В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Что означает переход к представлению оператора?(7.46) = Ψ() =∑︁(7.47) Предположим, есть оператор . Нам нужно найти собственные значенияи собственные функции. Оператор должен не коммутировать с оператором . Иначе собственные значения и функции будут совпадать.(7.48)ˆ = ΨΨПодставляем разложение∫︁⃒∫︁ ⃒⃒∑︁⃒∑︁⃒⃗ˆ ⃒⃒ = * ⃒⃒⃒* ⃗(7.50)∑︁ (7.51) ( − ) = 0(7.52)∫︁ =∑︁ = ∑︁(7.49)62Лекция 7.Определяем коэффициентызначению. ,которые соответствуют собственномуdet |∆ | = 0= Ψ∑︁Ψ= () ()~∫︁⃒⃒∑︁⃒⃒* ⃒~⃒⃒ ∑︁⃒ . . . ⃒ =⃒(7.53)(7.54)(7.55)(7.56)(7.57)ˆ * (7.58) >= (1 () .
. . ())(7.59)~˙ =∑︁∫︁ =~<++> >= |Ψ >(7.60)Лекция 8Мы продолжаем изучение спина, важнейшего объекта квантовой механики.Он используется в квантовой информации. Это объект, который не имеетклассического аналога.Нельзя действовать по классической схеме, как с импульсом или моментом импульса. Но нам нужен оператор спина. В прошлый раз мы отмечалианалогию между орбитальным магнитным моментом и спином.⃗⃗ = Б (8.1)⃗ = −2Б ⃗~(8.2) , , (8.3) − = ~(8.4) − = ~(8.5) − = ~(8.6) =~2(8.7) =~2(8.8) =~2(8.9) − = 2(8.10) − = 2(8.11) − = 2(8.12)6364Лекция 8.ˆ =(8.13)ˆ =(8.14)ˆ = 0 − 0(8.15) = −Б (8.16) = 100 − 1(8.17)100 − 1(1 2 ) = (1 2 )(8.18)(1 − 2 ) = (1 2 )(8.19) = ±1, |0 >= (10)(8.20) = −1, |1 >= (01)(8.21) = +1: |0 >2(8.22)(8.23)Есть два базисных состояния и мы вводим суперпозиционный векторсостояния.
0 и 1 — вектора-столбцы.| >= |0 > +|1 >(8.24) = −1: |1 >2||2 + ||2 = 1(8.25)< | >= 1(8.26)(8.27)Имеется континуум состояний. Их удобно обозначать на Блоховскойсфере. = * − * (8.28)< 0|0 >= 1, < 1|1 >= 1, < 0|1 >=< 1|0 >= 0 = * + *(8.29) = (* − * )(8.30)2 2 = 2 = 1(8.31)65Есть оси, соответствующие , , Вектор, который скользит по сфере, называется вектором Блоха. = cos (8.32) = sin cos (8.33) = sin sin (8.34) = ||2 − ||2 = cos (8.35)||2 + ||2 = 1(8.36)Мы можем разрешить систему и найти решение.|| = cos , || = sin22| >= || |0 > +|| |1 >= (cos |0 > + sin |1 >)22(8.37)(8.38)Примеры самых важных состояний. Если посмотреть различные источники информации по квантовой механике, изображение кубита будет в видеблоховского вектора, находящегося в произвольном состоянии.
Большинство задействований квантового выигрыша заключается в переводе кубитав суперпозиционное состояние. Операция CNOT. Нам нужно рассмотретьдве операции — поворот вектора Блоха на блоховской сфере экспериментально и как реализуется операция CNOT.В начале рассмотрим теоретически. Операторы поворота блоховскоговектора. Оператор ˆ () = cos 2 ˆ = cos 2 ˆ.(︁ )︁2ˆ = 100 − 1(8.39)ˆ = (8.40)ˆ = ˆ(8.41)ˆ = ˆ(8.42)ˆ|0 >= |1 >(8.43)ˆ|1 >= |0 >(8.44)1|0 >= (|0 > −|1 >) √2(8.45)66Лекция 8. () = − 2 ^(8.46) () = − 2 ^ = cos ˆ − sin ˆ22(8.47)(8.48)Как реализуются повороты? Это делается в случае спина с помощьюдвух взаимно перпендикулярных полей. Первое постоянное магнитное поле,а второе переменное в радиочастотном диапазоне.Почему нужно два скрещенных поля? Экспериментальная реализацияоператора поворота.
