В.И. Емельянов - Конспект лекций по основам квантовой физики и квантовых вычислений (1161704), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Однако когда мы её обнаруживаем, она ведет себякак частица, а значит мы можем говорить о точке обнаружения.Сейчас имеется несколько разрозненных школ. Почти все физики придерживаются Копенгагенской интерпретации. Однако есть и критика, так кальтернативным школам принадлежали Эйнштейн и даже сам Шредингер.14Лекция 1.Вероятность обнаружения частицы во всем пространстве равна 1.∫︁|(⃗, )|2 ⃗ = 1Электрон нельзя представлять себе как шарик, движущийся по траектории. Если бы электрон был шариком и двигался обычным образом, ондолжен был бы пройти через щель 1 или щель 2, но не сразу в обе. Волнаже может вести себя таким образом, так как она распределенная. В случае поведения электрона как частицы, мы бы имели картину единичныхмаксимумов, но не волновую картину дифракции.Но если у нас есть волновая функция, то говорить, где сейчас электрон,где заряд, где масса, неправильно.

Есть просто волновая функция, естьуравнение волновой эволюции. Это то, что не удовлетворяло Эйнштейна ибольшинство людей, занимающихся квантовой механикой. В Копенгагенской интепретации этот вопрос считается ненаучным и не рассматривается.Волновая механика Шредингера — это решение уравнений в частныхпроизводных, описывающих поле. Когда же мы переходим от теории кпрактике, хотим измерить поле, извлечь информацию из него, мы ставимпластинку, с Теперь электрон — реальный объект, материальная точка, имеющая массу, заряд и прочие характеристики. Он попал в пластинку и произвел взаимодействие.

Это и есть корпускулярно-волновой дуализм частиц.Это недостаток — исчезает материя, ведь мы не можем ответить на вопрос:где масса на этапе распространения волны? Это лишь один из аспектовнепонятности квантовой механики. В теории информации мы будем иметьдело с почти мистическими выводами, подтверждающимися экспериментами. Квантовая механика все объясняет, становится возможным строить всеновые и новые приборы. Все описанное квантовой механикой существуетнеависимо от измерения, наблюдателя и т.д., подтверждено многочисленными экспериментами, проводившимися независимыми учеными.Лекция 2Кроме рассмотренной в первой лекции волновой квантовой механики существует еще и матричная квантовая механика.

В теории квантовой информации удобнее работать именно в матричной формулировке, а вот в физикетвердого тела, химии, биологии волновая механика удобнее.Сменив парадигму (набор основополагающих идей, лежащих в основенаправления) с классической на квантовую мы получили новые особенности, в частности, корпускулярно-волновой дуализм. Причем существуютобъекты, поведение которых описываетсся именно волновой теорией.

Следует отметить, что и волновое, и вероятностное описания были принятыпод давлением опыта. Это результат многолетних попыток описать явления, возникающие в экспериментах, а не прихоть. Мы будем ставить естественные вопросы и увидим, что аппарат квантовой механики развиваетсяпод влиянием естественных логических шагов.2.1Соотношение неопределенностиВ начале займемся соотношением неопределенности. Рассмотрим предельный частный одномерный случай для того, чтобы понять общие принципы.Пусть электрон имеет импульс ⃗.

С ним связана волновая функция:(, ) = (−)Мы знаем, что = ~, а значит фиксированно. Но тогда плотность вероятности нахождения электрона в точке пространства в момент времени будет|(, )|2 = ||2 = А это значит, что координата полностью не определена, если импульс заданточно.Теперь попробуем локализовать волновую функцию, при этом мы получим так называемый волновой пакет (сумму волн). Для этого воспользуемся принципом суперпозиций, будем составлять волновое поле, суммируяволновые функции. Принцип суперпозиции присутствует везде в природе, сним связаны различные парадоксы, например экспоненциальный выигрышв скорости квантовых компьютеров по сравнению с традиционными.1516Лекция 2.Принцип суперпозицииЕсли микрообъект может находиться в состояние функции 1 (, )и может находиться в состоянии функции 2 (, ), то он может находиться в суперпозиционном состоянии(, ) = 1 1 (, ) + 2 2 (, )То есть волновая функция может быть представлена в виде(, ) =∑︁ Причем зачастую получается так, что зависит только от времени, а только от координат.В частности, интерференция — это проявление такого сложения.

Еесмысл в том, что волны либо гасят, либо усиливают друг друга. Единственная особенность заключается в том, что когда принцип суперпозиции формулируется для волн вероятности, складываются не вероятности (|2 |), аамплитуды вероятностей, а потом уже берется модуль в квадрате. Поэтомувзаимная разность фаз играет роль.Используя этот принцип, мы можем организовать волновой пакет. Допустим, что импульс нам извесен с некоторой погрешностью, а раз извесенимпульс, то известно 0 = /~ и отрезок длиной ∆ и центром в 0 , в пределах которого находится . Определим (, ) как суперпозицию по всемдопустимым :∫︁(, ) =0 + Δ21∆()(−) 0 − Δ2Положим ∆ ≪ 0 , то есть погрешность, с которой мы знаем импульс малапо сравнению с самим импульсом.

Тогда можно сделать следующие упрощения:( − 0 )() ≃ (0 ) = () = (0 ) +Обозначим0 ≡2~2 2== ~22Тогда для волновой функции получим(, ) =где=sin 0 (0 −0 )∆( − 0 )2Определим где же находится частица, для этого найдем плотность вероятности:|(, )|2 = 20 (sin 2)2.1.17Соотношение неопределенностиПостроим график этой функции по осиординат. Он состоит из большого горбав середине и затухающих горбов влево ивправо, причем следующий рядом с центральным имеет высоту около 201 от основного.

