Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 52
Текст из файла (страница 52)
! 0), выполненным графически для внутренней области с целью выбора расчетной сетки, обеспечивающей получение наиболее интересных результатов т4). Однако наши исследования показали, что при расчете внутренней области течения трудоемкость каждой алгебраической операции увеличивается приблизительно в четыре раза, а число расчетных точек — в десять раз и потому более выгодно применять большие вычислительные машины. 7.
Связанные методы. Методы, описанные в п. 2 — 6, позволяют эффективно решить ряд задач на обтекание в случае годографа в виде кругового сектора. Таким образом, они связаны с теми же вопросами, что и теоретические исследования в гл. П и частично в гл. 1!1. Существуют и другие методы, достойные упоминания, которые мы внимательно рассмотрели, хотя и не использовали для численных расчетов, Мы тщательно рассмотрели задачу расчета на цифровой электронной машине линий тока и эквинотенуиальных линий для течений, имеющих годографы скорости в виде круговых секторов. Ввиду неравномерного распределения функции К(~) представляется более целесообразным использовать К как независимую переменную, вместо того, чтобы применять обратное интерполирование для функций (е'К) или (е'(ео).
Функцию Т(йт) можно вычислить, применяя формулу (3,5), путем интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения вида дТ П (Т вЂ” Ть) д(тт Ц(Т вЂ” Ат)(Т вЂ” АД(Т вЂ” В ) 7. Связанные методы которые следуют из формулы (3.18). Таким образом, уравнение (9 15) может быть решено методом, изложенным в п. 2, с использованием разложения по биному Ньютона (1+и)'~" для получения решений уравнения (9.15'). Затем можно определить е(Ю' по формуле численного комплексного интегрирования (9.13). Несмотря на то, что точность вблизи точек отрыва несколько понижается, уменьшением шага сетки в этой области можно обеспечить требуемую точность. Две пластины Мы рассматривали также вопрос о создании единой программы расчета внутренней части течений около двух пластин, подобных рассмотренным в гл.
Ч. Формулы гл. Ч, п. 1 указывают на возможность применения следующего общего приема, в котором комплексный потенциал )г' выбирается в качестве независимого переменного; при этом выборе можно определить сеть линий токов и эквшготенчиальных линий Функцию Т( %') можно вычислить из уравнения (9.14). Затем ! вычисляется по формуле (5,3), дТ )е(1:т Н! — агг ) ' (9.16) которая может быть также заменена уравнением +(1.+ йг 2йгТг) Т О (9. 16') Уравнение (9.16') можноинтегрировать с большой точностью"). Однако, в отличие от (9.16), оно обладает тем недостатком, что не дает сети линий токов и эквипотенциальных линий. Используя затем формулу (5.6), можно вычислить м = ~ ес, (Т) сй и Г ' = еь".
Иначе говоря, можно вычислить (; ' из уравнения д (1 ') — = юГ'Я, (Т), (9.17) Наконец, с помощью формулы (9.13) можно найти ~ г,-'еЛГ Изложенный только что способ в действительности нами не применялся. Это частично объясняется тем, что уравнения (9.14), (9.16) и (9.17) содержат очень много параметров и поэтому мы считали, что сначала должна быть решена задача определения параггетроо.
Лля решения этой задачи применение замкнутых аналитических формул гл. Ч оказывается более эффективным, чем изложенный выше численный метод. Гл. 1Х Применение численных методов где все а; — действительные числа !см. 16.8)). Для любого приближения такого вида интегральное уравнение (6 16) заменяется системой уравнений Л(а ) =Мч(сх)К(6(ал))е '!'") (й=1, 2, ..., и), (9.19) где Х= ~ йа„з!и йе, !) =.!Х = ~ч"„а„соз йс, т=!)>, = ~а„з!и Ьс, (9.19'! (см.
