В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Запишем вероятностьтого что мы обнаружим электрон с координатами (, , ). Поскольку мыговорим о вероятности нам нужно задать не точку, а некоторый объем.Зададим вероятность в бесконечном малом объеме: (, , ) = |,, (, , )|2 sin 2 sin 2 = — элементарный объем, окружающий точку с координатами (, , ). Найдем вероятность того, что электрон обнаружится в точке, в интервале :∫︁ ∫︁ 2 () = (, , )00Плотность вероятности того, что электрон обнаружится в точке :() = |,, ()|2 2Найдем также плотность вероятности нахождения электрона на сфере вточке с углами (, ), аналогично:(, ) = | (, )|2 sin Какова вероятность обнаружения электрона в заданной точке пространства , если он находится в квантовом состоянии , , ? Когда квантовыечисла становятся большими, картина становится настолько экзотической,что ее невозможно изобразить даже приближенно.Возьмем самое низкое квантовое состояние.
Главное квантовое число = 1. Если так, то = 0, = 0. Мы рассматриваем -состояние.100 = 100 ()Θ()Φ()Радиальная зависимость:(︂100 () = 0 = 0.5 · 10−8 смПлотность вероятности:0)︂— радиус Бора100 () = |100 ()|2 254Лекция 6.Точка максимума совпадает с радиусом Бора, это второе совпадениес теорией Бора (первое совпадение: совпадение спектра, получающегосяпри решениии уравнения Шредингера, с досконально изученным и подтвержденным экпериментаторами спектром Бора). Точнее совпадает максимум,но физическая картина при этом другая.Физики предпочитают говорить не об орбите, а об оболочке. Электроннаходится в первой оболочке.
Ее толщина соответствует ширине пика распределения. Оболочка сама по себе соответствует симметричному сферическому распределению. Радиус этой оболочки — радиус Бора.Теперь рассмотрим первое возбужденное состояние.=2 = 0, 1 = 0, ±1Радиус в два раза больше, а так имеем аналогичную основному состоянию сферу. Так выглядят -состояния. Сферы инертны в плане связи сдругими атомами.Для осуществления связи нужны некие «протуберанцы», они появляются в p-состоянии. Рассмотрим случай = 1, p-состояние:Θ1,0 = cos Θ1,±1 = sin В p-состоянии вид оболочки — «гантеля».
Атомы активны.Атом кремния в кристалле имеет четыре связи с соседними атомами.Осуществляется перекрытие электронных оболочек, образуются ковалентные связи, электроны обобществляются.6.2Понятие кубитаВведем понятие кубита. Экспериментальный кубит был реализован преждевсего на атоме, потом на спинах и сверхпроводящих контактах.
Но об этомнесколько позже.Спектр атома состоит из неэквидистантных уровней.Это позволяет выделить из спектра два уровня, а об остальных забыть.Такое приближение называется двухуровневой системой. Пусть есть уровень 1 и уровень 2. Есть соответствующие волновые функции 1 , 2 . Кубитом назвается квантовая система, которая может находится в двух базисных квантовых состояниях 1 и 2 , а также в любом суперпозиционномсостоянии: = 1 1 + 2 2Единственное условие для коээфициентов — условие нормировки:|1 |2 + |2 |2 = 1Только что описанные кубиты — это кубиты, реализованные на атомах илиионах.
Первые прообразы квантовых компьютеров работали на ионах (ионных ловушках).6.2.Понятие кубита55Континуум суперпозиционных состояний — это как раз то, что принципиально отличает кубит от обычного бита. Кубит может находится в 2базовых состояниях и в континууме суперпозиционных состояний,а классический бит только в двух состояниях: 0 и 1. Поэтому в регистре, состоящемиз кубитов, можно одновременно записать 2 чисел, в то время как вклассическом — только одно.56Лекция 6.Лекция 7sectionВступление Наша цель — считать. В двоичном представлении счетпроизводится с помощью нулей и единиц.
Квантовая механика позволяетэто делать. Но рассказанное ранее не позволяет это предполагать. Тем неменее, существует подход или формулировка — матричная формулировка,которая приспособлена к этому.Но перед этим нам нужно рассмотреть орбитальный магнитный моменти спин. Спины в основном используются в качестве прообразов квантовыхкомпьютеров. Есть параллельное направление в квантовых компьютерах,которое реализует другой принцип.Спин остается важнейшим объектом для изучения возможности реализации квантового компьютера. Спин описывается релятивистской квантовой механикой. В начале расскажем об орбитальном магнитном моменте,а затем по аналогии со спином.
Потом будет рассказ о матрицах. Со следующей лекции будет рассказ о квантовой информации, передовом краенауки.7.1Орбитальный магнитный моментВ соответствии с орбитальной моделью атома, электрон движется вокругположительно заряженного ядра со скоростью v. В пространстве протекаетток. Мы можем описать это явление в терминах тока.Ток по определению — это заряд, проходящий через сечение за единицувремени. Переносится ток=2, =(7.1)2(7.2)=(7.3)Движутся электроны, на движущийся заряд действует сила Лоренца.Если сосчитать всю энергию, то получается магнитный момент .⃗ = −⃗·⃗ =572(7.4)58Лекция 7.Магнитный момент витка с током(7.5)Частицу характеризуют координата, импульс и момент импульса. Момент импульса возникает при вращении вокруг центра. = (7.6)⃗ = [⃗ · ⃗ ] =||2(7.7)~2(7.8)Удобно ввести величину, называемую магнитон БораБ =(7.9)Ток, связанный с электроном, направлен в противоположную сторонуот .Перейдем к квантовой механике через операторы.
