Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 48
Текст из файла (страница 48)
9. Струи очень больших скоростей. Большие усилия были затрачены на попытки получения струй очень больших скоростей, используя принцип кумулятивных зарядов (см. и, 1О, гл. 1). Теория показывает, что для детонапионных волн, движущихся параллельно оси со скоростью детонации пр, можно ожидать максимальную скорость струн, равную 2оо'"). Однако, если можно сделать так, чтобы детонационная волна распространялась в направлении, перпендикулярном к оболочке заряда, то скорость струи и! должна была бы увеличиваться безгранично, по мере того как угол 8 между стенкой заряда н осью симметрии будет стремиться к нулю, как для плоской (клиновидной), так н для осесимметричной (конической) оболочек. Теперь покажем, однако, что предыдущее рассуждение не учитывает возможности нестррйного разрушенил, которого следует ожидать для достаточно малых углов й в плоском случае.
17 г. аьрчтоО 258 Гл РЫ!. Течения сжимаемой и тяжелой жидяости На рис. 81, а показан тип течения, открытый в 1929 г. Буземаном ") и примененный К. Фуксох1 к неструйному разрушеншо клина. Две симметричные ударные волны, составляющиеугол о с осью симметрии, распространяются от движущейся точки соударения У (см. гл, 1, п. 10) и разделяют течение на три обла-. сти. В каждой из этих областей течение равномерно. Скорость течения перед волной относительно точки У равна о, е ве(з!и Р, а скорость вя за волной параллельна оси. Для данного числа Маха М = п,(с (с обозначает скорость звука в соударяющемся Рис. 81. материале) можно предсказать максимальный угол отклонениям) 6. Особенно примечательно, что полученные таким путем результаты были подтверждены экспериментально ").
Однако следует иметь в виду, что в осесимметричном случае конфигурация, изображенная на рис. 81,а, невозможна "), и поэтому предыдушее теоретическое исследование больше не применимо, а максимальная скорость струи должна быть ограничена другими факторами. Были опубликованы экспериментальные данные для случая цилиндрической оболочки заряда, разрушаемой путем тороидального взрыва, возникающего мгновенно всюду около круга, всь которого совпадает с осью оболочки заряда"). Сечение по меридиану, проведенное через ось заряда, показано на рис. 8!.
б; поскольку угол разрушения 8 первоначально равен нулю, постепенно возрастая по мере прогрессирования разрушения, то скорость вершины струи приближается к максимально достижимой. Было обнаружено, что в действительности скорость такой проникаюшей струи, рассмотренной в п. !О, гл. 1, никогда значительно не превосходит величины 2во. Однако, если в каверне будет предварительно создано разрежение, то этой проникающей струе будет предшествовать высокоскоростная (ионизированная) газовая струя со скоростью до 80 км/сек. По-видимому, максимальная скорость, поскольку она сушественно зависит !ц Потенциаяннме течения в гравитационном яояе 259 (8.53) зт атомного веса, была определена иа основании кинетической теории газов.
1О. Потенциальные течения в гравитационном поле, Хорошо известно [51, гл. 1], что любое решение уравнения Лапласа 7 Ч/ = О можно взять в качестве потенциала скорости устано- вившегося идеального течения в гравитационном поле с потен- циалом (на единицу массы) б, при условии, что давление р удовлетворяет уравнению р -+ -1- т ст' т (т' + а = С (8.52) Это дает возможность попытаться распространить методы гл.
1! — 'г'11 на случай установившихся плоских течений со сво- бодными линиями тока в гравитационном поле. В случае, представляющем практический интерес, гравита- ционное поле однородно. Тогда при соответствующем выборе осей условием того, что линия тока )г = Уо будет «свободной» линией тока, является соотношение ! ч ~' = ПУ ЧУ = 2ду. (8.52а) Вводя комплексную скорость 1; = де тв и дифференцируя (8.52а) по длине дуги, получаем д — — = д з!п 9, или д — — Зд з!п о, (8.526) ~Ау и Из) поскольку Ог(з = г((/ прп )т = )то Для таких установившихся пло- ских течений, как недавно былодоказано Леви" ), свободные ли- нии тока оказываются аналитическими кривыми. В связи с этой аналитичностью любое идеальное плоское течение теоретически определяется формой любого участка любой свободной границы.
Справедливо и обратное утверждение: любая аналитическая кривая С, — О = !(х), х = д( — у), у ( О, может считаться свобод- ной линией тока )г = О идеального плоского течения в поле сил тяжести м). Предположим, что оси были выбраны таким обра- зом, что условие (8.52а) выполняется. Тогда потенциал скоро- сти (т' должен удовлетворять соотношениям х У = 72д ~ )'тУ(х))! +1' (х)) г(х=Р(х), о У У=-)~'2д ~ Угу ~!+д' (у)!г(у=Я(у).
