В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Операторы квантовой мехаики эрмитовы.∫︁ˆ 2 ⃗ = *∫︁ˆ * 2 ⃗()А из этого следует, что среднее значение и собственные значения оператора действительны. Это хорошо согласуется с тем, что физическиевеличины также принимают только действительные значения.Напомним, что называется собственным значением, а собственной функцией оператора ˆ, если ˆ = .3. Полнота набора : любая волновая функция может быть разложенав ряд по набору собственных функций оператора.В дальнейшем мы будем этим активно пользоваться.(, ) =∑︁) () (⃗∫︁1=∫︁2|| =∑︁ ∑︁* ∫︁* =* ⃗ =∑︁| |2 = 1То есть — это вероятность обнаружить микрообъект в состоянииОстатся вопрос: какие значения может принимать физическая величинаA? Нужно поставить задачу на собственные значения оператора, соответствующего этой величине.

Решив её, получим спектр . Этот набор чисели дает набор возможных значений величины , причем принимать она ихбудет с вероятностями | |22.4Совместные физические величиныПусть у нас есть две физические величины и мы хотим их измерить. Какмы уже убедились на примере координат и импульса, иногда измерить обевеличины одновременно невозможно. Такие величины называют несовместными. Если же одновременному измерению ничто не мешает, то они называются совместными.Как определить совместны ли величины? В момент измерения частицапринимает одно из состояний, характеризующихся собственными волновыми функциями оператора измеряемой величины. При этом сама физическая величина принимае значение, равное собственному вектору оператора.Естественно, что принять сразу два состояния частица не может.

Отсюдаследует, что если операторы и коммутируют, то естьˆ −ˆ ˆ = 0ˆ2.5.21Уравнениее Шредингераэти операторы имеют один и тот же набор волновых функций, то сответсвующие им величины совместны, а в противном случае не совместны.В качестве примера рассмотрим импульс и гамильтониан.ˆ ≃ −~2ˆ = + ()2Если потенциальная энергия постоянна, то эти величины совместны, а есличастица движется в потенциальном поле, то тогда они не совместны.2.5Уравнениее ШредингераСогласно уравнению де Бройля=~ 22Воспользуемся формулой Максвелла, отлично работающей для электромагнитных волн.

Можно предположить, что её аналог действителен и для волновых функций.2 2 2=(2.5)22Из нее следует, что функция имеет вид (−) , причем 2 = 2 2 .Выразим 2 и подставим в 2.5, использовав выражение для . Также произведем однократное дифференцирование по . Получим~ 2 ~2=− 2 · 2(2.6)Обратим внимание, что справа у нас фактически стоит гамильтониан дляслучая нулевой потенциальной энергии.222ˆ = ˆ = − ~ 22 2Перепишем 2.6 в видеУравнение Шредингера~Или−ˆ= ~~ ∆(⃗, ) + (⃗)(⃗, ) = −(⃗, )2 Шредингер прославился не только тем, что вывел это уравнение, нои тем, что сразу же записал его для атома водорода и решил. При этомрезультаты совпаси с давно накопленными эмпирическими данными.Мы записали уравнение Шредингера для одной частицы, но, теоретически, мы можем записать его и для системы частиц и для материального22Лекция 2.тела.

И такое уравнение будет полностью описывать его поведение. Другоедело, что оно станет настолько сложным, что его будет невозможно решить.Но, тем не менее, мы нашли путь к описанию системы квантов любой степени сложности.2.6Стационарные системыСуществует очень широкий класс систем, для которого уравнение Шредингера существенно упрощается.

Это класс стационарных систем.Система называется стационарной, если её гамильтониан не зависитот времениОператор гамильтона, в общем случе, зависит от координат и времени (ˆ ).), а для стационарной системы только от координат ˆ = (⃗Выведем стационарное уравнение Шредингера. Для этого выпишем волновую функцию и разделим её на части, зависящие только от ⃗ или толькоот .ˆ = (⃗ˆ , ) = ()(⃗)Подставим его в уравнение Шредингера~(⃗)ˆ= ()()Произведем разделение переменных путем деления на ()()~ˆ1 ()()== () ()Причем первое равенство верно при любых значениях переменных, а значитмы имеем дело с константой. Из условия стационарности у нас следует, что~= ()И в итоге получимСтационарное ууравнение Шредингераˆ()= ()Отсюда следует, что энергия принимает собственные значения операторагамильтона.

Для простейших случаев мы будем находить решения этой задачи на собственные значения явно, для остальных будем проводить качественный анализ.Например, рассмотрим случай, когда волновая функция имеет вид () = − ~ И отсюда сразу получим постулат де Бройля. = ~2.7.23Алгоритм нахождения волновой функцийС этим уравнением интересная история. Шредингер был молодым человеком, и был теоретик де Байль, зрелый, известный. Он вел семинарв Цюрихе и де Байлю попалась работа де Бройля.

Он почуствовал, чтоздесь что-то есть и сказал Шредингеру, чтобы тот, попытался понять, откуда следует такая волна. При попытке найти ответ Шредингер и вывелсвое знаменитое уравнение. И, что намного сложнее, решил его для атомаводорода и получил его спектры, которые к тому моменту были хорошо изучены. Таким образом была теоретически описана теория Бора. Шредингерполучил те же результаты из своей волновой механики. И это было началоквантовой механики.А Гейзенберг, будучи таким же молодым ученым, за год до Шредингерасоздал матричную квантовую механику.Но вернемся к стационарному уравнению Шредингера. Если оно решено,то значит нам извесен спектр ()(⃗, ) =∑︁ (⃗)−~Но это и есть полное решение уравнения Гейзенберга.

