Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 59
Текст из файла (страница 59)
По принятым предположениям, д(77дп = а! дк[дп на поверхности твердого тела, в то время как на свободной границе р = сопя!. Ввиду того что перемещение твердого тела имеет порядок О(!з), получим дст дт дА дх — = — +а! — + ...
=О+а! — + .... дл дл дл дл 6. Приеоединенная масса навигационного'течения Следовательно, при ! О на поверхности твердого тела дА дх да дн ' (11. 13 а) Воспользуемся теперь интегралом Коши — Лагранжа для давления р в ускоряющемся идеальном течении. При ! = О его можно записать в виде С(!) — — = — чСт У(т'+ — = — У~.
Ут+аА. (11.14) р 1, дУ 1 р 2 дт 2 Однако, по предположениям, на свободной границе тг~ 7у= = сопз!. Подставляя последнее выражение в (11.14) и вычитая из А константу, не имеющую физического смысла, получаем, что на свободной границе А=О. (11. 1Зб) Как известно [42, стр. 214), условия (1За), (135) и чтА = О однозначно определяют А. Заслуживает внимания тот факт, что условия, определяющие А(х), не зависят от у и что они не изменятся также и в случае наличия гармонического гравитационного потенциала 0(х).
Они зависят только от формы свободных границ и твердых стенок и напрааления (поступательного) ускорения. ' Простейший и наиболее важный случай соответствует вертикальному ускорению ллаааюа!его тела (рис. 95) в неподвижной воде. В этом случае начальную свободную поверхность 5 можно совместить с х = О и из (11.!Зб), применяя принцип симметрии (метод отражения), получить А( — х, у, а)= — А(х, у, а). (1! .15) Следовательно, А можно считать потенциалом скоростей в установившемся течении вокруг нового тела В', составленного из погруженной части В' тела В и ее зеркального отражения В" (рис, 95). В частном.
случае наполовину погруженных сфер и эллипсоидов соответственно получается половина обычного установившегося течения вокруг того же самого тела, В случае кругового цилиндра или сферы, погруженных меньше, чем на половину, величина А(х) определяется как для течения около чечевицеобразного тела; случай клина приводит к течению около ромба. Все эти случаи описаны в литературе"). 3!6 Гл. ХЛ Иеуетановившиеея аотенциальние тенения Еще одна интересная задача возникает при исследовании кавитационного обтекания пластины (гл.
11, п. 2); этот случай рассматривался М. И. Гуревичем 44). Согласно выражению (11.14), результирующая реакция жидкости 'равна Г= — ра ) Ае($, (11.16) где абсолютная величина векторного дифференциала с($ равна элементарной площади поверхности дЯ, а его направление совпадает с внутренней нормалью к поверхности твердого тела. Величину т' = р ) Ае($ можно назвать присоединенной массой навигационного течения; величина т'(а/)'/2 является кинетической энергией ускоренного движения и, как известно, ее минимизирует'в) возникающее при этом поле скоростей. Вообще говоря, определенная выше присоединенная масса пт' кавитационного течения составляет 50 — 80% от обычной присоединенной массы.
Несмотря на то, что величина т'о'/2 не выражает полной кинетической энергии кавитационного течения (которая равна бесконечности), понятие присоединенной массы кавитационного течения (с некоторой осторожностью ") ) можно использовать для объяснения экспериментально наблюдаемой зависимости величины коэффициента сопротивления Са шара при изменении параметра о, равного отношению плотности шара к плотности жидкости.
Мэй м) получил приближенную зависимость Са(о) = = 0,28/(1+ 0,13а '), которой соответствует присоединенная масса кавитационного течения, равная приблизительно 25о/о обычной величины присоединенной массы. Кавитационная зона. В предыдущем рассмотрении предполагалосьн что кавитационная зона не подвергается внезапному изменению. Однако в предельном случае мгновенного изменения скорости, как хорошо известно из эксперимента, это не соответствует действительности.
Если предположить, что в кавитационной зоне давление постоянно и равно давлению на бесконечности, то получается задача более трудная, чем рассмотренная выше. Вообще, согласно (11.14), в безвихревом потоке минимальное давление имеет место на границе"); таким образом, задача сводится к определению формы кавитационной зоны. Эта интересная задача, по-видимому, впервые была рассмотрена Рябушинским 'т) в 1926 — 1927 гг. Она была решена Рябушинским и Демченко ") для случая твердого кругового цилиндра, погруженного в большую цилиндрическую массу воды, и Згт 7.
Ускорение жидкой сферы 71. И. Седовым и) для случая полупогруженного эллиптического цилиндра. 7. Ускорение жидкой сферы. Рассмотрим начальное движе. ние жидкой сферы плотности р, вызванное мгновенным ускорением из состояния покоя в окружающей жидкости плотности р' или же мгновенным появлением однородного гравитационного поля д. Если А и А' — потенциалы ускорения обеих жидкостей. то, очевидно, Ч'А = те'А' = О. На границе раздела жидкостей 5 из условия несжимаемости получим — — и ~ — е/5=0.
