Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Он показал, что в невязкой жидкости вихревая дорожка имеет неустойчивость первого порядка (т. е. смещения вихрей от первоначального положения растут по экспоненте), за исключением случая й/а = 0,281, соответствующего сй(яй/а) = ] 2. Поскольку этот вывод можно найти во многих работах [51, э 156] и [62, 3 13.72], мы его здесь не приводим. 24 г. вирятоф 370 Гл. ХПП Периодичесаие следы Р и с. 108. Распространение периодических следов.
В связи с результатом Кармана можно найти много ссылок в литературе на величину 11/а = 0,281, как устойчивую относительную ширину дорожки. Однако различными исследователями показано, что и при условии й/а = 0,28! имеется неустойчивость более высокого порядкара~. Кроме того, поскольку й является 8. Число Струлолл инвариантом для невязкой жидкости (следствие 1, п. 6), очевидно, что отношение Ь/а определяется своим начальным значением, а не условием устойчивости ") й/а = 0,28! (инвариантность й и а следует также из численных расчетов Шмидена) "). Наконец, распад вихревых дорожек происходит отнюдь не в результате случайных смещений точечных вихрей, как это предполагалось Карманом, Таким образом, наблюдаемая в эксперименте конфигурация дорожек ") в диапазоне 0,28 < Л/а < 0,50 должна объясняться в противоположность ранее принятой точке зрения не тенденцией к «устойчивому» расположению вихрей, а какимито другими причинами.
Обсуждение этого вопроса будет продолжено в и. 8. С другой точки зрения, неустойчива периодичность вихревой дорожки, а не ее конфигурация; все средние значения относительной ширины (в невязкой жидкости) теоретически сохраняются, В связи с этим, естественно, возникает вопрос: если вихревые дорожки теоретически являются неустойчивыми, то почему в действительности они распространяются на такие большие расстояния вниз по потоку (в диапазоне 30 < Ке < < 200)? Одно из объяснений этого факта заключается в том, что скорость, вызываемая завихренностью, относительно мала (например, 0,03 (/). Поэтому при расположении вихрей, достаточно близкому к «устойчивому» режиму (Ь/а = 0,281), можно ожидать, что вихри переместятся на много шагов вниз по потоку, прежде чем их относительное расположение существенно нарушится, В дополнение следует отметить, что в действительности завихренность не сконцентрирована в отдельных точках (см.
п. 9), и, кроме того, жидкость обладает некоторой вязкостью. Оба эти фактора, по-видимому, ведут к уменьшению неустойчивости в действительных условиях. 8, Число Струхаля. Мы вернемся теперь к задаче определения безразмерных параметров е, 8(т, Ь/а и й/Н, котооая была поставлена в конце и. 2. Если принять в силу (13.7) приближение 2Х= (1+Я)6=1, то, согласно (13.12'), Ь с,=~ (13. 16) и (как ранее было отмечено, (13.5)) остается найти оценку для оставшихся двух коэффициентов.
Как было отмечено в конце п. 6, значение параметра й/с( мо* жет быть найдено с помощью потенциальной теории струйных течений (гл. 11 — »с1) для расстояний за препятствием, равных нескольким его поперечным размерам, после которых, согласно теореме 2, величина /с остается приблизительно постоянной, хотя 24» 372 Гл. ХП!.
Периодические следы там уже теория струйных течений неприменима. Из этих соображений можно получить приближенные значения коэффициента сопротивления для кругового цилиндра СР-- д --1,25 (! 3.! 7а) и для пластинки, наклоненной под углом а к потоку, Ср — — — „— - 2э1п а. (13.17б) Разумеется, величину 6/с( можно непосредственно измерить на фотографиях потока. Остается найти еще один безразмерный коэффициент. Для этого можно принять й/а = 0,281, как это следует нз теории устойчивости Кармана (п,7). Если принять это условие, то мы получаем полутеоретический способ полного определения параметров н, й, а и О, если известны форма тела и параметры потока в диапазоне чисел Рейнольдса, при которых образуются вихревые дорожки.
В частности, согласно формуле (13.5'), для круговых цилиндров будем иметь Ят = —, = (! — е) ( — ) ( — „1 ж 0,7 — = 0,20. (!3.18а) Эта величина наблюдается экспериментально [см. (13,!а)). Далее, по формуле (!3.5и), поскольку при сй а = Р'2 имеем Й д =!/Рс2, получим иь 1 и (1 — е) = — 1п — ' = — — у" 2. 2 (13.18б) Выбирая наименьшее значение корня уравнения (13.186), получаем е = О,!75, что также хорошо согласуется с экспериментом для круговых цилиндров. Однако по причинам, указанным в п.