формулы (6.146) — (6.14в)]. Уравнения (9.19) удовлетворяются тогда и только тогда, когда течение, определяемое функцией (!(!) (см. теорему 1 гл. И), удовлетворяет условию и = К(3) в точках г(он). Таким образом, наши приближенные решения соответствуют интерлоляиии стеленным многонленом. В частности, если принять (2ь — 1) л 2н (9.20а) или нн ае = —, н (9.206) то интерполирование проводится по формулам для равноотстоящих точек. Одним из авторов было доказано [78), что если уравнение 19.!6) имеет единственное решение, то решения последовательности систем уравнений (9.19) при п- со сходятся к этому точному решению; за недостатком места здесь мы не приводим этого доказательства ").
Нам предстоит еще задача численного решения системгя вида (9.19). С этой целью мы примем вели- Кроме того, мы полагали, что случай струйного обтекания криволинейных стенок представляет. больший интерес, чем случай полигональных стенок, вследствие чего мы сосредоточили наше внимание именно на этой задаче 8. Криволинейные препятствия. В гл. Ч!! мы исследовали вопрос о существовании и единственности идеальных плоских течений около криволинейных препятствий и решений соответствующих интегральных уравнений (6,15) и (6.16).
Теперь мы исследуем как с теоретической, так и с практической точек зрения эффективное приближенное решение этих интегральных уравнений. Следуя Бродецкому, мы использовали лолиномы для приближения функции Леви-Чивита (1(!) в виде !г(!)=а„+а,(1)+ ... +а„!", 8. Криволинейные препятствия 279 чины Л(ан) за неизвестнеяе постоянные, через которые 6(аи) и т(аи) могут быть выражены в виде в и 'в(ан) = ~ Ун7Л(ае), т(ан)= ~~~ Юв~~Л(а~), ш1 ы! где матрицы Уи?, Р!и? зависят только от п. При малых М эта система может быть решена путем прямой итерации. В самом деле, здесь применимы рассуждения гл.
ЧП, п. 2, из которых следует, что сходимость решений в данном случае подобна сходимости геометрических прогрессий. Однако при больших М прямая итерация уже не обеспечивает сходимости, поэтому потребовалось найти более тонкий метод решения. Идея, лежащая в основе найденного метода, была нами почерпнута из наблюдения, заключающегося в том, что для ожиеальной поверхности при К===-! оператор 6 [Л] = Мч(а) К(аЛ) е-"т (9.21) является антитонным. В более общем виде это справедливо для симметричных течений, если К((?) — возрастающая функция. В связи с этим возникает возможность использования усредненной итерации с весовым коэффициентом е, т. е.
можно выполнять итерацию 6 И=(1 — ')?+ 6[Л] (9.21') Эта схема оказалась эффективной почти во всех случаях. Более подробный анализ был опубликован ранее"). Типичный числово(? пример уже приводился в гл. Ч1. Однако этот метод решения уравнения (9.!9) не казался нам наилучшим, так как он не позволяет полностью решить задачу определения параметров, которая является, по-видимому, наиболее важной задачей. В качестве первого шага для решения этой трудной задачи мы попытались применить схему, приближенно соответствующую лемме Якоба (гл. ЧП, п. 5) и основанную на том, что во многих случаях параметры являются монотонныии Функциями от М. В этих случаях верное значение М можно отыскать путем итерации по (9.21) или (9.21').
Метод заключается в выборс малой положительной константы с и замене простой схемы итерации (9.21') более сложной рекуррентной схемой Л =вМ $[? !+(! е) ?. (9.22а) М„,=М,+ .(М,— М), (9. 226) где М, = й(Ь[Уе?]) определяется так, чтобы пара (М„, 8[Ли?]) удовлетворяла некоторому дополнительному условию [т.
е. любому из условий (6.17), (6.19в), (6.28и) или (6.32')]. ГЛ. тХ. Применение тисненные Методов Поскольку наш опыт применения этой схемы, а также и сама схема были подробно описаны в другой работе'т), мы не будем углубляться в дальнейшие детали. 9. Теоретические соображения. Вместо этого мы покажем справедливость применения усредненной итерации, введенной в п.
