Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 38
Текст из файла (страница 38)
о Однако, по определению величины ч, имеем 1р(9 — 9)) < рт, откуда соз р(9 — Д > соз рт при 0 < р <я)2т. Подставляя зто неравенство в предыдущее, приходим к соотношению (7.8). Лемм а 2. Если 0 < з < (к — 21)/к, то существует положительная постоянная В = В(з), такая, что )т(а) — т(о')) < МВ9ч9)о — о')е (7.9) для всякого преобразования т(о) = Гм(1(о)] любой функции 1бй Доказательство.
По определению, а' )т(о) — т(о'Я =М ) ч(о)Е-с1оп<'Ис(о а Предполагая, что )!ч)) = зир ч(о), из неравенства Гельдера получаем, что для любых р >0 и д >О, р '+ д ' = 1, справедливы следующие неравенства: а не а нр )т(а) — т(о')) <М9ч9 ~ с(о ~ е-р и)да а ч ч нр «(М))ч)) ° )о — о')пч ~ е-~ ( >до о 202 Гл.
Пт'. Геореми существования и единственности где т(о) = С[9(1(о))]. Применяя лемму ! к последнему интегралу и имея в виду, что е Р (2с)г( — рт), придем к неравенству [т(о) — т(о')[ ( МЦч[! ° [о — о'[не(2и зес р() "в, справедливому для всех р, ! < р ( я/21. Пусть теперь д-' = в и р-' = ! — в; тогда получим неравенство (7.9) при В = = (2я вес р1)ир. Из леммы 2 следует, что Гм[Ф[ представляет собой множество равностепенно непрерывных функций, содержащихся в сфере конечного радиуса МВ~[чЦяе. Поскольку всякое такое множество компактно [49, т. 1], то мы доказали свойство а).
Лемма 3, Всякий оператор Гм непрерывен в пространстве й. Иначе говоря, ЦГ„[1[ — Г„[1]Ц<МСЦ.Ц ЦЕ(Г) — В(1)Ц (7.1О) для некоторой положительной постоянной С = С(ч). Доказательство. Очевидно, что )[Гм[Г[ — Гм[1]Ц.-. М[ ч(о)[е-с!ига елн — е с1оаеля [Во. о Заменяя функцию ч величиной зпр ч = ЦчЦ, используя неравенство [е- — е [ < [х — х'[ (е-"' +е ) и вводя обозначение дв(о) = ст(1(о)) — 8(!'(о)), получаем ЦГм[1] Гм[1]цн,МцчцХ [е-со +е-св[ [С[30][с/о, о где о'(о) = 6'(/(о)) и т.
д. Если р-'+ д-' = 1, то, пользуясь не равенством Гельдера, находим в пв ЦГм[Г[ — Гм[1]Ц.<МЦчЦ~ [ е-Рс"' с(о + о л-[/ -"'л) ][/1с'ПГл~ Последний интеграл можно мажорировать с помощью теоремы Рисса и), а два других интеграла, если ! < р ( я/2т, по лемме 1, поэтому ЦГм[Р] — Гм[1[Ц< 2МЦчЦ(2ттзеср1) ~в инеА ЦЬВЦ.
4 Задача определения параметрое М [ .,(а) е-с)оп(ч)хг(а о ( 11) при данном Е ) О. В симметричном случае это соответствует задаче обтекания препятствия с заданной точкой отрыва. Будем считать ч(о) заданной неотрицательной и ограниченной функцией. Так, например, для симметричной бесконечной каверны ч(о) = зшо+ з(п'сч в других случаях (например, для течений Рябушинского) функция ч(о) зависит от одного или нескольких дополнительных параметров, физический смысл которых может быть не определен.
Сначала мы исключим постоянную М из уравнения (7.6) и условия (7.11) и получим эквивалентное функциональное урав- нение е ч (а) е С ~о И <а) Ц д 1(а) = Г1 [1(а)] = Е ч(а) е о (7.12) в котором параметр Е предполагается известным. Функция 6(1) также задана. Геометрически она не определена при 1) Е или 1< О. Однако, для того чтобы оператор Г,[() был определен в линейном пространстве, необходимо определить функцию 9(1) для всех 1, что всегда может быть выполнено, если положить 6(р) = 8(0) при р< 0 и 8(р) = 6(Е) при р > Е.
