В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В рассмотренном ранее случае волновые функции на границах должны были зануляться, т.к. яма была бесконечной глубины. Сейчас же ситуация иная. Волновая функция будет сохранять максимумы в центре, но у нее появятся экспоненциально затухающие«хвосты». Такой вывод можно получить решая уравнение Шредингера, мыэто делать не будем.28Лекция 3.(a) n=1(b) n=2(c) n=8(d) n=32Рис. 3.2: Волновая функция (черный) и плотность вероятности (синий) приразличных значениях квантового числа n.Мы имеем отдельные решениядля областей I, II и III, в сумме дающие 6 неизвестных констант.Но в классически недоступной области решение будет экспоненциальноубывать. Нарастающие части нужно выбросить.
Таким образом, двеконстанты зануляются и мы имеем 4неизвестные константы. Кроме тогоесть еще неизвестное значение энергии . Итого 5 неизвестных.3.3: Случай конечной потенциС учетом двух граничных усло- Рис.альнойямывий имеем имеем 4 уравнения длянашего решения, дающие неизвестные. В результате волновая функция определяется с точностью до амплитуды. Если мы вычислим спектр энергии, то получим, что волновые функцииуходят в классически недоступные области, при этом «хвост» описываетсяследующей экспонентой:√−∙2(0 −)~2Чем больше квантовое число мы берем, тем ближе решение будет кклассическому3.3.∙3.329Туннелирование через барьерЧем больше , тем дальше частица может проникать в классическизапрещенную областьТуннелирование через барьерПотенциальный барьер является своего рода перевернутой потенциальнойямой.У нас есть обширная разрешенная зона, затем короткая запрещеннаязона и снова длинная разрешенная.
В классической физике электрон неможет преодолеть барьер и перейти из одной разрешенной зоны в другую,однако в квантовой физике (а также в окружающей нас действительности)электрон может преодолевать барьер.Запишем стационарное уравнение Шредингераˆ = −~2 2 + 0 = 2 222= 2 (02 )2~(3.2)В области − 2 6 6 20 > , а значит праваячасть 3.2 неотрицательна, поэтому мы можем выписать собственные функции() ∼ ±√︁2(0 −)~2Для точного решения, конечно,необходимо брать комбинациюэтих функций, однако для качественной оценки отбросим нарастающую, как в случае барьерабесконечной толщины.() ∼ −√︁Рис. 3.4: Потенциальный барьер2(0 −)~2На рисунке 3.4 схематично изображена волновая функция частицы, преодолевающей потенциальный барьер. Так как толщина барьера конечна, тона выходе из него амплитуда составит() ∼ −√︁2(0 −)~2И при > 2 электрон будет иметь волновую функцию с этой амплитудой.Таким образом, все наши рассуждения говорят о том, что:Волновая функция может проникать, экспоненциально затухая, вклассически недоступные области303.3.1Лекция 3.Пример из жизниТуннелирование через барьер — достаточно распространенное явление.
Например, рассмотрим медный провод. Он состоит из вещества, которое оченьхорошо проводит ток. Но медь покрыта слоем окисла, действительно, наметалле всегда есть слой окисла вследствие содержания некоторого количества кислорода в атмосфере. Окисел меди, в отличие от чистой меди,является хорошим изолятором. Но толщина слоя окисла очень мала (порядка 10−6 см).Когда два провода соединяются, например в месте контакта вилки с розеткой или скрутки проводов, между двумя металлическими контактамивозникает потенциальный барьер из окисла. Структура получившейся системы будет следующая: металл — окисел — металл. Если изобразить это нарисунке ( 3.4), то график потенциальной энергии будет близок к нулю, покаэлектрон движется в меди (областях I и III) и резко возрастать, когда электрон будет двигаться в окисле (область II).
За счет описанного выше квантового эффекта электроны могут проникать через барьер. Сопротивлениетакой системы будет существенно меньше сопротивления, рассчитанного позаконам классической физики.Лекция 44.14.1.1Движение электрона в твердом телеВолновая функция электрона в кристаллическойрешеткеРассмотрим модель движения электронав кристалле (полупроводнике, диэлектрике,металле). Кристалл образован периодическим чередованием ионов. Такое чередованиеaобразует кристаллическую решетку.
Расстояние между элементами решетки называется периодом. Потенциал кристалла выглядитxкак горбы, направленные вверх, и потенциальные ямы. Расположение потенциальныхям соответсвует расположению положительно заряженных ионов. Мы рассматриваемименно положительно заряженные ионы так Рис. 4.1: Атомная решеткакак кристалл можно рассматривать как совокупность неподвижных атомов без электронов проводимости и собственнообобществленных электронов проводимости, перемещающихся в кристалле.Рассмотрим идеальный кристалл. Для него будет верно условие периодичности.+ + ++ + + () = ( + )А значит мы можем разложить () в ряд фурье. () =∑︁ ()=2где = ±1, ±2, ±3, . .