7, мы не можем считать приведенную интерпретацию правильной. Вместо этого мы предполагаем, что действительную физическую картину можно получить, рассматривая след как колебательную систему "). Соответственно мы считаем, что частота колебаний определяется локальными эффектами, а не асимптотическим поведением потока вниз по течению, Непосредственные визуальные наблюдения показывают, что в рассматриваемых условиях след колеблется аз стороны в сторону, до некоторой степени уподобляясь хвосту плывущей рыбы.
Масса следа, приходящаяся на единицу длины, очевидно имеег порядок рй. Предположим, что восстанавливающая сила, действующая на часть следа, до его первого изгиба (рис. 109), е э З7З У, Дополнительные эффекты равна подъемной силе прЕ/т/а !31, гл. !) аэродинамического профиля той же длины 21 с углом атаки а. Поскольку центр масс рассматриваемой части следа одновременно сместился па расстояние Е з!п а, то мы получим (в первом приближении) т/а = 2рй/та = — иапт/а. (13.19) Отсюда, учитывая, что при частоте йе угловое ускорение а = = — 4я'/Ута, находим Е/ Ф= Ят = , (13.19*) Е/ Г 1О.Е поскольку Ь = 1,25«Е, как и в (13,17а).
Написанная формула при 21 = 1,5ЕЕ, что хорошо соответствует действительности, дает величину 5/е = 0,2, наблюдаемую при экспериментах. С другой стороны, согласно (13.5'), А'а = = и — и„= (1 ) Е/, и в ду (13.!9 *) ! ! — а) (Д/п) = .УД/Е/ = = (!Оп//ЕЕ-ъ). Однако расстояние 21 до ближайшего изгиба следа периодически изменяется от 0 до а/2 при среднем значении 21 = а/4.
Подставляя величину Е = а/8 в последнее равенство и УмножаЯ обе стоРоны его на, ь схс ась )/Э/а/(! — с), получаем !э!па Е 1 Г 1па — — или — = 0,28. а 1 — ь ~/ 8 (13.20) Рис. 109 Применяя снова (13.17а), мы найдем Ь/а = 0,35, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. В целом рассмотренная «колебательная» модель также позволяет приближенно объяснить наблюдаемые факты.
9. Дополнительные эффекты. В и. ! — 8 мы исследовали след за круговым цилиндром в бесконечном потоке, предполагая, что след может быть аппроксимирован идеальной вихревой дорожкой. Рассмотрим теперь, какие изменения следует внести в предыдущий анализ в случае некругового цилиндра или в случае наличия стенок, параллельных потоку, а также рассмотрим влияние изменения чисел Рейнольдса и т. д. Изменение профиля цилиндра влияет различным образом. Выли исследованы тела эллиптической и оживальной формы, а также пластинки, наклоненные к потоку.
Как следует из п. 3, с обеих сторон тела всегда сходятся вихри почти одинаковой интенсивности, поэтому вихревой след за наклоненной пластинкой все же может быть аппроксимирован идеальной вихревой 374 Гл. Хыд Лериоди«е««и«следа дорожкой. Однако параметр а=и,/(/ значительно меньше в случае тонких, хорошо обтекаемых тел, чем для широких препятствий "). Так, для обтекаемых тел получены значения в, не превосходящие 0,03, в то время как для пластинки, перпендикулярной потоку, е = 0,22.
Число Струхаля изменяется в пределах 0,15 С 8п < 0,21, если принять за И поперечный размер тела или (приближенно) следа "), Это соответствует теории, изложенной в п. 8; следовательно, можно предположить, что отношение Кармана Ь/а должно изменяться в узких пределах. Даже в случае кругового цилиндра поведение периодического следа значительно сложнее, чем это можно предположить в соответствии с «инерционными» теориями п.
2 — 8, Так, согласно (13.1а), оно в значительной степени зависит от числа Рейнольдса; с увеличением числа Ке неуклонно возрастает скорость турбулентного рассеяния вихрей "). Когда число Ке превышает 400, вихревые нити (имеющие также трехмерную неустойчивость [7Ц) разрываются на расстоянии, не превышающем нескольких диаметров цилиндра.
Однако число Рейнольдса не определяет полностью картину течения. Так, например, критическое число Рейнольдса (!(е)кя —— = ((/Ы/ч)яр, выше которого след за круговым цилиндром становится периодическим, уменьшается под влиянием внешней турбулентности"). Оно также уменьшается, если закрепить цилиндр на пружинах так, чтобы его свободные колебания были в резонансе с периодом естественных колебаний вихревого следа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
