Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Выражение оператора Р было получено в работе Р 1 п 1, Алл. а2 та!., 5 (1871), 305 †3. ") Функция кривизны для нахождения т применялась ранее Бродецким [14, 15), А. И. Некрасовым [651 н др. 20 =[яд! ь и) Здесь этот интеграл просто равен гр(п) — ф(0), если 3 = 1. ") Наши результаты для каверны с нулевым лобовым сопротивлением за кругом хороша согласуются с данными Шмидена, 5 сй ш ге 6 еп С., 7ля.- АгсМо, 3 (!933), 356 — 370; 5 (1934), 373 — 375. м) Мы имеем в виду снаряд, движущийсн в воде со скоростью не ниже 100 я(гек, так что число кавитации достаточно мало, и) В табл.
2 коэффициент сопротивления Са отнесен к диаметру пре. пятствия. Случай круга впервые был рассмотрен Бродецним (14г 15]. Шмиден [5 с й |и 1 е б е п С., Алл. Ы. Рйрз., 2 (1929), 350 †3) дает сравнение результатов расчета с экспериментом. ") Это течение рассмотрено в работах С1зо!11 ()., )7елд. С!г. Ма!., Ра!егто, 23 (!909), 307 — 352; тг)1!а 1 Н., Ви!!. зое. таРн Ргалсе, 40 (1912), 266. См, также Все! е16 гор Е.
В., Вй. )тогзйе )г!делай. Айад., 1, №2 (1928), 'з') В(гййо1! 6., Сго! Вз!)пе Н. Н., 2агап!опе11а Е. Н., Яелгй 5ет. Ма!. Тожло, 13 (1953), случаи 1О, !4, 1В. 'а) Ко!зс 0 е г М, Еи(!(айг!(огзсй., !7 (!940), 154 — 160; он применил метод П1мидена (5 с й ш1е бе п С., цит. выше в п. 5).
См. также Ер р1ег Е., Р!ззег(а!!оп, Тесй. Носй. 5!ц!!Ваг(, Зи1у, 195!. Сауовелл и Вэйси (79] исполь. завали релаксационные методы. Е18 Ь ! й г11 М., АЕС )сМ 2328 (1945) (опубликовано в !949 г.) дал также частные решения обратной задачи. и) См. библиографию, данную в гл.
111, п. 8. 'а) С о п В и е г С А., Тгалз Ат. Вос. Меей. Елй., 63 (1941), 29 — 40. (Первый пример струйного обтекания решетни пластин рассмотрен Н. Е. Жуковским в 1890 г, [12", т. 111, $20] и обобщен С. А. Чаплыгиным и А. П. Минаковым [45', т. 1, стр. 283). Другие примеры см в работах [36*, 9', 40', 47*].— Прим. Ред.). ") Более общий случай обтекания решетки с возвратнымн струями описан в работе Эфрос Д. А., Нзв. АП СССР, ОТП, №. 9 (!947), 1068; [36, стр. 230). м) Как обычно (см.
гл. 111, п, 7 н далее), граяица люжет проходить через бесконечно удаленную точку. и) С)зо1!1 ()., )(елд. Си. Ма!., Ра!егто, 26 (1908), 378 — 382; С, Я Асад. ВП. Рог!э, 152 (1911), !81; 1!1!1а( Н., там же, 152 [1911), 1081 — Ш84; УР с! п а ! е ! п А. [16, ! 7]. РВЗ 7)римечапия зз) С 1 з о 1 1 ! У., йель!. Ассаг(. Е!лией 15 (!932), ! 65 — ! 73; 253 — 257. Используя представление о следе как о аастойной зоне (гл. 1, п.
12), эту задачу можно считать задачей о парусе. м) Доказательство существования решения для гибких стенок, основанное на вариапионных свойствах, дано в работе О а г а Ь ей!а и Р. й., й о у де и Н., Ргос. АГа(. Асаг(. Всй, 38 (1952), 57 — б!. г') В ой 8 ! о Т., АВ! Ассаг(. 5сг. Тапио, 46 (19!!), 1024 — 1051; В го 1- й оз А., Соттел!. Рол!.
Асаг(., 3 (1939), 627 — 657; 1 ! 6 Ь16 111 М., М!и!з(гу о( Яирр!у, Ьпд., йер. МО 2!05. 'з) Со!о пе11! О., йет(. Ассаг). 5!псе!, 20 (1911), 649 — 655; 789 — 796; 5 е 8 ге Ч., 0!игл. Ма!. Вайацйпб 55 (1917), 1. ") Рга и йе А., ЛаММ, 18 (1938), 155 — 172.
") Ч111а1 Н. [20]. 'з) Са!д оп ах хо О., Алт Ма!. Рига Арр!. Мбала 25(!916), 40. и) Ч !! 1 а 1 Н., С. й. Асаг(. Яс(. Раг(з, 152 (1911), 1081 — 1084; [20); А Ые таМ. (6), 7 (19! 1), 353, 408; Апп. зсг. ес. пост. зир.,29 (19!2), 127 — 197; Вирй зос, тай. Ргапсе, 40 (1912), 266, [21, 22); К г а ч1с Ье и (со 3. [48); Н и г о и й. С. й. Асаг(. Бей Рагин 228 (1949), 290 — 292, 357 — 358; О ц д а г1 А,, А тари ригез арр!., 22 (!943), 245 — 320; 23 (1944), ! — 36.
