В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 6
Текст из файла (страница 6)
() =∑︁− −Мы не решили задачу полностью, так как − не определены. Для полного решения задачи нужно определить потенциал, но для нас это сейчаснеактуально, а актуален вид этой функции, из него вытекают два свойстваамлитуды:1.± () = ()2.Амплитуда периодична и периодом равным любому вектору обратнойрешетки. () = ( + )Амплитуда периодична с периодом с периодом, равным периоду прямой решетки. Но сама волновая функция не периодична, так как появляются фазовые сдвиги.То, что волновая функция имеет такой вид является сутью теоремыБлоха.Теорема БлохаУ электрона, движущегося в периодическом потенциале, волноваяфункция задается Блоховской функцией () = ()∑︁− −и амплитуда обладает двумы вышеприведенными свойствами.(4.5)4.1.Движение электрона в твердом теле35Каково основное физическое свойство этой теоремы? Кристалл — этоящик, набитый тяжелыми заряженными частицами-ионами.
В одном кубическом см частиц порядка 1023 . В этом ящике движется частица с другимзарядом, кулоновское взаимодействие огромно. Но теорема Блоха и квантовая физика утверждают, что электрон движется в ящике, испытывая кулоновское взаимодействие без какого-либо рассеяния.Величина ~⃗ называется квазиимпульсом и обозначаетя ⃗. Частто приставку "квази"опускают и просто говорят "импульс электрона".Теорема Блоха говорит о том, что если мы возьмем электрон, придадим ему импульс, то он пройдет через кристалл абсолютно не почувствовавионов.
Это фантастический результат, противоречащий классической физике. Но основное условие его — строгая периодичность кристалла. Причинав том, что дифрагированные волны, интерферируя друг сдругом, гасятся.Остается только одна волна, инжектированная. В квантовых компьютерахиспользуется такой же принцип — неверные результаты гасят друг друга,а верный имеет наибольшую вероятность.Если бы кристаллы были идеальными, они бы проводили электрическийток без сопротивления.
Но мы все заем, что кристалл обладает сопротивлением. Причина этого — нестрогая периодичность решетки. Атомы в реальном кристалле совершают тепловые колебания, и на нерегулярностяхрешетки возникает сопротивление. Но есть явление сверхпроводимости, когда кристаллы становятся идеально проводящими. Это более сложное квантомеханическое явление, объясняющееся по-другому. Сейчас обсуждаетсяобычная проводимость.Таким образом мы установили вид стационарной волновой функции.Число называется также квантовым числом и описывается волновой функцией. Говорят, что электрон находится в состоянии с квазиимульсом илипросто в K-состоянии.4.1.2Энергетический спектр электрона в кристаллической решеткеТеперь, когда нам известна волновая функция электрона мы мможем поставить второй, черезвычайно важный, вопрос: "каков энергетический спектрэлектрона?"Ответ на этот вопрос привел к изобретению транзистора, созданию полупроводникового лазера и целого ряда квантово-механическихприборов.При ответе на него мы будм использовать приближение почти свободных электронов.
Представим себе потенциальный ящик — + + + + + +ту же потенциальную яму. Когда есть достаточно большое количество электронов, получа- + - + + - +ется электронный газ. Можно ли рассматривать++электроны независимо, ведь между ними сильное кулоновское взаимодействие? Энергия егоогромна — несколько электронвольт. Если элек- Рис. 4.3: Экранированиетроны находятся в пустоте, то ни в коем случае,однако, если речь идет о кристалле, то вполне можно.Дело в том, что в твердом теле есть решетка ионов. Она — равномерноразмазанный по пространству заряд.
Рассмотрим два электрона. Допустим,36Лекция 4.они находятся на малых расстояниях, будут ли они взаимодействовать?Оказывается, что в кристалле взаимодействия между ними практическинет. Электрон отталкивает окружающие электроны, в результате он находится в окружении нескомпенсированого положительного заряда. Когдазаряд электрона и окружающих его ионов уравнивается, наступает равновесие, возникае эффект экранировки. Снаружи такая система зарядов несоздает электрического поля. Аналогичная ситуация возникает и со вторымэлектроном, в результате чего взаимодействие исчезает. А раз они независимы, то мы можем воспользоваться одноэлектронным приближением и далеерассматривать одиночный электрон.Спектр энергий или зависимость энергии от квантового числа одиночного свободного электрона мы уже находили =~2 22Это парабола, но волновое число квантовано. Для выполнения граничныхусловий Борна-Кармана для функции 4.5 нам нужно поставить условиепериодичности: = 1Значит = 2, ∈ Z, что дает размер ячейки квантования равный 2 .Это очень маленькая ячейка.
