту же самую параметризапию. Поскольку струн толщиной к входят в точки 1= ь гК'/2, Т= ~ г1н)Тл, комплексный потен- циал течения можно записать в виде Гл. У. Обтекание нескольких пластин После интегрирования - = ) 1 1ет"гу получаем я =-2- ~! !п (с' У А зп (б — ! — ) ~)+ Е (1) — (1 — А) !1. (552) Из формулы (4.52) следует аналог формулы (5.48) 2 Е+(1 — и) ~, 1= 2 ~ !пй +Š— ФК!. (5.53) Сила, стремящаяся раздвинуть пластины (гл.
!Ч, г. 5), равна Е = р(Е' — ЬК'). !4. Каверны с точками возврата. Каверны конечной длины, оканчивающиеся точками возврата, неоднократно изучались, причем возможность их существования подвергалась некоторому сомнению. Схема течения была введена в 1876 г. Бриллюэном, С д б Рис. бб. который позже (в 1911 г.) сам отверг ее [13, стр. 170], потому что она противоречила его принципу о том, что давление в каверне должно быть минимальным, иначе говоря (гл.
1, теорема 2), каверны должны быть выпуклыми"). В 1913 г. Вилла показал, что симметричная каверна с точкой возврата за клином невозможна, и высказал предположение, что каверны с точкой возврата теоретически вообще невозможны. Хотя некоторые примеры с особенностями и некоторые приближенные решения были даны раньше, первое явное построение симметричной каверны с точкой возврата (за криволинейным препятствием) было дано Лайгхилломее). В этом пункте мы рассмотрим некоторые каверны с точкой возврата за телами обтекаемой формы.
Рассматриваемый метод может быть применен вообще к упомянутому в конце п. 2 случаю двух изломанных пластин (клиньев), разделенных двумя свободными линиями тока. Рассмотрим течение, подобное изображенному на рис. 66,а. Его можно рассматривать как течение Рябушинского с добавленным к нему «хвостом» Е. Дуги ВСи ОŠ— свободныелинии тока, на котовых скорости соответственно равны 1 и о, Отобразим 161 И. Казории с точками зоозрото половину течения на параметрический прямоугольник Й п. ! так, чтобы линия ВА/Е перешла в его правую сторону (рис. 66, б), С0 — в левую сторону, а дуги ВС н 0Š— на верхнюю и нижнюю стороны прямоугольника соответственно. Очевидно, что комплексный потенциал течения имеет вид %'= И зов — зп/ (5.54) )аи и, спайпа Л и зпз — зпа Постоянную С можно определить из условия, что точки А и Е расположены на одинаковом уровне. Скачок по г от точки А до точки Е может быть только в бесконечно удаленной точке /; он обусловливается вычетом функции из (-' ийт аТ а'т в точке 1= /, поэтому скачок должен быть нулем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
