Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 69
Текст из файла (страница 69)
В п. 3 мы рассмотрим приближенный теоретический расчет параметра Х. В п. 8 после определения в п. 4 — 7 количества движения следа и его устойчивости будут определены вели- чины а, Вп, Ь/и и й/с/. 3. Скорость схода вихрей. Как было показано Гейзенбергом и Прандтлем '), с помощью теории пограничного слоя нетрудно приближенно определить параметр )..
Поскольку в приближе- нии теории пограничного слоя завихренность равна с = ди/ду, то скорость схода вихрей К, с каждой стороны тела приближен- но равна К,= ) — ис/у =0,5и' г ди ду где 3 — толщина пограничного слоя и и, — скорость вне его вблизи точки отрыва. (Мы пренебрегаем здесь тем обстоятель- ством, что вследствие отрыва потока теория пограничного слоя становится неверной.) Согласно общей теории плоских течений и особенно согласно следствию уравнений Навье — Стокса ссЦс(/=ч7'~ [62, $ !9.!1), завихренность потока распространяется путем конвекции и диф- фузии в область следа.
Таким образом, с самого начала своего образования след ограничен двумя тонкими вихревыми слоями одинаковой интенсивности и противоположного знака. В соответствии с простейшей картиной невязкого плоского течения эти вихревые слои «сворачиваются» вследствие неустой- чивости по Гельмгольцу (гл. Х1, п. !4) в периодические точеч- ные вихри с сохранением завихренности, так что параметр К, равен параметру К, определенному в п.
2. Учитывая эти предпо- ложения, а также полагая в соответствии с теорией свободных линий тока, что и, = (/, Гейзенберг [26) таким образом априори определил величину К/И = ). = 0,5. Порядок этой величины най- ден верно. Более точное значение Х может быть получено с учетом за- мечаний Прандтля'), развивающих идею Гейзенберга. Приме- няя теорему Бернулли к потоку вне следа, получаем и',=(1+ О) ~/', где Я = 2(рт — р„)/рИ, Я вЂ” эмпирический коэффициент разре- жения в следе (гл. 1), рт — давление в свободном потоке, р„— давление в следе.
Отсюда Прандтль получил формулу К,=0,5и'= ( + (13.6) д. Завикреииасть и величества движения следа Збз Эта формула подтверждается результатами прямых измерений Кь проведенных Фейджем и Иогансеномв). Для завершения оценки К необходимо определить параметр 6 = К/Кь В силу сохранения полной завихренности ) ) с/и= = ~ ~ чс/хе/у в вязком плоском течении (что следует из уже упоминавшегося уравнения с(~/т// = чт'Г), параметр 5 представляет собой часть полной завихренности обоих знаков, которая не подверглась взаимному уничтожению при смешении (взаимной диффузии) одинаковых количеств завихренности противоположных знаков. В соответствии с асимптотической теорией гл.
ХП, п. 5, величина 5 в конце концов обращается в нуль на большом расстоянии вниз по потоку. С другой стороны, если бы никакого смешения вихрей противоположного знака не происходило, то мы имели бы 5 =- 1, как было принято Гейзенбергом. Прандтль эмпирически установил, что 6 приближенно равно половине для той части следа, которая аппроксимируется вихревой дорожкой. Джеффрис' ) объясняет это тем, что при «свертывании» пограничного слоя половина его переходит в след и подвергается там перемешиванию, а другая половина переходит в вихревую дорожку.
Он обосновывает это предположение симметрией возмущений в единичном пограничном слое. Несмотря на то, что эта симметрия, согласно наблюдениям Розенхеда'), имеет только временный характер, до сих пор принято полагать р=0,5. Этому соответствует, согласно (13.5) и (13.6), формула (1+0) Р 1+0 2 4 откуда и следует, что Х обычно имеет значение, несколько меньшее 0,5. 4. Завихренность и количество движения следа. В п. 4 — 6 мы используем понятия количества движения и сопротивления следа, введенные в гл.