Объект описывается снаибольшей полнотой волновой функцией. Каждой величине соответствуетоператор квантовой механики.⃗ = −⃗ ⃗~ˆ = ⃗ˆ⃗[ˆ ⃗](7.10) = ˆ − ˆ (7.11) = ˆ − ˆ (7.12) = ˆ − ˆ(7.13)ˆ⃗ = ~⃗(7.14)(7.15)Проверим совместность. Дело техники, чисто технической задачи, требующей времени, вычислить коммутаторы.ˆ, ˆ] = ˆˆ − ˆˆ = ~ˆ[(7.16)ˆ2 = ˆ 2 + ˆ 2 + ˆ 2ˆ, ˆ ] = ~ˆ[(7.17)ˆ, ˆ ] = ~[(7.18)[2 , ] = 0(7.19)7.1.Орбитальный магнитный момент59Квантовая механика делится на статическую и динамическую. Статическая — определение спектра энергии. Что такое динамическая задача? Этозадача о переводе атома из любого состояния в любое другое какими-товнешними воздействиями.Мы сейчас занимаемся статикой.ˆ 2 = 2 (7.20)Результат (ожидаемый, конечно):ˆ 2 = −~2 ∆,(7.21)~2 · ∆, + 2 = 0Есть три переменных, разделили и получили три уравнения.(7.22), = , (, )(7.23)2 = ~2 ()(7.24)12(7.25)ˆ = (7.26)Φ()= (7.27) =~, (, ) = Θ, (0)(7.28) = ~(7.29)2 = 2Б ( + 1)(7.30) = Б · (7.31), , (7.32)Ψ,, (, , )(7.33) = 1, 2, 3, .
. .(7.34) = 0, 1, 2, . . . , − 1(7.35)− · · · 6 6 · · · + (7.36)60Лекция 7.(7.37)До тех пор, пока не открыли спин, думали, что орбитального магнитногомомента вообще нет . Есть оболочка s-состояния сферической формы. Этосостояние можно представить как суперпозицию континуума орбит.Следует избегать классических интепретаций, жестко следуя квантовой механике. Все то, что в классической физике составляет половину работы физика — представить — оказывается лишним, физиквпадает в трудности. = 1, = 0, = 0Низшее возбужденное состояние: = 1, = 0, 1, . .
. , = 0, ±1(7.38)20 = 0, = 0(7.39)⎧⎪⎨~221 = 2~ = 0⎪⎩−~√ = Б 2(7.40)(7.41)(7.42)Нужно изобразить «окружности», отразив вектора относительно оси и провернув. = 0 ± Б7.2СпинПереходим к спину. В основном состоянии атома водорода магнитный момент равен нулю. Это можно проверить. Было сделано следующим образом.⃗() = −⃗ · ()(7.43)Вокруг будет неоднородное магнитное поле. Если потенциальная энергия зависит от , то() = −(7.44)(7.45)Когда пучок пройдет поле, где на него действует сила.
Если равеннулю, то отклонений после прохождения поля не будет. Эксперимент былпроведен.Как уже было отмечено ранее, квантовая физика развивалась поддавлением эксперимента. = −7.3.61Матричная формулировкаПучок проходит магнитное поле. Пучок не только отклоняется, но ирасщепляется на два пучка, причем совершенно симметрично.
Имеется двепроекции на ось . В одну сторону действует сила. Это был серьезныйвызов квантовой механике, поскольку до сих пор подходы объясняли результаты. Было введено понятие спина.Есть электрон на орбите, он движется. У него есть орбитальный магнитный момент. Помимо этого, электрон рассматривается как шарик, имеющий конечный радиус электрона, и этот шарик вращается вокруг своейоси, создавая свой собственный момент.
Спин означает вращение. Такаяинтерпретация существовала недолго. Теория спина была построена позжеДираком.Для построения теории спина требуется релятивистская квантовая механика. Результаты находятся в соответствии с результатами для угловогомомента.Результаты следующие: Вектор ⃗ и вектор ⃗ . и √︀ .
Собственныезначения2 и 2 . Квантуются похожим образом: = ( + 1) и =√︀⃗ ,~ ( + 1). = 0, 1, . . . , −1, = 12 . ⃗ = − ~Б ⃗ = − ~Б ⃗. − 6 6 ,− 6 6 . = ~, = ℎ.7.3Матричная формулировкаМатричную формулировку ввел Гейзенберг. Годом позже Шредингер вывел свою и показал эквивалентность матричной формулировки волновойформулировке.Пусть у нас есть оператор физической величины , ˆ . Ψ(⃗).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
