Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Предыдущие соотношения являются фундаментальными в теории реальных следов. Их распространение на периодические н турбулентные следы . обсуждается в гл. ХП1, п. б и гл. Х1Ч, п. 7. 7. Уравнения Озеена. Уравнения Озеена (12,8) применялись во многих исследованиях. Так, например, используя приближение Озеена и методы возмущений, можно сделать поправки более высокого порядка к ползущему течению (12.7) около сферы, дающие формулу ") 28 / Зйе 19йее 71йе' й 1 + 16 !280 +20480+ ''')' Гл. лП. Устаиовившиеся вяэяие следи и струи Большой интерес представляет использование приближения Озеена для разрешения парадокса Стокса (п. 3) и для получения теоретических оценок сопротивления цилиндров при малых числах (се.
Хотя вследствие влияния стенок ") измерения затруднены и не пригодны при 1(е <(1 [31, гл. у"П1], полученная формула О = 4!с(7 представляется приближенно верной [51, э 343]. Были проделаны также различные другие расчетыследов при малых Ке, основанные на линеаризованном приближении Озеена. Можно упомянуть случаи эллипсоидов, эллиптических цилиндров, сфер в трубах, проницаемых пластин и цилиндров, наклоненных под углом к потоку ").
Зги расчеты основаны на системе (12.2), (12.4), (12.8) и условии ц(ис) = О, которые определяют так называемую краевую задачу Озеена. [Заметим, что в наших новых обозначениях в уравнении (12.2) и = и, = = — К и = ит = О и ш = ие = О на поверхности препятствия.] 8. Приближение пограничного слоя. Для течений, почти параллельных оси х, уравнения Навье — Стокса можно заменить приближенными уравнениями пограничного слоя Прандтля [31; 18'; 26*]. Используя индексы для обозначения дифференцирования по соответствующим переменным, эти уравнения можно записать для плоских течений в форме (Е/+и)и,+оит = — р 'р„+ чи „.
(12.17а) Для осесимметричных течений они имеют вид ((У+и)ля+пи,= — р 1р„+тг '(ги,),. (12.176) Отметим, что в приближении пограничного слоя течение впереди препятствий предполагается невозмущенным. Большинство теоретических исследований [31], [98] реальных струй и следов основано на уравнениях (12,17а) и (12.176). Соответственно были детально проанализированы принимаемые приближения (напрнмер, [31, гл, 1Ъ']). Однако мы избежим этого приближения при рассмотрении уравнения количества движения (п.
9) и получим асимптотический профиль скорости следа (12.11а) и (12.116) из еще более простых уравнений. Поэтому мы опустим вывод уравнений (12.17а) и (12.176) из уравнения (12.1) и отметим только несколько очевидных фактов. Как и в уравнении (12.10), в уравнениях (12.17а) и (12,176) член и„„не учитывается, откуда приближенно тти =и„„+ иеи КРоме того, попеРечный масштаб бесконечно увеличивается, так что отношения поперечных размеров к продольным считаются бесконечно малыми. В частности, если функция )7- 4~(к, у, г) удовлетворяет уравнению (12.17а), или Э. Теорема количества движения (12.17б), то функция )г = ф(х, Ау, йа) также удовлетворяет этому уравнению.
Наконеп, уравнения (12.17а) и (12.17б) могли бы применяться с большой точностью к ламинарному следу за плоской пластиной или тонким профилем (длины 1), параллельными течению, поскольку течение является почти параллельным. Лобовое сопротивление, рассчитанное Блазиусом [31; 18'; 26"), равно 0 = 1,328 (1»(/о) 'и, коэффициент сопротивления равен Со —— =2,656()'Ке Линии тока также могут быть рассчитаны путем численного интегрирования "), однако в действительности след становится неустойчивым, при И/» = Ке ) 1ООО.
Когда профиль скорости в следе анализируется в приближении пограничного слоя, то давление в следе обычно предполагается постоянным, т. е. равным давлению Р в невозмущен. ном потоке [формулы п. 5 дают более точное приближение к давлению невозмущенного потока Р(х) на внешней гранипе пограничного слоя следа]. Если это предположение сделано, то можно доказать "), что интеграл количества движения Мо= — р ~ [(7+и(х, у)!и(х, у)ду не зависит от х. В пространственных задачах то же самое справедливо относительно интеграла СО М,= — 2ир) ) (су+и(х, у, я))и(х, у, я) аусЫя. (12.186) о Поскольку и- О при х- оо, эти формулы связаны с формулами (12.12а) и (12.!2б) посредством соотношений М, = (ТМ(оо) и М, = (7М(оо) соответственно.
(Не следует забывать, что пределами интегрирования в теории посраничного слоя являются границы пограничного слоя или следа.) 9. Теорема количества движения. Укажем теперь основы применения закона о сохранении количества движения к асимптотическому поведению следов и струй независимо от того, являются ли эти струи ламинарными, периодическими или турбулентными.
Проведем строгое обсуждение, основанное на уравнениях Навье — Стокса "). Теорема 1. В несжимаемой жидкости, удовлетворяющей уравнениям Надое — Стокса, в двумерном течении Р = — ~ Р ду + р ~ ~ д"„— д" ) с(х — р(7 ~ и Ыу— — р !~ (и' ду — ип ах), (12.19а) тв. Гипотеза подобия геля, не учитываются вне следа )е, то в плоском течении О= ) (Н я)с(у+р~(иоггх+ о (о~ — и~)ау1 (12.20а) а в осесимметричном течении й= ) ') (Н вЂ” Ь)дб,— р / ) ~~~ (и,илдб,— — и',гЮ,). (12.20б) Доказательство. Согласно результатам предыдущего пункта, разность Н вЂ” й вне следа )е' мала, поскольку там мала производная дй/дх.