Х11 при исследовании (почти) периодических следов. Целесообразно начать с установления зависимости между количеством движения (в следе) и распределением завихренности. Хорошо известно'в), что если полная напряженность вихрей в плоском потоке несжимаемой жидкости равна нулю (т. е.
если положительные и отрицательные вихри взаимно уничтожаются), то компоненты вектора количества движения М выражаются с помощью сходящихся на бесконечности интегра- Гл. ХН1. Ртериьдииееиие следы лов М„=р ) ~ ийхиу, Ми= р ~ ~ пйхйу. Эти компоненты кинематически связаны с завихренностью ~(х, у) уравнениями Мл=р ~ ~ учахЫу, М,= — ~ ~ х" с(хну. (13.8) Отсюда следует, что величина проекции количества движения на продольную ось идеальной вихревой дорожки (!3.2), соответствующая паре вихрей (т. е, одному периоду), должна быть равна ркй.
Этот результат можно получить также путем интегрирования вдоль контура [31, $ 2431 Точнее, пусть текущее значение количества движения на единицу длины следа для идеальной вихревой дорожки М(х) определяется формулой М (х) = — р ~ и (х, у) йу; тогда среднее значение равно М(х) = ~ (13.10) М (х) = ~ ~ у йи., (13.
1О*) где усреднение производится по периоду а. Можно считать, что (!3.10*) приблизительно верно и для почти периодических следов. В качестве дополнительного подтверждения отметим, что в соответствии с теорией погранич- При сравнении определения (!3.9) с формулой (12.12а) следует заметить, что поле скоростей, порожденное периодической вихревой дорожкой, стремится к нулю по экспоненте при у- ч- ьь. Следовательно, интегрирование действительно производится поперек следа (й'. Если же рассматривается реальный полуограниченный след, то это утверждение перестает быть справедливым: интеграл поперек (!!' имеет почти в два раза большую величину, чем в пределах †( у ( + иь, из-за наличия вне К радиального потока типа источника. Интегрируя (!3.!О) относительно йя, мы приходим к следующей теореме.
Т е о р е м а 1. Если й(х, у) — любое периодическое распределение завихренности положительного и отрицательного знаков со средней интенсивностью, равной нулю, то б. Завилренность и лобовое сопротивление ного слоЯ, согласно котоРой Г = ии = тт „, имеем ~ ут(х, у)е/у= ] уут„с/у= ~ уе('ьлт= ь =у1л [' — ] с/(т= 1й(х, — оо) — Ь'(х, + эо). ьь Следовательно, в этом приближении М(х) = р[уьс(у.
5. Завихренность и лобовое сопротивление. Найдем теперь зависимость между завихренностью периодического следа и соответствующим ему лобовым сопротивлением. Следует подчеркнуть, что приводимые ниже формулы не являются точными, поскольку они выводятся при условиях, которые не выполняются точно. Асимптотическая формула (/М(оо) = 0 гл. Х11, п. 9 не применима к периодическим следам, так как скорость не стремится к постоянной (/ на бесконечности.
Если бы последнее условие выполнялось, то мы имели бы Р ~ ркй(//а. Более точная оценка может быть получена в предположении, что 0 есть скорость, с которой создается количество движения в следе за телом, движущимся в неподвижной жидкости. Это дает, согласно (13.4), оценку (у — а,) рхь а (!3,11) Разделив (13.11) на рпее(/2 и использовав (13.5в), получим эквивалентную безразмерную формулу 2хь л лл Со = — ' —— 4в (1 — в) — сй — . ьт а Однако в приведенном расчете не учитывалась разница между средними давлениями вверх и вниз по потоку. В доказательстве следствия 2 теоремы ! гл, ХИ, дающем зависимость между количеством движения в следе и лобовым сопротивлением, эта разность давлений асимптотически стремилась к нулю; в данном случае это не так.
