В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если связь очень сильная, то ион не отдаст электрон, но5.4.45Энергия ионизации примесного центра.SiSiSiSiAs+Si SiSi(b) Легированная мышьяком атоманя решетка кремнияРис. 5.3: Атомная решетка кремнияесли тепловая энергия в кристалле будет больше, чем энергия связи, электроны будут оторваны от ионов, т.е.:связи ≪ Поставим задачу в терминах физики атома водорода и используем готовыерезультаты2 . Уравнение Шредингера:(︃⃗ 22+2*0)︃Ψ = ΨВыпишем решение задачи о спектре атома водорода:* 1 1 = − 2 2 2 = (водород )2~ 0водородаионизации = 13, 6Оценим оставшийся множитель:(︂для кремния 0 ∼ 15SiSi(a) Атоманя решетка чистого кремнияВозьмем = 1-e*)︂(︂*эВ120связи = 10−3 = 2.5 * 10эВэВ−22 Получение результатов рассмотрено в следующей лекции.)︂12046Лекция 5.
≫ связиВ результате мы получили большое количество свободных электронов, легированный полупроводник n-типа.Рассуждения для бора аналогичны(валентность 3). При легировании бором получаем достаточное количество дырок, возникает проводимость pтипа.5.5Принципы работы p-n перехода и транзистораp-n переход — это две смежных области: p-область и n-область.Технологический процесс получения p-n перехода заключается в следующем: ионный пучок облучает область на пластинке кремния, ионы проникают в глубину на микроны и десятые доли микрона, и только там, гдеионы проникли в кремний, будут легированные зоны.Нас будет интересовать ток, проходящий через описанный элемент. Посути, p-n переход — это полупроводниковый выпрямитель.
Как он работает?p-область — избыток дырок, n-область — избыток электронов. В целом этиобласти электронейтральны. Изобразим концентрацию дырок и электронов.При контакте двух областей n- и p- типа из-за градиента концентрации носителей заряда возникает диффузия последних в области с противоположным типом электропроводности, возникает диффузионный ток.
Токнаправлен туда же, куда двигаются дырки. Дырочный и диффузионныйток направлены в одну сторону. В p-области вблизи контакта после диффузии из неё дырок остаются нескомпенсированные ионизированные акцепторы (отрицательные неподвижные заряды), а в n-области — нескомпенсированные ионизированные доноры (положительные неподвижные заряды).Возникает двойной слой, аналогично зараженному конденсатору.
Ток проводимости направлен в противоположную сторону току возникшего поля.Ток проводимости будет точно скомпенсирован диффузионными токами.Возникнет стационарное состояние.Теперь возьмем электрон и будет двигать его от −∞ к +∞. Потенциальная энергия системы в начале возрастает, а потом остается неизменной. В этом суть работы p-n перехода — энергетический барьер. Запомнивэто, можно восстановить весь ход рассуждений Барьер существует в стационарном состоянии. Приложим внешнее напряжение, так чтобы положительный потенциал был приложен к p-области. При этом потенциальныйбарьер уменьшится.
Баланс диффузионных токов и оммических нарушится: диффузионный ток увеличится, оммический — останется прежним. Врезультате — p-n переход откроется. Приложение отрицательного потенциала к p-области (обратное смещение) приводит к повышению потенциального барьера. Диффузия основных носителей через переход становитсяпренебрежимо малой.
Таким образом, p-n преход работает как выпрямитель. Аналогичные рассуждения можно провести для дырок.Транзистор — это два p-n перехода. Рассмотрим npn-транзистор. Электрод, подключённый к центральному слою, называют базой, электроды,подключённые к внешним слоям, называют коллектором и эмиттером. Набазу подается управляющее напряжение. В npn транзисторе электроны, ос-5.6.Реализация бита транзистором в классическом компьютере47новные носители тока в эмиттере, проходят через открытый переход эмиттербаза (инжектируются) в область базы. Часть этих электронов рекомбинирует с основными носителями заряда в базе (дырками), часть диффундирует обратно в эмиттер. Однако, из-за того что базу делают очень тонкой исравнительно слабо легированной, большая часть электронов, инжектированных из эмиттера, диффундирует в область коллектора.