Кроме того, член выражения (12.19б), содержащий вязкость, может быть переписан в виде интеграла 2я1л ~ гЬс(х, который обращается в нуль, если дх = 0 вдоль )Р'. Следствие 2. Если 1п~ = о(Хь) внутри следа (Р; если (У' имеет радиус 0(Х-ч) на расстоянии Х эа препятствием, если )и1 = о(йе ') вне %' и, наконец, если Г, и его производные убывают экспоненциально вне ГЕ', то асимптотически при Х- оо в плоском течении И = )г (Н вЂ” й) ду = — ри ) и г(у, (12.21а) а в осесимметричном течении Е1=2я ~ (Н вЂ” Ь)гс( = — 2яреУ ~ иге(г. (12.21б) Действительно, квадратичными по и~ членами асимптотически можно пренебречь как внутри следа В', так и вне его. Отметим, что асимптотические формулы п. 6 можно получить на основании следствия 2, используя соображения п. 5, чтобы обосновать его предпосылки.
Спепиалисты по теории крыла в формулах (12.21а) и (!2.21б) увидят первые члены известных выражений, имеющих большое практическое значение. Более глубокий анализ, принадлежащий в основном Бетпу и Джонсу, дает возможность точнее определить лобовое сопротивление крыла в полете по измеренному распределению полного давления в поперечном сечении потока за профилем на расстоянии, составляющем некоторую часть длины хорды ел).
Однако мы ие будем приводить этот более точный анализ отчасти потому, что он математически менее строг, чем более простые асимптотические формулы. выведенные выше, 1О. Гипотеза подобия. Можно легко проверить, что асимпуотические профили (12.11а) или (12.11б) в следах подобнЫ Гл. ХП. Установившиеся вязкие следы и струи п(х, у)=х-Р~(~~, (12.22) где т) = у/хо.
В дальнейшем мы увидим, что аналогичное выра>кение предполагается асимптотически справедливым в теории Таблица 7 Значения р н с) для плоского (и = 2) и пространственного (и = 3) течений А. Свгруи. Гипотеза подобая: и = х-Р/(у/хс) Ламинарное течение Условие атиоролностис се рт! Количество движения Турбуаентное течение е ! Р = '/з и = з/з а=2 2р= с7 р= '/,, г)=1 п= 3 Р=!7= 1 р = с7 = 1 Б. Следы. Гипотеза подобия: и =х-Р/(у/хе).
Ламинарное течение Условие ааиоролностн тс =1 турбулентное течение реа-! Количества лвиженая а=2 Р = и = '/з Р= '7 = '/з п=З Р='/з с/='/з Р=1 с/мч /т р=2д В. Следы гидрадикаиических движигпелей Та же гипотеза подобия и, следовательно, то же условие одиородиост и турбулентвое течение Количество лвижении Ламинарное течение п=2 р='/ ° у= '/ Р = в/з с7 = '/з Л=З Р = % с7 = /з р= 4!7 '7 = '/з одному универсальному профилю скорости при соответствуюшем изменении масштабов расстояния и скорости. Точнее говоря, для подходяших положительных постоянных р, г) они имеют форму !!.
Ползущие струи 349 ламинарных струй. В этом случае его можно назвать гипотезой подобия. Вообще говоря, гипотеза подобия кладется в основу теорий турбулентных следов н струй (гл, Х1Ъ') и следов гндродннамических движителей. Во всех случаях постоянные р и д могут быть определены из приближенных форм закона сохранения количе.
ства движения н требования совместности с принятой приближенной формой уравнений движения. Таблица 1 содержит перечень постоянных р н с), определенных таким образом"). Для пояснения метода отметим, что из уравнения (12.21а) следует, что для плоских вязких следов в формуле (12,22) р = д, в то время как нз уравнения (12.216) находим р = 2с). Кроме того, чтобы получить однородность в упрощенных уравнениях (12.10), мы должны принять 27 = 1. Условие 2д = 1 является также необходимым и достаточным условием для однородности уравнений пограничного слоя (!2,!7а) и (12,176), если пренебречь членом иии по сравнению с членом (7п,, Из этих двух уравнений можно вычислить необходимые значения р и д, пере.
численные в табл. 1, Так, например, для плоского ламинарного следа р = д = 1!т. ширина следа имеет порядок 0(х'), максимум скорости истечения 0(х-ш); число Рейнольдса вдоль следа постоянно. В осесимметричных ламинарных вязких следах р = 1, д = Чы следовательно, диаметр следа имеет порядок 0(х'!е), максимум скорости в следе имеет порядок 0(х-'); число Ре = 0(х-'1) ) О,н поэтому осесиммезричный след будет оставаться ламинарным, если он первоначально был ламинарным.
Эмпирически было найдено, что критическое число Рейнольд. са Ке,р, при котором след становится не ламинарным, имеет величину в пределах 30 — 60 для двумерных следов за круглыми цилиндрами"), более 500 для следов за плоскими пластинами, параллельными течению !91), и в диапазоне 100 — 200 для следов за затупленными осесимметричными препятствиями (гл. Х111, п. 1!). 11.
Ползущие струи. Можно предположить, что при стремлении числа Рейнольдса Ке к нулю струя очень вязкой жидкости, истекающая из конического насадка, будет описываться уравнением Стокса (12.56) для ползущего течения, а также, что струя, истекающая из щели в вершине клина — уравнением (12.5а). Очевидно, что случаи истечения из щели в стенке и из длинной трубы являются частными случаями. Поэтому заслуживает внимания существование течений (рис. 102), которые имеют (прямые) радиальные линии тока, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