8, доказав, что она сходится при достаточно малых е; тем самым мы получим конструктивную теорему существования для многих типов струйных течений; следовательно, п. 9 можно считать продолжением гл. ЧП. Мы убеждены в важности как подобных конструктивных теорем существования, так и строгих доказательств справедливости численных методов. Рассмотрим сходимость процесса усредненной итерации (9.21') для фиксированных М.
Таким образом, мы не будем рассматривать задачу определения параметров. Мы ограничимся также рассмотрением тел оживальной формы, для которых т( ==!. Наше обсуждение будет соответствовать непрерывному случаю интегрального уравнения (6.16). Однако оно может быть применено (в слегка упрощенной форме в связи с конечным числом измерений) и к дискретной системе уравнений (9.19') (78!. Т е о р е м а. При всяком положительном е в интервале 0 < е < 2/(! + шахт) усредненная итерация >„= Я.
[Ц непрертявной функции Хо(а), О ~()»о(а) < т(а) равномерно сходится к решению уравнения > = те Доказательство основывается на следующей лемме, Л е м м а 1. Пусть ео — неотрицательная ограниченная функция. Тогда для каждой функции х, с интегрируемым квадрата,и, и любого е, 0 < е < 1, имеем '») ! — »м0х+(1 — е)х, 0 ( — ем0х+(! — е) х!) Л =.. < Т ( з) (х, 0х) ~', (9.23) где ~ 1 — » при 0 < » ' 2/(шахи+2), Т(м) = (9.24) 1 »шахи+» — 1 при 2фпахи +2) <» < 1, Д о к а з а т ел ь с т в о.
Рассмотрим оператор 0 = )Гь 0 )т' ип обозначающий умножение на функцию )тит, затем применение оператора 0 и снова умножение на )/ ь Он представляет собой интегральный оператор с неотрицательным симметричным ядром 0„(з, ~)= )Гь,(з) О(з, т) )тма(т), с интегрируемым квадратом. Как и оператор О, оператор 0„— неотрицательно определенный, поскольку (О х, х) =(0)/ х, )т ах))~0. Следовательно"), 0 обладает не более чем счетной последовательностью собственных функций р» ((; ео) и собственных значений с» (ео), 281 й.
Теоретические соображении Легко видеть, что, поскольку 0 (з, !) неотрицательно, точная верхняя грань достигается при некотором х > О, и, следовательно, сг(о«) возрастает с возрастанием ео В частности, заменяя переменную го ее максимальным значением и вспоминая, что наибольшим собственным значением сг(1) оператора 0 является 1, получаем сг(о«) ( цахес,(!) = гпах о!.
Любая функция у, с интегрируемым квадратом может быть единственным образом разложена в ряд по собственным функциям О, у = ~ ан!он +у„ н=! (9.26) где (уг, ч!н) = О для а = 1,2, .... Простое вычисление дает ( — г0 у+(1 — )у, 0„! — 0„у+(1 — )у]) = = ~х'„( — есн+ 1 — е)«с,аон, (9,27) (у,0у)= ~са', (9.28) и так как сн )~ О, в результате сравнения (9.27) и (9.28) получаем (9.29) —.О.у+(1 —.) у, 0. ( —.0.у+(1 —.) уУ < (зцр, ! — ес +! — е!(у, О„у)а. Полагая у = )! ох и учитывая, что знр ! — есн+! — е) (гпах(ес, +е — 1, 1 — о) ( т(и!), получаем утверждение леммы (9.23). Дока з а тел ьс т во теорем ы. Ввиду того что оператор 8 преобразует неотрицательные функции в неотрицательные функции, меньшие или равные «, то О ( Хн(о) ( «(о) для всех й. Разность 6„+! = Х„ч.! — Х„между двумя последовательными итерациями можно записать в виде 8„„= — еи!„08„+ (1 — е) 8„, где "и Е н — ! 'и+ чи — ! Собственные значения все неотрицательны и наибольшее пз них с, (о«) в точности определяется формулой сг(а)=знр,к1=! ~ ~ В(з, Г) )! ао(з) УкаИ)х(з)х(г)г(зг(г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