м) Оегп1сЬепйо В., Ргос. 36 !п1егп. Сопйг. Арр!. Месй., 5(осййо1т, 1930. 13 Г, Бяркгоф ГЛАНА ЗГ!! !Теоремы существования и единственности*) 1. Историческое введение. Вопрос о существовании и единственности потенциальных течений около тела произвольной формы со свободными границами заданного типа привлекал внимание многих выдающихся математиков. Были достигнуты большие успехи, особенно в случае симметричных течений, зависящих от одного параметра.
В настоящей главе приведены наиболее важные методы и результаты. Однако следует предупредить читателя, что доказательства имеют специальный характер и для их понимания требуется хорошая математическая подготовка, Только после исследований Бриллюэна [!3) и Вилла [20), установивших неопределенность положения точки отрыва, была сформулирована, в качестве гипотезы, приемлемая теорема существования и единственности. Постепенно становилось ясно, что возможно существование континуального множества идеальных плоских кавитационных течений около данного твердого выпуклого препятствия '). Поэтому для создания удовлетворительной теории, в которой доказывались бы существование и единственность течения, необходимо нли задать положение точек отрыва, или потребовать, чтобы давление в каверне было минимальным, илн задать другие дополнительные условия (например, число кавитацин для возвратных струй или каверн с заостренным концом).
Первая точная теорема существования для криволинейных препятствий была доказана в 1922 г. А. И. Некрасовым [65] н случае обтекания дуги окружности небольшой длины. Мы рассмотрим его метод (в обобщенной форме) в п. 2; метод осно- *) При чтении настаяшей главы от читателя требуется знакомство с основами функционального анализа. На зту тему см., например, работы (20', 30'), а также Лаврентьев М. А., Лгостериик Л. А., Курс варивциоиного исчисления М,— Л., !9ЗО; Ш илов Г Г., Математический анализ (спеииальный курс), Физик!гни, М., !960.— Прим ред.
Л Историческое введение 195 вывается на том, что для малых параметров М интегральные уравнения гл. И можно решить при помощи прямого итерационного процесса. Однако первые общие результаты были получены Вайнштейном [16)'), который рассмотрел истечение симметричных струй пз выпуклых сопел (см. рис.
76). Вайнштейн первый доказал невозможность существования двух бесконечно близких струй, истекающих из одного и того же сопла, показав, что в этом случае некоторая квадратичная форма (7,48) будет положительно определенной (см. п. 8). Для полигональных сопел, имеющих и сторон и, следовательно, зависящих от и параметров (см. гл, Ч, п. 2), положительная определенность квадратичной формы означает, что соответствие между геометрическими размерами и величиной параметров является локально взаимно однозначным для любого и. Следовательно, отправляясь от известного выпуклого полигонального сопла, можно получить струю, истекающую из любого другого полигонального сопла, путем непрерывной вариации положения вершин. Струи в случае сопел с криволинейными границами могут быть получены путем предельного перехода.
Класс сопел, к которому применим этот метод непрерывности, был успешно расширен Гамелем, Вейлем в) и Фридрихсом [89), установившими, что из всякого заданного симметричного выпуклого сопла, стенки которого изогнуты на угол, меньший и, вытекает одна и только одна симметричная струя. Метод непрерывности, примененный впервые Вайнштейном, получил широкое развитие в 1935 г.
в работах Лера [54), который обобщил его на функциональные пространства, используя ставшую в настоящее время классической теорию Шаудера— Р!ерэ [551 В п. 3, 4 мы даем ряд примеров применения методов Лера к кавитацнонному обтеканию препятствий произвольной формы с использованием интегрального уравнения Вилла (6,15). В и. 5, 6 даются другие примеры решения задачи для кавитационных течений около выпуклых препятствий с использованием уравнения (6.16) и леммы Якоба. В п.
7 — 9 показано, как можно применить несколько измененный метод непрерывности Вайнштейна к кавитационным течениям для получения теорем единственности, Эта форма метода непрерывности в принципе применима и к асимметричным плоским течениям, хотя мы ограничимся здесь рассмотрением только симметричного случая. Все предыдущие методы, основанные па интегральных уравнениях, которые были выведены в гл. Ч! для плоских кавитационных течений, не могут быть использованы для доказательства теорем существования и единственности в случае осесим- 19б Тл.
е'сй Теоремы существования и единственности иетричньсх течений. Методы исследования таких течений, разработанные в последнее десятилетие, уже рассматривались в гл. 1«'. В качестве примера мы приводили для этих случаев теоремы единственности, основанные' на методе сравнении М. А.Лаврентьева [50], упрощенном Серрином [80] и Гилбаргом [29]. Поскольку эти методы, по-видимому, неприменимы к асимметричному случаю, они дополняются результатами, приводимыми в п. 7 — 9. Еще более замечательным оказывается приложение вариационного принципа Рябушинского (гл. 1Ч, п.
10, 11). Большой вклад в разработку этого вариационного подхода сделал Фридрихе [89], который показал, что в случае истечения симметричной струи из выпуклого сопла вторая вариация будет положительной. Из этого следует, что кинетическая энергия потока имеет локальный минимум. Недавно Гарабедян, Леви, Спенсер и Шиффер [24, 25] использовали принцип Рябушинского и метод симметризации Штейнера для доказательства существования симметричных кавитационных течений в плоскости и пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