Таким образом, оператор Г1 осуществляет однозначное преобразование пространства $ всех непрерывных функций, обра1цающихся в нуль при о = и/2. Здесь Ао — постоянная теоремы Рисса. При соответствующем выборе постоянной С сразу получаем утверждение (7.10). Этим завершается доказательство свойства б) и, следовательно, и теоремы 3. 4. Задача определения параметров. Предыдущее исследование может быть легко дополнено доказательством существования для задач, содержащих геометрический или физический параметр.
[Параметр М в уравнении (7.6), разумеется, не имеет прямого физического смысла "), хотя его величина обычно возрастает с ростом угла отрыва о„.] В качестве иллюстрации рассмотрим случай препятствия с заданной полной длиной Е. Другими словами, будем считать выполненным дополнительное условие 204 Гл, 'й11, Теоремы существования и единственности те-'('» а'") сй <— А„ о (7.13) где А,— положительная постоянная, эависяи(ая только от к До к а з а т ел ь с т в о. Из неравенства йенсена ") имеем — ~ нСО» дс о ~ нас о Отсюда, замечая "), что для любых двух функций а(а) и р(а) справедливо равенство ~ и (а) С~ (а) с(а = — ~ р (а) Си (а) с(а, о о имеем 0Сн Ис о к ~ на'а о '"л.>(1 л.) «с о (,о Следующий шаг заключается в нахождении соответствующего однопараметрического семейства функциональных преобразований Г»и О <й~(1, удовлетворяющих всем условиям тео. ремы Лера — Шаудера. Для этой цели мы используем одно- параметрическое семейство функций 13»(1) = пй(1), О <й <1, и определим Г»Я как преобразование, связанное с ст» так же, как Г1[1) связано с 9.
Физически переход от Г, к Го соответствует деформации препятствия в плоскую пластину. Непрерывность и полная непрерывность преобразований Гси равно как и то, что все решения уравнения 1 = Г»[1] остаются в фиксированной сфере, следуют из лемм 2 и 3 при условии, что / -1 постоянные лт(»=Е~ ) те» ° сй~, также являющиеся -с(в аоой ,о непрерывными по 1, равномерно ограничены при всех 1 и й. В этом заключается содержание следующей леммы, Лемма 4. Для всех 1ЕФ и всех й, О <й <1, справедливо неравенство б. Лемма Якоба Однако — йВС[ч[)~ — зцр[6(1)[. [С[к[[)~ — 2к[С[ч[[, так как угловой размер препятствия не превышает к. Поэтому Ввиду того что правая часть никогда не обращается в нуль (исключая случай ч = — О), лемма 4 доказана.
Остается только убедиться в том, что оператор гк равностепенно непрерывен по и, что очевидно, и в том, что условия 1 и 2 выполнены, а это немедленно следует из того, что го[1[ отображает все функции на одну фиксированную функцию. Это, в частности, завершает доказательство следующей теоремы. Теорем а 4. Для всякого препятствия с угловым размером, не превышающим и, и с непрерьчвно вращающейся касательной, помещенного симметрично в неограниченный поток, существует симметричное навигационное течение с бесконечной каверной и однопараметрическое семейство течений Рябушинского. Тот же самый метод с небольшими изменениями вполне применим к задаче с несимметричным препятствием, имеющей еще одно дополнительное условие. Из-за отсутствия места здесь нет возможности рассмотреть другие многочисленные приложения метода Лерэ, которые могут быть найдены в других работах ").
Из теоремы !9 гл. !Л/ следует, что при некоторых значениях т(о) имеется единственное решение уравнения (7.12). Однако мы не исключаем возможности того, что различные значения параметра Е, а следовательно, и две функции 1(о) могут соответствовать одному н тому же значению постоянной М. [Из леммы Якоба (п. 5) будет следовать, что это невозможно для препятствий оживальной формы.[ 5. Лемма Якоба. Покажем, что, по крайней мере в случае препятствия выпуклой ") оживальной формы, угол отрыва (т.
е. параметр Т. в п. 4) и многие другие величины монотонно возрастают с ростом постоянной М. Для доказательства потребуются некоторые сведения относительно операторов л и О, определенных в гл. Ъ'1, п. 4. Эти сведения удобнее всего трактовать с помощью гильбертова пространства Н Е,(0,я), иначе говоря, пространства Банахао), с метрикой Г 1 '/е [[Л[[ = [ Ло(а) йа~ =(Л, Л)'~', о ря '«!!. Теорема суисествовония и единственности где скалярное произведение (Л, Л,) определяется как обычно: (Л, Л~) = ~ ) (о) >~ (а) с!а.