.Обратное пространствоПод обратным пространством (k-пространством) будем пониматьпространство, получаемое из данного в результате преобразованияФурьеДля простоты мы рассмотрим кубическую решетку: возьмем куб с ребром , соответсвующий одной ячейке и составим из таких кубов решетку,3132Лекция 4.располагая в углах кубов узлы сетки. Разным узлам будут соответствоватьразличные значения . Положение каждого узла определяется векторомтрансляции = ˆ · + ˆ + ˆ Где , и — единиччные вектора, а , , = ±1, ±2, ±3, . . .
. Мыможем применить к преобразование Фурье и в результате прямой решетке будет соответствовать обратная решетка в k-пространстве, задачаемаявекторами ⃗.⃗ = 222ˆ + ˆ + ˆЭти вектора обладают тем свойством, что их скалярное произведение равно2⃗ · ⃗ = 2, ∈ ZЧто позволяет написать(4.1)⃗⃗ = 1 = 2В дальнейшем это свойство будет существенно использовать.Теперь у нас все готово и мы можем записать уравнение Шредингера,для этого запишем гамильтониан. Мы изучаем стационарные системы, покрайней мере сейчас.2=ˆ+ ()2Далее мы рассмотрим одномерный случай.
Уравнение Шердингера, стационарное, которое соответсует этому гамильтониану, имеет следующий вид:~2∆ + () = 2(4.2)Разложим в ряд Фурье потенциальную функцию () и искомую волновуюфункцию.∑︁ () =() =∑︁ Подставим эти разложения в 4.2 и, после некоторых вычислений, получим∑︁ ~2 ′2′2′ +∑︁ ∑︁′′ () ( +) = ∑︁′ ′В этом уравнении нам не известны все , а также значение энергии, ихи нужно найти. Умножим обе части уравнения на − и проинтегрируем,можно по всему кристаллу, можно по одной ячейке, результат будет одинаков.
Можно показать, что получаемые интегралы будут представлять изсебя символы Кронекера, они будут равны 1 при = ′ и 0 при остальных значениях ′ , поэтому сумма по ′ снимается. В результате, после всехупрощений получим:(︂)︂∑︁~2 2− + − = 02(4.3)4.1.Движение электрона в твердом телеe33ikxволнаде БройляaРис. 4.2: Атомные плоскостиВот какой простой вид принимает уравнение Шредингера. На самомделе простота здесь кажущаяся: это система зацепляющихся уравнений, здесь может принимать множество значений.
Каких именно зависит от граничных условий. Допустим, что наш кристалл имеем длину . Тот факт,что электрон не могут выходить за его пределы, говорит о том, что (0) =() = 0. Так можно сделать, но неудобно, самыми удобными граничнымиусловиями являются , так называемые, условия Борна-Кармана (0) = ()— периодические граничные условия. Они кажутся странными: на ограниченном кристалле значения функции на концах почему-то совпадают. Какможно такое объяснить с физической точки зрения? Кристалл должен бытьсвернут в кольцо.Вопрос граничных условий исследовался довольно глубоко и в результате физики пришли к выводам, что для достаточно больших кристаллов,более десятков ячеек, граничные условия не влияют на поведение волновойфункции внутри кристалла. Т.е.
объемные свойства твердых тел не должнызависеть от граничных условий.А вот когда мы исследуем поверхностные эффекты, например в популярных нынче наноструктурах, то граничные условия становятся очень важны.Мы же занимаемся только объемными задачами, поэтому воспользуемсяграничными условиями Борна-Кармана. Это дает следующий набор волновых векторов (пока примем их на веру, а потом проверим, когда найдемволновую функцию) =2Вектора обратной решетки содержат — очень малый размер, а вектора прямой решетки — очень большой размер. Значит вектора прямойрешетки расположены очень густо, а обратной, наоборот, очень редко.Главное здесь то, что квантовано. В ?? мы получаем систему зацепляющихся уравнений.
Ее можно решить, только обрывая. Но даже если нерешая ее, можно получить важные качественные результаты. Одномерныйкристалл — можно представить себе как периодическое повторение атомных плоскостей, расстояние между которыми .И в этот кристалл инжектируется плоская волна. . Т.е. волна де Бройля, так как свободный электрон описывается волной де Бройля. Мы знаем,что на этих плоскостях происходит дифракция. В результате дифракции по-34Лекция 4.рождаются дифрагированные волны. Это плоские волны, вектор которыхсдвинут на вектор обратной относительно решетки.
Это явление и описывается уравненем Шредингера. − это амплитуды дифрагированных волн,ведь у них волновой вектор равен − , то есть сдвинут на вектор обратнойрешетки.Электрон испытывает дифракцию и превращается в волновой пакет,вектора волн которого равны − . Это важный качественный вывод, такозначает, что в Фурье-разложении волновой функции фигурируют не все , а лишь одно и совокупность всех − , где пробегает дискретный рядзначений.∑︁ (︀)︀ () =− − (4.4)Где ∈ Z, причем при = 0 мы получаем , то есть инжектированнуюволну, а при остальных значениях дифрагированные волны. Просуммируемвсе волны, включая исходную и получим волновую функцию электрона вкристалле. В классическом виде она записывается вот так: ()Это квазиплоская волна, почти волна де Бройля, но её амплитуда зависитот следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