По~ Действительные функции х = р(У), у = д((/), обратные по от- ношению к функциям (l = Р(х) и У = Я(у), будут аналитиче- скими функциями в некоторой окрестности С. Следовательно, 260 л'л. У!Н. те ~ения сжил~оелтой и тяжелой жидкости комплексные степенные ряды г = р((/) + сл)((л) можно применить для локального определения аналитической функции комплексного переменного г=й()тт) (с производной с(г/ЛГ сь О). Так, например, если кривая С задана уравнением Зх = = 2 (ау — 1) '*, то предшествующий метод дает функцию г=( — )(ааTИ' — 1)"ь+И)т'Ю', Ь=- . (8.53а) Однако описанный метод обращения не дает никаких указаний о том, как получить течения в целом около даннснх неподвижных границ. Обычное изложение этого вопроса ведется приближенными методами.
11. Метод интегральных уравнений. Представляет известный интерес метод (подобный методу гл. И) определения установившихся идеальных плоских течений в поле силы тяжести, ограниченных свободными линиями тока и полигональныма неподвижными границами. Этот метод (метод интегральных д Рис. 82.
уравнений) применим к классическим примерам периодических гравитационных волн конечной амплитуды (рис. 82, а); струи, истекающей из щели (рис. 82, б); поднимающихся пузырьков (рис. 82,в); течения через плотину с острым краем (рис. 82,г); течения по плоскому порогу (рис. 82,д) и течения из-под стенки шлюза (рис. 82, е). Все эти случаи рассматривались в литературе приближенными методами"), однако точные результаты, по-видимому, ограничены теоремами существования и единственности для 261 !д Метод иитегравьиьт уаавиеиий случая периодических гравитационных волн "). В этом случае для каждой скорости волны с (длины волны г.) существуетоднопараметрическое семейство решений (одно решение для каждой амплитуды вплоть до определенного предела).
В других случаях делаются различные правдоподобные предположения по физической интуиции. Наш метод будет пояснен на примере симметричной струи, истекающей из щели") (рис. 82,6). Рассматриваемое течение можно конформно и симметрично отобразить на единичный полукруг Г на вспомогательной полуплоскости 1 (см. рис. 83) !1 ! < ), )ш (1) ~~ О, г 1 Я так что неподвижные стенки пере- ~ ! ходят в его действительный диа- / метр, а свободные границы — в по- х, ~ / луокружность.
Тогда точка ! = 0 ~й будет соответствовать бесконечно удаленной критической точке 1, а точка 1 = г — бесконечности спа- Ри с. 83. дающей струи 1. Согласно теореме 2 гл, П(, если Т= — (1+1 ')12, то комплексный потенциал )гг выражается формулой )Р' = С!п Т, а его производная г)'е(г)г(Т = С!Т, где С вЂ” некоторый масштабный коэффициент. Для того чтобы построить течение, остается найти функцию г,(1); она, в свою очередь, дает возможность вычислить комплексную координату а= ) Г г1%'. Чтобы получить выражение для скорости ь(1), построим аналог функции Леви-Чивита (г(1) (гл. И, п.
2). Заметим, что функция Ь стремится к нулю в точке 1, как ЦТ и, следовательно, как ! (см. гл. П, п. 5). Поскольку комплексная скорость ~ действительна на действительном диаметре, применим, кроме того, принцип отражения; соответственно функция Д1) может быть аналитически продолжена на весь единичный круг )1! < !.
Поскольку с принимает чисто мнимые значения при мнимых значениях 1, то, следовательно, при !1! < ! получим ~=а,1+а1в+а,1в-+ (8.54) По теореме Леви функция ~(1) аналитична на единичной окружности 1 = еь за исключением точек отрыва 1 = и= ), в которых Ь = + ), и точек 1 = +! (т, е. точек Х и Х'), в которых 1, = й оо. 262 Гл.
!т111. Течения сжимаемой и тяжелой жидкости Вблизи точки 7 асимптотически Ь- )т 2тна, откуда Ж" — / )/21дл гав = ( ~ ) (1г) ', з — — 1[=[ Кроме того, поскольку Уй' - 1п (1+ 11) вблизи точки У, то при- ходим к заключению, что ч — '$/ 2гд~ — Ж" — [1п 11+ 11)] ', (8.55) где асимптотически постоянные коэффициенты не учитываются. Вблизи точки Р, в силу симметрии, ч — [!п(1 — В)['*.
Следовательно, если 0 < С < 0,5, то отношение с (1) е( — !пг(!+~ ))ср (8.56) ограничено и не обращается в нуль всюду при !1! .:. 1. Из этого следует, что можно написать г.=1[ — 1п С(1+В)[ 'еип>, если 0 < С < 0,5, (8.5бя) (8.56" *) с подходящими действительными коэффициентами аы. Последний шаг заключается в подстановке второго равенства в граничное условие на свободной границе (8.52б). Если это сделать, то получается уравнение ем [А (а) + В (а) т'(а)[ = а ебп [о' + Р (а)[, (8.57) в котором А(а), В(а) и Р(а) — известные действительные функции. В зависимости от одной неизвестной функции !л(а) = — с(т/с(а и от операторов Р, .) (гл, чт1, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
