П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В первом случае траектории, близкие в начальный момент времеви, остаются близкими — траектории (а следовательно, и решения) устойчивы. Во втором случае малое начальное возмущение приводит к быстрому расхождению траекторий со временем— они не устойчивы. Отметим еще одно свойство консервативных систем, состоящее в том, что они инвариантны к обращению времени (замене Ф на — 1).
В случае маятника это означает, что если его движения заснять на видеофильм, то фильм можно прокручивать в обоих направлениях и отличить правильное направление от обратного по воспроизводимым движениям маятника будет невозможно. 2,1.3. Диссипативные системы Примером простейшей диссипативной системы может служить тот же простой маятник, но подверженный действию сил трения. Реально силы трения присутствуют всегда (трение на оси, сопротивление воздуха и т, д.), и ни один свободный осциллятор не совершает колебания неограниченно долго. Для учета действия сил сопротивления нужно добавить в уравнение (2.1) слагаемое, например пропорциональное скорости движения маятника В+ дй+ (д!1) зш В = О, (2.4) где д есп коэффициент трения. Повторяя вычисления для скорости изменения энергии, вместо (2.3) получим 4Е = — дт(здз.
(2.5) 2.|. Коисегвхтивиые и диссипАтивиые системы 53 Рис. 2.3. Таким образом, при любом положительном значении коэффициента трения энергия убывает со временем, стремясь в конечном итоге к нулю (отрицательной энергия стать не может). Это означает, что семейство траекторий, представлявшее собой в отсутствие трения множество концентрических окружностей, превращается теперь во множество траекторий, сходящихся к началу координат. На рис. 2.3 показаны фазовые портреты мюпиика с трением для малого (а) и большого (б) трения.
В первом случае характерное время затухания значительно превышает период колебаний и траектории представляют собой спирали с малым шагом. Соответствующий фазовый портрет называется фокусам. Во втором случае затухание происходит за время, меньшее периода. Колебания становятся апериодическими, а портрет называется Зилом. В обоих случаях все фазовые траектории заканчиваются в одной точке, которая называется притягивающей точкой или па|я|рака|орам. 0 Наличие аттрактора является важнейшим свойством диссипативных систем. Апрактор является точкой только в простейших случаях. В общем случае атграктор — это притягиваю|цее множество (линия, поверхность и т.л.).
Представим, что в рассматриваемом нами осцилляторе добавлена вынуждающая сила (для конкретности представим себе гирю в часаххоликах). Теперь независимо от начальных условий фазовые траектории сходятся к окружности, радиус которой определяется действую- Рис. 2.4. щей силой (рис. 2.4). Эта круговая траектория н является аттрактором (предельным циклом).
Важным является тот факт, что в диссипативной системе пропала зависимость решения от начальных Условий (на достаточно болыпих временах, когда система выходит на аттРактор). глава 2 Рассмотренный пример иллюстрирует еще одно важнейшее свойство диссипативных систем — сжатие площадей (объема) в фазовом пространстве. Объем любого множества начальных условий уменьшается в среднем во времени. Однако, как и в консервативных системах, эволюция множества может происходить различным образом. Иногда (как в простом маатнике с трением) это множество равномерно стягивается в точку (или стремится к предельному циклу) и все траектории сблюкаются со временем. Но не всеща уменьшение объема подразумевает неизбежное сокращение длин.
Растяжение обьема в одном направлении может компенсироваться более эффективным сжатием в другом направлении. Этн два сценария сжатия фазового объема показаны на рис. 2.5. Ряс. 25. Последнее принципиальное отличие диссипативных систем от консервативных связано с тем, что они не инвариантны к обращению времени. Это означает, что просмотр фильма о маятнике с трением в обратном направлении приведет к физически невозможной ситуации, так как маятник станет раскачиваться с нарастающей амплитудой без воздействия внешних сил.
2.1.4. Пример немеханнческой системы Приведем простой пример диссипативной системы из жююго мира. Это модель системы жертва — хюциик. Система, бесспорно, диссипатввна, так как в отсутствие пищи любая биологическая популяция вымирает. Пусть в изолированном лесу обитают только зайцы и волки, за численностью которых мы н собираемся следить (Ф вЂ” количество волков, и— количество зайцев). Фазовое пространство есть в этом случае один квадрант на плоскости (и, М), так как отрицательные значения для численности животных не возможны.
Постараемся нарисовать фазовый портрет системы, не выписывая уравнений. 2.1, КОНСЕРВАТИВНЫЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 55 Какие параметры определяют возможные сценарии развития жизни в лесу? Это рождаемость обоих видов, естественная смертность, аппетит волков.
Очевидно, что у каждого вила есть наименьшее критическое число (соответственно, и, и Ф,), необходимое для того, чтобы вид мог воспроизводиться. Отложим на осях эти критические значения и подумаем, как может развиваться система, если начальные условия задают старт фазовой Траектории вблизи осей координат. Ясно, что решающим является число зайцев. Если количество зайцев не достаточно для поддержания вида, то Вымрут зайцы, а следом с неизбежностью вымрут и волки. Если мапо вол„ов (Ф ( г1,), а зайцев достаточно, то после вымирания волков численность популяции зайцев (в упрощенной модели) будет зависеть только от наличия травы в нашем лесу (обозначим это число как п ).