ь Л е м м а 1. 1) Операторы 3 и 0 осуществляют линейные пре- образования гильбертова пространства Н всех функций, инте- грируемых с квадратом на интервале (О,я), в пространство не- прерьсвных функций на этом же интервале. Для всякойфункции Л из пространства Н т = 0(Л! = 0Л обращается в нуль в концах интервала (О,я).
2) Для любых а' и о из интервала (О, я) !0(а') — 0(а)+!а(о') — Н(о)/ < 1/2/ а' — о ~'";) Ц. 3) Оператор 0 симметричен: (0Ль Ля) = (Ль 0Л ). 4) Оператор 0 положительно определен, г. е. 0 < (Л, 0Л), причем из условия (Л, 0Л) = 0 следует, чго Л = 0 почти всюду. 5) 0 — сжимающий оператор, т. е. (0Л, 0Л) < (Л, 0Л)- < (Л,Л).
б) Оператор 0 сохраняет порядок, т, е. из неравенства Л~ ) Ля следует, что 0Л, ) 0Ль Доказательство, 1) Ввиду того что 0 = ОЛ представляет собой неопределен- ный интеграл от Л, утверждение относительно ! очевидно. Ядро Р(о,з) имеет логарифмическую особенность при а = з; таким образом, при фиксированном значении а оно представляет собой на интервале (О, я) функцию от з с интегрируемым квадратом.
По той же причине преобразование (скалярное произведение) с(а)=~ О(а, з)Л(з)е!з определено н конечно для всех а па ь (О,я) и для любой Л ~ Н. Кроме того, поскольку Р(О,з) = = Р(я, з) = О, то т обращается в нуль при а = О, я. Для доказательства непрерывности функции т применим сначала неравенство Шварца ) с(о') — т(о) ~ ( ~ !О(о', з) — О(о, з)! !Л(з)1аз ( о '/« « |Ь ( ~ (О(о' з) — О(а з)! йз !( )Л(з)! с(з [ь о Далее, согласно соотношению (6.14г), имеем 2 ъяг .. « ° . 8!и/5 О (а', з) — О (о, т) =: 7„~(з!п /а' — з(пуо) ! а.
Лемма Нкааа и по теореме Планшереля (а,а — а,а З= — ~2 2 2~д ( и!и 1а' — 2!пУа !2 а ~,~ 22 о / 1 Ряд в правой части равенства равномерно сходится и стремится к нулю при а'- а. Отсюда и следует, что функция т(о) непрерывна. 2) Пусть ~ а! з2п Уа — ряд Фурье функции Л и пусть и— функция, ряд Фурье которой есть ~а,созра. Тогда ~ ф2 оа ~ о <+со, а — ) р г(а — непрерывная функция, разлагающаяся в о тот же ряд Фурье, что и функция т(а).
Следовательно, имеем т(а)= — ~ р!Уа. Тогда, в силу неравенства Шварца, о а' ! О (а') — 0 (а) + Е (т (а') — т (а) ) ) ~ ~ ! Л + гр / 2!а ( а' Ъ С~" — '!' 2 ~~-!-ЬГ~ . Но по теореме Планшереля ~ ! 'Л + !'!2 ~ 2 Ыа ( ~ ) Л+ гр Р гУа = а ~~."~ а' = 2 ~ ! Л )2 г(а. 3) Утверждение непосредственно следует из симметрии ядра 0(а, з). 4) С помощью рядов Фурье функций Л и 0Л находим а2 (Л. 0Л)=х —,! ) О.
ряда Фурье Если далее (Л, 0Л) = О, то все коэффициенты обращаются в нуль и Л = О почти всюду. 5) Легко показать, что (0. 0Ч=-,',,— ',.', (, )=-,~;",. откуда путем почленного сравнения членов разложения полу- чаем утверждение 5), 208 Гя. 'ч1Л Теоремвл существования и единствевтйлсти 6) Утверждение, очевидно, следует из положительной определенности ст(о, з) ) О. Доказанные свойства 1) и 2) показывают, что операторы 3 и 0 являются сглаживающими операторами, преобразующими ограниченные множества гильбертова, пространства в ограниченные семейства равностепенно нрпрерывных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