В простейшем случае поля создаются токами, текущими через катушку. На оси катушки-соленоида создается магнитное поле.ˆ 0(8.49)Наматываем еще одну катушку перпендикулярно первой оси.⃗ 1 = 210 cos · ˆ(8.50)Гамильтониан спинаˆ = −⃗⃗ · (8.51) () = − 2 ^⃗ =2Б ⃗~0 Б ˆ + 10 Б (ˆ cos + ˆ sin )1 () = 210 cos ˆ = 10 (cos + ˆ + sin ˆ ) + 10 (− sin ˆ )(8.52)(8.53)(8.54)20 Б = ~0(8.55)210 Б = ℎΩ(8.56)ˆ = ~0 ˆ + ~Ω (ˆ cos + ˆ sin ) = 0 + 122(8.57)В случае лазера это атомные уровни.Уравнение Шредингера~ˆ > >= |(8.58)Нужно решить это уравнение, описывающее все в квантовом мире. Новый вектор состояния.ˆ >~ | >= |(8.59)|() >= ^2 |() >(8.60)67| >= −(8.61)(8.62)(0 − Ω = −| > −( ) 2 ^ >22(8.63)^2 ˆ−2ˆ = ˆ sin + ˆ cos (8.64)ˆˆ = −ˆ(8.65)ˆˆ = ˆ(8.66)−...| >~ − ˆ 2 ˆ > + 2 ^~= − 2 ^2...1.2 2(8.67)10 = 0, = 0(8.68)Ω ∼ ...(8.69)ˆ|()>= − 2 ^|(0) >(8.70)<ˆ >= cos 0 (8.71)< ˆ >= sin 0 (8.72)0 , 0(8.73)68Лекция 8.Лекция 9Матрица плотностиКвантовые приборы не являются изолированными идеальными объектами.
Они взаимодействуют с окружающим миром. Это взаимодействие вносит искажение и деградацию в квантовое состояние. При постройке квантовых приборов и работе с квантовой информацией проблема взаимодействияс окружением играет большую роль и создает трудности при практическойреализации приборов.Самый главный вопрос — на каких временах деградирует состояние?Насколько она опасна и т.д.?К концу лекции мы поймем разницу между лазером и квантовым компьютером. Они описываются одними уравнениями, но деградация идет поразному. Квантовый компьютер должен работать быстро для исключениядеградации, а лазер, наоборот, работает на деградации.~ˆ > >= |(9.1)(9.2)Число переменных мало в динамической подсистеме. Для такой динамической системы можно определить вектор .
Динамическая система —это малое число степеней свободы. Если она взаимодействует с большой системой, число степеней свободы велико. Что это за окружение? Если спиннаходится в твердом теле, вокруг него много атомов, они колеблются. Фононы, их огромное число — столько же, сколько атомов. Огромная система,она взаимодействует со спином. Между ними есть взаимодействие. Это единая система.Вопрос: как описать, как найти вектор состояния большой системы? = 0 + |Ψ >= |0 > +|1 >(9.3)Это описание дает гораздо больше. Нужно писать вектор состояния сбольшим числом степеней свободы.< 0|, < 1|~(ˆ >|0 > +|1 >= |0 > ||1~/ .
. .69(9.4)(9.5)70Лекция 9.~ˆ >= < 1||0 > + < 1||(9.6)0 |0 >= 0 |0 >(9.7)0 |1 >= 1 |1 >(9.8)01 =< 0||1 >(9.9)~= 0 + 01(9.10)~= 1 + 10(9.11)01 = * , 10 = * (9.12)11 = * , 00 = * (9.13)010+ 01 01 =(00 − 11 )~(9.14)01 =0 − 1~(9.15)00= (10 01 − 10 10 )~(9.16)10 + 11 = 1(9.17)(9.18)Первый лазер запустили в 60-х гг. Теория была создана раньше, в 50х гг.
Не было ясно, на каком материале делать. Первым запустил лазерНейман. Уравнения через полсотни лет вернулись и описывают эволюциюкубита.00 − 11 ≡ 2= (10 01 − 01 10 )~(9.19)0101+ 01 01 =~(9.20)| >= (0 + )| >(9.21)~0 − 0 Б ˆ(9.22)ˆ 0 |0 >= 0 |0 >Б(9.23)71(9.24)0 |1 >= −0 Б |1 >01 =20 Б= 0~(9.25)⃗ = −⃗ · (9.26) = 0 + + (2, 1013 )(9.27)Пример классического гармонического осциллятора. Пружинка.(9.28)′′ + 02 = 0(9.29)Для описания трения нужно перейти от механики к статистической механике.