дА дА' г дА дл дл ~ дл (11. 17а) Кроме того, согласно (!1.14), при р = О, ввиду непрерывности давления при переходе через 5, имеем рА = р'А'. (11.17б) 'т'(у) — 1 ~ К(у; и) у(ех) е/5= ~~дну» (11.18) на 5. Здесь д — ускорение на бесконечности н ядро К(у; п) соответствуете)(у — и)/дп теории потенциала. Однако было исследовано только несколько частных случаев. Пуассон" ) доказал в !828 г., что йА = с постоянно для эллипсоидов. Это эквивалентно утверждению о том, что начальное ускорение любой жидкой сферы или эллипсоида Если я — мгновенное ускорение, то мы также имеем !цп УА(х)= д.
х-е ю Особенно интересны предельные случаи р = оо (твердая неподвижная сфера) и р = 0; последний соответствует электрическому проводнику в однородном поле. Вообще условия (11.17а) и (1!.!7б) определяют краевую задачу теории потенциала, возникшую впервые в теории магнитной поляризации (магнитной индукции) Пуассона, в теории электростатической индукции Фарадея, в теории электро- и теплопроводности и в теории фильтрации ").
Легко видеть, что обобщенный поляризационный потенциал А — ~~П дехи А' —,Эедехе опРеделен во всем пространстве, регулярен на бесконечности и является гармонической функцией всюду, кроме 5, где дА/дп = дА'/дл Следовательно, он представляет собой [42, стр. 286) потен.
циал двойного слоя плотности ф(у) на 5. Далее, если имеем Х= (р — р')/(р+р'), то ф(у) является решением интегрального уравнения типа Фредгольма 318 Г.т. Хд Неуетанааиашиеея аатенциа,шные течения происходит так же, как твердого тела. Так, для жидкой сферы имеем А' = ах+ Фа —,, А = й'х. (11. 19) В 1931 — 1932 гг. Лайв и Никлибор") доказали, что не эллипсоидальные жидкие тела этим свойством жесткости не обладают.
Интересная родственная задача струйных течений, для которой также выполняются условия (11.17а) и (11.176), связана с импульсным ускорением паровой каверны в покоящейся жидкости. В этом случае постоянство об ьема каверны не предполагается и задача математически эквивалентна задаче о проводнике в электростатике. Наконец, можно рассмотреть задачи, в которых одновременно имеются и свободные границы и твердые стенки.
Например, случай полусферы или цилиндра, находящихся на жесткой горизонтальной плоскости, рассматривался Пенни и Торнхиллом 'а) 8. Ударные силы. Хотя начальные поля ускорений и импульсные поля скоростей, подобные рассмотренным в п. 6, 7, легче поддаются математическому анализу, на практике обычно приходится встречаться с условиями, когда течения изменяются за достаточно длительный промежуток времени. Сюда относятся задачи по определению ударных сил, действующих па поплавки гидросамолета и воздушные торпеды при их соприкосновении с водой, а также при так называемых хлопках корпуса судов. Полезные оценки величины силы удара как функции времени могут быть выполнены путем применения идей, развитых в п, 6. Так, например, согласно Карману" ), можно считать, что при вертикальном ударе поток почти совпадает (как в п.
6) с потоком, вызванным плоской пластинкой, имеющей одинаковую вертикальную скорость и и мгновенную плошадь 5 сечения по ватерлинии. Из этого предположения можно вычислить полное количество движения "), передаваемое воде. Поскольку касательные составляющие напряжения конечны, импульсы, передаваемые напряжениями через любую вертикальную поверхность, горизонтальны. Конвекцией при ударе можно пренебречь. Следовательно, переданное количество движения должно быть равно количеству движения любого вертикального цилиндра, содержащего смоченный периметр. В двумерном случае оно равно (5Ц иеу'а (11.19а) 9.
Удар ггонусоа и клиньеа где 2Ь вЂ” ширина ватерлинии. В осеснмметрнчном случае 5 представляет собой диск радиуса а = а(1), и количество движения равно (50, стр. 139] (11.19б) Дифференцируя, можно обнаружить, что сила приблизительно равна 4роа'а, и в начальный период она, грубо говоря, пропорциональна ~'Г в случае снаряда с конечной кривизной головки, когда а- ]г'Х. Вагнер" ) продолжил исследование вертикального удара и определил поправку на подъем уровня поверхности, которую необходимо ввести, поскольку площадь смоченного периметра превосходит площадь поперечного сечения на уровне ватерлинии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