Сильное электрическое поле коллекторного перехода захватывает электроны и проноситих в коллектор. Ток коллектора, таким образом, практически равен токуэмиттера. Если на базу подано отрицательное напряжение, тока через транзистор нет, если положительное, есть.5.6Реализация бита транзистором в классическом компьютереНеобходимо договориться что обозначает 0, а что 1.
1 - ток есть или отрицательный потенциал, 0 - тока нет или положительный потенциал.Реализация транзисторами логических операций в обычных компьютерах. Реализация операции NOT в компьютере.Инвертор представляет собой двоичный логический элемент, единица навыходе которого имеет место в том случае, если на входе будет нуль. Подаем единицу, получаем ноль. Подаем ноль, получаем единицу. Это принципработы элемента с двумя состояниями.Сейчас размеры транзисторов порядка десятков нанометров и продолжают уменьшаться.48Лекция 5.Лекция 6Основная тема лекции — атом водорода. Последняя лекция, посвященнаяволновой квантовой механике.
Затем перейдем к матричной формулировке.6.1Атом водородаЭто — первая решенная реальная задача. От нее недалеко до атома воды.Задача была решена Шредингером в начале развития квантовой механики.Косвенно она связана с транзисторами1 .В теории примесей, центров возникает водородоподобный спектр.
Какже решается эта задача? Мы не будем решать ее досконально.Что представляет собой атом водорода?Это положительно заряженное ядро-протон и отрицательно заряженныйэлектрон на орбите. Ядро имеет размер порядка 10−13 см, а размер всегоатома — около 0.5−8 см. Поэтому любой рисунок, изображающий атом,будет весьма условен. Поскольку масса ядра больше массы электрона приблизительно в 103 раз, можно считать ядро неподвижным. Задачу можносущественно упростить. Представим ядро как точку.Прежде всего запишем гамильтониан.=⃗ 22−2Заряд ядра здесь — .
Так мы можем включить в область примененияформулы и водородоподобные атомы с отличающимся зарядом. В прошлыйраз было что-то похожее — в примеси заряд иона отличается от зарядаэлектрона.Переходим к оператору Гамильтона.ˆ = −~∇⃗22ˆ = − ~ ∆ − 220 6 ≤ +∞0661 См. предыдущую лекцию.4950Лекция 6.0 6 6 2∆ = ∆ + ∆,Теперь запишем лапласиан в сферических координатах. Радиальная часть:∆ =1 (︂)︂Сферическая часть:∆, =1 sin (︂sin )︂+1 2sin 2В нашем случае выполняется стационарное уравнение Шредингера: = Подставим: = −(∆ + ∆, )2~2−2Искомая волновая функция представляется в виде произведения радиальной, которая зависит только от , и угловой, сферической части:(, , ) = () (, )Используем метод разделения переменных.
Подставляем функцию в уравнение Шредингера. Уравнение для радиальной части:∆ +2( − ()) = 0~2Здесь появляется эффективная потенциальная энергия, равная следующейвеличине:2~2эфф = −+22Уравнение для угловой, сферической части:∆, + = 0Но функция в свою очередь тоже зависит от двух переменных: = (, )Снова проводим разделение переменных: (, ) = ()Φ()Подставляем в уравнение, делим на , приравниваем к новой постояннойразделения 2 и переносим все в одну часть:Φ+ 2 Φ() = 026.1.51Атом водорода1 sin (︂sin )︂(︂)︂2Θ+ −Θ=0sin Получили три уравнения. Проще всего найти Φ:Φ() = называется магнитным квантовым числом. Граничные условия:(0) = (2)Для такой функции и таких граничных условий: = 0, ±1, ±2, ±3, .