Причем | |2 — этовероятности того, что при измерении мы обнаружим квантовую систему всостоянии . Это решение общего вида.2.7Алгоритм нахождения волновой функций1.2.3.4.Находим гамильтониан нашей системыЗаписываем уравнение Шредингера этой системыИщем решение уравненияИщем волновую функцию как взвешенную сумму собственных функций∑︀5. Нормируем полученную функцию исходя из условия нормировки | |2Все возникающие при решении задач ситемы, описываются уравнением Шредингера. В том числе им описывается и эволюция кубита. Посути, работа ученых, занимающихся квантовой механикой, сводится крешению различных вариантов уравнения Шредингера.= 124Лекция 2.Лекция 33.13.1.1Бесконечная потенциальная ямаВ классической физикеДля начала рассмотрим максимально упрощенный вариант потенциальной ямы. Конечно в реальностиона не встречается, но она является прообразом реальных систем инесет в себе свойства этих систем.Что такое потенциальная яма? Будет ли для вас открытием, что наша Земля движется в потенциальной яме? Яма подобного типа возникает, когда есть притяжение.

Электрон в атоме также движется в по- Рис. 3.1: Потенциальная яма в кластенциальной яме. Мы будем рас- сической физике.сматривать движение в простом виде, допускающем аналитическое решение.Для этого мы сделаем следующие упрощения:∙ Первое упрощение — уменьшение степеней свободы, будем рассматривать одномерный случай.∙ Второе упрощение — симметрия, возьмем симметричную прямоугольную потенциальную яму.Полная энергия частицы в классическом варианте будет равнаполн = + (), > 0полн > ()Полная энергия всегда больше, чем U(x) (потенциальная энергия).В классическом варианте возникает недоступная область, в нее электрон никогда не модет попасть т.к.

его энергия слишком мала. Для началавозьмем яму бесконечной глубины, устремив параметр в бесконечность. Этосамый простой случай для анализа.0 → ∞2526Лекция 3.Когда частица подходит к границе стенки, на нее будет действовать сила⃗ = −Эту формулу легко проверить, уменьшив крутизну стенок и проведядифференцирование.

Возникающие силы не будут давать частице возможности выйти за пределы ямы. Таким образом, частица не может выходитьиз ямы. Отобразим это в граничных условиях.(− ) = ( ) = 0223.1.2(3.1)В квантовой физикеТеперь рассмотрим описанную ситуацию с точки зрения квантовой физики.Требуется записать уравнения Шредингера для разных областей (дно ямыи ее стенки). Возникает гамильтониан:=−~2 2·2 2ˆ = −~2 2 = 2 2() = 1 + 2 −√︂2=~2Так как мы рассматриваем симметричную потенциальную яму |1 | = |2 |.Хотя их модули должны быть равны, знак может быть разный, поэтому мыбудем получать либо sin, либо cos:() = cos () = sin Используя граничные условия 3.1 получим квантованный набор функцийcos ==02, = 1, 3, 5, .

. .2Такми образом, мы получили квантованный набор собственных волновыхфункций =~2 2~2 2 2=2...называется квантовым числом.Разложим волновую функцию по собственным функциям оператора импульса () ∼ ∼ ( + − )3.2.27Конечная потенциальная ямаи получим суперпозиционное состояние. Отсюда следует, что импульс неимеет определенного значения.Аналогичные операции проведем для sin:sin =02 = ; = 1, 2, 3 . . .2И это не очень удобно. Для единообразия положим = 2 и тогда =; = 2, 4, 6 . . .22 =; = 2, 4, 6 . . .То есть мы полностью решили задачу.

Какой можно сделать вывод?Если система находится в связанном состоянии, мы имеем финитное движение в конечной области пространства, находимся в потенциальной яме,то спектр энергий такой системы дискретный. Интересен ли полученныйрезультат физически? Да, мы получили интуитивное понимание, откудавозникает дискретный спектр. Для финитного движения мы ставим граничные условия, которым удовлетворяет не любое решение, а квантованныйнабор.

В макромире аналогичная ситуация возникае когда скрипач, перебирая пальцами, изменяет длину струны. Тем самым он задает граничныеусловия, что приводит к тому, что струна издает не все звуки подряд, алишь квантованный набор частот.Рассмотрим различные уровни решения. Низший уровень ямы соответствует квантовому числу = 1. График выглядит как одногорбая функцияс максимумом в середине. Второе решение соответствует квантовому числу = 2. Здесь уже появляются осцилляции (одна волна с двумя горбами,направленными вверх и вниз). Если добавим модуль и возведем в квадрат(нас интересует вероятность обнаружения частицы), функция будет иметьдва горба, направленных вверх.

При дальнейшем увеличении числа количество горбов будет возрастать, в конце концов их станет очень много ив пределе мы получим равномерное распределение. Можно сделать выводо том, что квантовое распределение стремится к равномерному распределению, а значит, к классической модели.3.2Конечная потенциальная ямаТеперь рассмотрим аналогичную яму конечной глубины. 0 конечно, а значит, возникают конечные границы ямы.

Характеристики

Список файлов лекций