Это уравнение заменяется уравнением′′ + 2′ + 02 = 0(9.30)Уравнение для диагонального элемента02 =(9.31)12+ ( − 0 ) = (10 01 − 01 10 )1~Уравнение двухуровневого атома, которое используется в лазерах.(9.32)01101+ 01 01 + 01 =2~2 ≪ 1Характерное значение 2 — 10−10− −10−11сек., а 1 — 10 сек.(9.33)−3(9.34)Как осуществляется деградация блоховской сферы? Она связана с изменением длины блоховского вектора.01 () = 01 (0)−0 − 201 = ˜01 −0 (9.35)01 = ˜01 −(9.36)˜01 ˜01=~(9.37)2= − (˜01 ˜10 − ˜10 ˜01 )~(9.38)(2 + 4˜01 ˜10 ) = 0(9.39)72Лекция 9.2 () + 4˜0 ()˜10 () + (9.40)Λ = 00 − 11 = 0(9.41)(9.42)Роль дисипации деструктивна в случае квантового компьютера, а в случае лазера конструктивна.
Лазер работает с временами, значительно большими, чем 24˜01 ˜10 = Λ2 + Λ29.1Теория квантовых измеренийКвантовая механика состоит из двух несвязанных частей — эволюция квантовых состояний, описывается уравнением Шредингера, либо матрицей плотности. Смешанное состояние описывается матрицей плотности. Суперпозиционное состояние образуется суперпозицией двух векторов.Проведение измерений — это физическая процедура. Установка связанас заданием гамильтониана для кубита. Базисом называется собственныйвектор измеряемого оператора.В результате измерения кубита с вероятностью ||2 получается 0, с вероятностью ||2 получается 1.
Первый постулат:Второй постулат: если в результате измерения кубит оказался в состоянии 0, то он остается в этом состоянии до нового измерения. Аналогичнодля состояния 1.Постулаты ниоткуда не следуют. Их сформулировал фон Нейман. Говорят о коллапсе вектора состояния. В результате получается только одно состояние, пакет коллапсирует. Измерение — процесс необратимый.
Онаналогичен взаимодействию кубита с окружением. Коллапс представляетсобой большую проблему для квантовых алгоритмов. Исходно в векторезаключена большая информация. В результате измерения мы извлекаемлишь один классический бит. Кажется, что квантовые компьютеры не дают никаких преимуществ за счет постулата измерения. Но есть алгоритмы,которые обходят это ограничение.Рассмотрим один парадокс.
Допустим, мы измеряем . Создаем установку и подаем кубит. Пропускаем через магнитное поле. Происходит отклонение и мы узнаем спин. Повернем поле и подадим кубит в состоянииноль. Спин не взаимодействует с перпендикулярным полем. Кубит долженпройти, не отклоняясь. А эксперимент дает другую картину — кубит отклоняется в одну сторону произвольным образом. Можно найти вероятность.Как квантовая механика объясняет результат?1|+ >= √︀ (|0 > +|1 >), +1(2)(9.43)1|− >= √︀ (|0 > −|1 >), −1(2)(9.44)1|0 >= √︀ (|+ > +|− >)(2)(9.45)9.1.Теория квантовых измерений73Квантовая механика — набор постулатов. Эти рецепты прекрасно работают.
Почему они работают, никто не знает. Поэтому и говорят, что квантовой механики никто не понимает. Понимание — это привыкание к ней.Другого рецепта пока нет.74Лекция 9.Лекция 10На этой лекции будет рассказано о сути квантовых компьютеров. Передпереходом к основному вопросу, рассмотрим ipr-пары.На входе |0> и |0>, на выходе|00 > +|11 >√2(10.1)1, 0 =>|00 > −|11 >√2(10.2)0, 1 =>|01 > +|10 >√2(10.3)1, 1 =>|01 > +|10 >√2(10.4)|01 > +|00 >√2(10.5)Можно сгенерировать пару и развести фотоны на расстояния. Парадоксальное предсказание.|00 > +|11 >√(10.6)2Мы создали пару и развели фотоны в Москву и Владивосток по световодам. Такое состояние еще называется «перепутанное». Реально можнодаже на сто километров развести по световодам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