Если принять во внимание эту разность, то приходим к слегка измененной оценке ([39], [4!], [31, 9 243, (22)]) О = — „~ й/ — 2и, + — „~ = — + — (й/ — 2а,). (13.12) Эта формула совпадает с формулой (!3.1!) тогда и только тогда, когда 1(т(кй/а) = а/й или й/а = 0,39, Гл, ХШ. Лериодииеекии следы где для дискретных вихрей ье(хс(у = е(х. Если обозначить 21 = па, то на интервале — л. ~(х < Ь первоначально существует около и (математически п + о(п)) вихрей с напряженностью +к и около п — с напряженностью — к. Поскольку средняя ширина дорожки и, то Ф, (0) = ! пп ! — ' + о (1)1 = = л+ [Ла 1 а (13.13') Далее, среднее значение количества движения М„(!) на единицу длины в проекции на ось х в поле скоростей, вызванных завихренностью, определим следующей формулой; М„(!)= !!т — ) Их ~ и(х, у; ~) ау. (13.!4) -с -ее В предыдущих расчетах предполагается, что вихревая дорожка простирается в бесконечность а обе стороны.
Синдж показал, что если вместо нее взять периодическую полуполосу распределенных точечных источников, то коэффициент С„возрастает приблизительно на 5% и). Этот факт подтвсрждает сделанное в предыдущих расчетах предположение. Следует еще раз подчеркнуть, что ни одна из приведенных выше оценок не является точной. 6. Теорема сохранения. При втором применении закона сохранения количества движения и кинематической связи между количеством движения и зааихренностью будем рассматривать средний шаг вихревой цепочки с вихрями равной знакопеременной интенсивности ч-и как в вязкой, так и в невязкой жидкостях. Для облегчения задачи мы пренебрежем влиянием тела на развитие во времени следа вниз по потоку.
Будем также полагать, что след в начальный момент времени ! = 0 состоит из бесконечного ряда знакочередующихся вихрей интенсивностью ч- х, расположенных в полосе по обе стороны от оси х, причем средний продольный шаг") равен а и поперечный шаг равен Тп Эти же предположения приняты в теории устойчивости Кармана (п, 7), и поэтому настоящее более общее рассмотрение применимо также и там. Будем считать, что средний поперечный момент завихренности й'и(!) на единицу длины следа определяется формулой с ею тч' (~) = 1!ш — ~ еех ~ уй(х, у; 1) Ыу, (13.13) с-и Т.
Теория устойчивости оо Карману Затем на основании известной кннематической теоремы ") получаем обобщение соотношения (! 3.10) Я,(1) =ДТ (1). (13.15) Окончательный результат можно рассматривать как одну из форм теоремы о сохранении количества движения. Т е о р е м а 2, В вязкой или невязкой несжимаемой жидкости М,(1) = М„(0), поэтому тт'„(!) = йр(0) также не зависит от времени, В плоском течении невязкой жидкости завихренность сохраняется [62, гл.
1тТ]; вихри с течением времени перемещаются, сохраняя постоянной свою суммарную интенсивность "-х. Если скорость ограничена, то очевидно, что шаг вихрей а пе зависит от времени. Следствие 1. В невязком плоском течении величины х и а не зависят от времени, и, следовательно, ширина дорожки й = аЗУ„)х также не зивисит от времени. В плоском течении вязкой жидкости существует диффузия [62, гл. Х1Х] между зонами положительной н отрицательной завихренности. Следовательно, средняя интенсивность н-х(1) каждой зоны уменьшается со временем, причем суммарная интенсивность остается равной нулю.
Как и ранее, величина а = а(!) не зависит от времени. Поэтому из теоремы 2 можно получить еще одно следствие. С л еде т в и е 2. В вязком плоском течении величина а не изменяется со временем, но х(!) убывает, поэтому й(1) = аТч'„!хЯ со временем возрастает. Результаты, получающиеся из следствия 2, действительно подтверждаются экспериментально (рис. 108) ") Исходя из того, что в потоке жидкости малой вязкости ширина дорожки й приблизительно постоянна, можно заключить, что й/й, = 1, О, где й, — диаметр следа за телом на небольшом расстоянии. (Для кругового цилиндра или плоской пластины, согласно потенциальной теории струйных течений, ййй = = 1,0 — 1,5). 7. Теория устойчивости по Карману. Карман [39, 41] дал классический анализ устойчивости двух параллельных периодических цепочек вихрей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