. .Второе уравнение. Рассмотрим начальный этап решения этого уравнения:(︂(1 − )() − 2 + −221 − )︂=0Существует регулярный метод решения такого рода уравнений: метод разложения в ряд.2 Условия сходимости приводят к следующим ограничениям: = ( + 1), = 0, 1, 2, 3, . . .где — орбитальное квантовое число. Решением уравнением являются полиномы Лежандра.||Θ, = (cos )Теперь можем записать сферическую волновую функцию:||, (, ) = (cos )Берем соответствующие производные.
Производные зануляются, если выполняются следующие условия:|||| > , () = 0 = 0, 1, 2, . . .На этом завершается анализ сферической части задачи. Сейчас была толькоматематика, физики практически не было. Лишь после построения математических конструкций они привязываются к физическим объектам. Такаяситуация характерна для квантовой механики.Обратимся к истории.
Процедура понимания Копенгагенской интерпретации была сложной и долгой. Интерпретация категорически не укладывалась в рамки классических представлений. Решение пришло, когда вместовопроса о нахождении математического аппарата, соответствующего физической модели поставили вопрос о физической реальности, соотвествующейматематическому аппарату. Это решило проблему.Продолжим исследование уравнения Шредингера. Теперь исследуем радиальную функцию, заменим переменные:() = ()2 Полное решение этого уравнения изложено в [1].52Лекция 6.Получим следущее уравнение:)︁2 2 (︁+−()эфф = 02~2Что напоминает нам это уравнение? Это уравнение движения частицы в потенциальной яме. Спектр энергии должен быть дискретным.
Чтобы понять,что это яма, нужно исследовать эфф :эфф () = −2~2( + 1)+22(6.1)Вид этой функции зависит от . Возьмем простейший случай = 0. Построим график.График ровный, с провалом вниз в середине. По классическим законамэлектрон должен был бы упасть на дно ямы, т.е. прилипнуть к ядру. Онэтого не делает из-за соотношения неопределенности. Чем больше мы локализуем электрон, тем больше неопределенность энергии. За счет этого,при локализации электрона в районе ядра энергия начинает возрастать. Врезультате возникает некоторый уровень энергии 0 .
Ниже него опуститься невозможно из-за соотношения неопределенности. Есть и более высокиеуровни энергии 1 , 2 , . . . В совокупности они образуют спектр энергии длясостояния = 0 ( -состояние).Теперь рассмотрим > 0.В середине графика функция уже уходит не вниз, а вверх, все равноесть потенциальная яма, но не бесконечная. Снова получаем дискретныйспектр.В результате задача 6.1 решается 3 , при этом возникает третье, главноеквантовое число . Чуть позже мы выпишем решение для малых квантовыхчисел.Выпишем спектр собственных значений: = − 2 4 12~2 2Это следует из решения радиального уравнения 6.1.Энергия ионизации — энергия, небходимая для отрыва электрона отатома водорода: = |1 | = 12.6эВЭнергия атома водорода зависит только от главного квантового числа, нов общем случае это не так.
Какие значения могут принимать квантовыечисла: = 1, 2, . . . = 0, 1, 2. . . . , − 1 = 0, ±1, ±2, · · · ± На этом заканчивается формальный анализ уравнения Шредингера.Будем исследовать свойства этих математических результатов. Нас будет интересовать картина атома.3 См. [1]6.1.53Атом водородаКартина атома в классической физике — планетарная модель. Резерфорд провел эксперименты по бомбардировке атома альфа-частицами, пришел к выводу о вращении электронов вокруг ядра аналогично планетамвокруг Солнца и ничтожности доли ядра по сравнению с размерами атома.А какая картина атома следует из нашего решения? У нас есть волноваяфункция:|,, (, , )|2но этого недостаточно, чтобы говорить о физических свойствах объекта.Когда волновая функция зависила только от этого было достаточно, чтобы говорить: "Это плотность вероятности того, что мы обнаружим электронв точке ."А здесь этого недостаточно и вот почему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