Частица в основном сосредоточенагде-то внутри центрального максимума.Положим = 0 = − 0 . При этом=0 > 0, что говорит о том, что точкапространства, в которой достигается максимум вероятности нахождения частицы,движется. То есть движется и весь волновой пакет со скоростью 0 , но его положе- Рис. 2.1: Вероятность обнание остается неопределенным. Насколько ружить частицу в различныхвелика эта неопределенность? Она скорее точках пространства.всего расположена в главном максимуме,то есть −/2 < ∆ < /2:(︂∆ = ∆∆( − 0 )2)︂=При фиксированном получим ∆∆ = 2, откуда и выразим соотношениенеопределенности Гейзенберга∆∆ = 2~На самом деле мы выполняли вычисления довольно грубо и более точноесоотношение выглядит так:Соотношение неопределенности гейзенберга∆∆ =~2Тогда становится ясным наше определение микрообъекта. Если ⃗ ≫ ~,то неопределенность мала по сравнению с величинами, описывающими объект, и мы можем рассматривать его как макрообъект, в противном случае,неопределенность велика и ответ, даваемый классической физикой становится неточным — мы имеем дело с микрообъектом.Отсюда же следуют выводы, полученные в начале лекции: если в точности извесен импульс, координата абсолютно не определена, если в точностиизвестна координаата, то импульс не определен.∆ = 0 ⇒ ∆ = ∞∆ = 0 ⇒ ∆ = ∞Если формально устремить ~ к нулю, то квантовая механика превращается в классическую, а уравнение Шредингера переходит в классическоеуравнение Гамильтона-Якоби.182.2Лекция 2.Второй постулат квантовой механикиДо сих пор мы имели дело с самой волновой функцией.

Но в опытах мыизмеряем не её, а физические величины. Получаются числа, действительные числа, зависимости, параметры, кривые. Как извлекать из квантовоймеханики эти числа? На этот вопрос отвечает аппарат квантовой механики,который мы хотим развить.Второй постулат квантовой механикиКаждой физической величине соответствует оператор, а его среднему значению соответствует среднее значение физической величины,получаемой в эксперименте.Далее мы будем обозначать операторы с помощью крышки: ˆ, а среднеезначение угловыми скобками: ⟨⟩. Впрочем, крышечку у будем иногдаопускать. Оператор действует на записанную после него волновую функцию. Далее будет показано, что физическая величина, соответсвующая оператору может принимать только собственные значения этого оператора.Нам известны такие физические величины, как координата, скорость,импульс, момент импульса, энергия.

Как построить операторы, соответствующие этим физическим величинам?2.2.1Оператор координатОператор координаты является простейшим оператором. Он заключаетсяв умножении волновой функции на соответсвующую координату:ˆ = ; ˆ = Проверим, что такое определение вполне согласуется с определением оператора, подсчитаем среднее значение оператора на всем пространстве:∫︁⟨⟩ =∫︁|(, )|2 =() =∫︁ * (, )(, )Но это просто математическое ожидание для координаты частицы, среднеезначение наблюдаемой физической величины, что и требовалось получить.Значит наше предположение было верно.2.2.2Оператор импульсаДля начала рассмотрим одномерный случай. Среднее значение оператораимпульса должно записываться также, как оператор координаты:∫︁⟨ ⟩ = * (, )ˆ(, )(2.1)Но мы пока не знаем, что такое ˆ. Возьмем такое состояние, в которомимпульс точно определен: (, ) = ~ − = (2.2)2.2.19Второй постулат квантовой механикиПредположим, что ˆ - это оператор дифференцирования по координате.Тогда подставим 2.2 в 2.1 и в качестве ˆ возьмем ∫︁⟨ ⟩ =() ( ~ − )) =∫︁ 2 ( ~ − )* ~ − )) =~∫︁∫︁2 (2.3)= 2 =~~∫︀= , а кроме того, мы знаем, что 2 = 1.~− *Но мы априори знаем, что ⟨ ⟩ Это значит, чтомы угадали оператор импульса с точностью до константы:ˆ = −~Для трёхмерного случая оператор импульса будет выглядеть так:⃗ˆ = −~∇(2.4)Где ∇ - оператор Лапласа∇ = ˆ2.2.3+ ˆ+ ˆОстальные операторыДля нахождения операторов остальных функций воспользуемся принципом, заключающемся в том, что отношения между операторами повторяют отношения между величинами в классической физике.

А в классической физике любая физическая величина выражается через координаты,импульс и время. (⃗, ⃗, ) =⇒ (⃗ˆ, ⃗, )Оператор ГамильтонаБез гамильтониана невозможно жить в квантовой механике. Определитьсистему — значит определить гамильтониан, поэтому давайте его построим.Функция Гамильтона отражает полную энергию системы, то есть суммукинетической и потенциальных энергий.=2+ (⃗, )2Подставим вместо импульса оператор импульса 2.42ˆ = − ~ ∆ + (⃗, ) = ˆ +ˆ2Заметим, что ˆ - это оператор двухкратного дифференцирования.2ˆ = −~ ∆2где∆=222+ 2+ 2220Лекция 2.2.3Важные свойства операторов квантовой механики1. Операторы квантовой механики линейны.2.

Характеристики

Список файлов лекций