Каждому соответсвует свой разрешенныйэнергетический уровень.Пока у нас электрон двигался в потенциальном ящике с размазаннымзарядом, никакой периодичности расположении ионов мы не учитывали.Как изменится спектр, когда мы добавим периодичность? Расположим вящике атомные плоскости на расстоянии порядка ангстрема (10−8 см), асам кристалл возьмем размером порядка миллиметра (10−2 см).
Что произойдет со спектром?Электрон описывается волной 4.5. Мы будем просто считать волну плоской. Волна отразится от первой плоскости, пройдет дальше, отразится отвторой плоскости. Достаточно рассмотреть эти две волны, из-за периодичности рассмотрение остальных не даст изменения результата анаализа. Волны интерферируют и могут либо усилить друг друга, либо погасить. Запишем условие конструктивной интерференции, то есть когда волны усиливают друг друга. Разность хода должна (в нашем случае 2) должнаравняться целому числу волн.2 = = 2, ∈ ZПереформулируем условие.Условие конструктивной интерференции = При таких условиях возникает сильная отраженная волна.Если электрон находится в ящике, то спектр имеет следующий вид.
Оськвантована, размер — 2 . Возьмем соответсвующее самому малому4.1.37Движение электрона в твердом телезначению . Ему соответсвуют точки и - . Пока электрон находится в состояниях, лежащих между этими точками, конструктивной интеференциинет,волныгасятдругдруга.В самих же точках возникаетсильная отраженная волна, вкристалле распространяютсяпадающая и отраженная волна и у них одинаковая амплитуда.Зона, заключенная в интервале−66называется первой зоной Бриллюэна. Ее ширина — 2 .
Наэто ни что иное, как векторобратной решетки. И на границе зоны Бриллюэна существует только две волны: пря- ππмая и отраженная. Значит в2πa kaволновом пакете 4.4 нужноLоставить только две волны.Падающая волна имеет вол- Рис. 4.4: Энергия в 1ой зоне Бриллюена безновой вектор = 2 .Следовательно оставляем учета потенциального поляслагаемые, относящиеся к падающей волне1 21 и отраженной волне−1 −1212= − 21 −12Тогда в уравнении Шредингера 4.3 остается только два коэффициента( 01 − ) 21 + 1 − 21 = 02а из зацепляющихся уравнений только два уравнения и их уже легко выписать:(︂ 2 2 )︂ 01 =2~ 2, =1201 1 = 0− 21 21 + −22Из них найдем неизвестную нам энергию в точке± 1 = 01 ± |1 |2212(4.6)То есть при помещении электрона в потенциальное поле мы получили добавку | |, причем для одного значения волнового вектора получили двазначения энергии.
Это и позволяет работать транзисторам, лазерам и многим другим приборам.138Лекция 4.4.2Разрешенные и запрещенные зоныТо, что в 4.6 мы получилидва значения энергии говорито том, как изменится график4.7, если мы учем потенциальное поле. Нужно симметрично сдвинуть значение энергиивверх и вниз. Пока мы далекиот точек, в кторых возникает конструктивная интерференция, график меняется несильно, но в самих этих точках функция имеет разрыв.Мы получили важнейшийфизический эффект, коорыйобеспечивает работу всех квантовых приборов: мы получили зоны разрешенных и за- ππ2πпрещенных энергий.
Они возa kaникают из-за того, что векторL квантован и каждому значению соответсвует энергети- Рис. 4.5: Энергия в 1ой зоне Бриллюеначеский уровень. Ширина запрещенной зоны равна =2| |, то есть зависит от электрон–решеточного взаимодействия, это жефурье–компонента электрон–ионного взаимодействия. И таких зон много:мы рассмотрели только = 1, при других значениях будем получитьдругие запрещенные зоны.Таким образом спектр электрона, движущегося в периодическом потенциале, зонный. Нам уже известны непрерывный и дискретный спектры,теперь к этому списку можем добавить зонный спектр.Та схем, которую мы рисовали до этого называется расширенной схемойзон.
В учебниках чаще рисуют приведенную схему. Волновая функция обладает свойством периодичности. Если волновая функция периодична, товсе ее свойства должны быть периодичны, а значит спектр можно сдвигатьна любой вектор обратной решетки. Добавим в нашу схему её же, сдвинутую на вектор обратной решетки и возьмем ту её часть, которая относитсяк разрыву функции, и получим приведенную схему.Важным обстоятельством является тот факт, что ось является квантованной.Полученная схема помогает объяснить, как работает лазер. Электроныпереходят из зоны в зону, при уменьшении потенциальной энергии происходит выделение энергии. Также мы можем объяснить, как работает транзистор, но этому будет посвящена отдельная лекция.14.2.1Металлы, полупроводники и диэлектрикиКак с точки зрения зонной картины объяснить тот факт, что в природе естьтри типа твердых тел: металлы, полупроводники и диэлектрики? Зонная4.2.39Разрешенные и запрещенные зоны(a) Сдвинутая расширенная схема зон(b) Приведенная схема зонРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