Таким образом, в системе выявились две притягивающие точки, каждая из которых имеет свою область притяжения. Если число зайцев и волков достаточно, то наиболее вероятное развитие событий — это возникновение колебаний: размножились волки— уменыпается число зайцев, стало мало зайцев — уменьшается численность волков, стало меньше волков — снова размножаются зайцы и т.д. Такой сценарий немедленно следует и нз простейшей модельной системы (2.6) где а — рождаемость зайцев, у — смертность волков (смертностью зайцев от старости пренебрегаем), )) н б — коэффициенты, описывающие результат встречи зайцев с волками (как часто такие встречи заканчиваются трагически и сколько волков могут насытиться в результате одной удачной охоты). Лс Рис.
2.6. 56 ГЛАВА 2 Система (2.6) имеет стационарное решение: п = у/б, йт = а/,8, а линеаризацня системы вблизи точки равновесия приводит к уравнению б = ст уп, имеющим своим решением гармонические колебания. Таким образом, если стационарное решение является неустойчивым, то можно ожидать появления в системе предельного цикла. Все сказанное суммирует рис. 2.6, где приведен качественный вид фазового портрета системы зайцы — волки.
Видно, что кпрахтор системы включает два узла и предельный цикл и что каждый из трех элементов аттрактора имеет свою область притяжения. Области притяжения разделены сепаратрисами, обозначенными пунктиром. 2.2. Бифуркации 2.2.1. Что такое бифуркации? В рассмотренных нами примерах диссипативных систем с подводом энергии (маятник, энергия которого поддерживается за счет опускающейся гири, животные в лесу, питающиеся в юнечном итоге за счет травы) мы обошли молчанием важный вопрос о том, как устойчивое решение (точка в фазовом пространстве) становится неустойчивым и сменяется предельным циклом. Ясно, по поведение системы зависит от некоторых управляющих параметров (масса гири в часах„при недо- А статке которой маятник остановится, рождаемость.зайцев и т.д.) и при изменении этого параметра возможны не толью количественные, но и качественные перестройки характера эволюции системы.
"а Точка в пространстве параметров, при юторой происходят качественные изменения характера решений, называется точкой бифуркации, а соответствующее значение параметра называется критическим. Рвс. 2.7. Вспомним результаты анализа конвектив- ной устойчивости нагретой жидкости в горизонтальном слое, описанные в первой главе, н представим нх на плоскости (Ва, А), где Ва — число Релея, а А — амплитуда (скорость вращения) конвективных валов (см. рис. 2.7). При Ва < Ка, единственным решением является устойчивая иеподвнжнэл точка (конвекция отсутствует). В точ- 2.2. Биаг кяции 57 ке Ка = Ка, РождаетсЯ дополнительнаа паРа Решений (это также Устойчивые точки), каждое из которых соответствует вращению валов в ту или иную сторону.
При этом прежнее решение становится неустойчивым. В этой точке имеет место бифуркация, называемая вилкой (ответвление пары решений и виде притяпшающих точек). Таким образом, точкой бифуркации называется точка в пространстве параметров, в которой происходит ветвление решений. 2.2.2. Бифуркации Хопфа Бифуркацией Хопфа назьгвается процесс рождения предельного цикла из точки. Поведение системы вблизи точки бифуркации иллюстрирует рис.
2.8. На рисунке схематически изображены фазовые траектории при трех значениях упраювпошего параметра ш с < е„к = =е„е)е,. Отметим два важных свойства бифуркации Хопфа. Во-первых, вблизи точки бифуркации период колебаний не зависит от величины надкритичности е — е,. Во-вторых, амплитуда юлебаний (амплитуда предельного цикла) зависит от надкритичности по корневому закону, то есть пропорщюнальна величине Дс — еД. Именно с бифуркацией Хопфа связан первый предложенный сценарий перехода от ламииарного течения к турбулентности (Ландау, 1944 г.). Согласно сценарию Ландау переход к турбулентности представляет собой бесконечную цепочку бифуркаций Хапфа, каждая нз которых приводит к появлению новой частоты. В такой схеме аттракгор представляет собой и-мерный тор с и, стремящимся к бесконечности, и хаос рождается в системе с очень большим числом степеней свободы.
Рис. 2.8. 2 2З- Нормальные и обратные бифуркации Представленная на рис. 2.7 бифуркационная диаграмма соответствует нормальной (суперкритичесюй) бифуркации вилки. Это означает, что воз- 5В Глава 2 никающая в точке бифуркации пара решений ответвляется от начального решения мягко, то есть с нулевой начальной амплитудой, которая монотонно растет по мере роста надкритичности.
Точно также нормальной (супер- А критической) называется бифуркация Хопфа, если предельный цикл рождается с нулевой амшппудой и в точке бифуркации система находится в состоянии нейтральной устойчивости. По мере удаления от точки бифуркации про8с 6 исходит плавное увеличение амплитуды предельного цикла. Возможна и другая картина, когда в точке бифуркации происходит жесткий переход к циклу конечной амплитуды (или, в случае вилки, две новые Рас.
2.9. точки появляются иа конечном расстоянии друг от друга). Зто происходит, когда нелинейные члены в уравнениях стремятся усилить возникающую неустойчивость. Проходя точку бифуркации справа налево (рис. 2.9), можно видеть, что неустойчивая неподвижная точка превращается в устойчивую неподвижную точку и неустойчивый предельный цикл. Такая бнфуркация называется обратной нли субкримичесхой. Важной особенностью обратных бифуркаций является наличие интервала управляющего параметра е ', < е < е„в котором сосуществуют два устойчивых решения. Какое из этих решений реализуется, зависит от предыстории: при движении слева направо неподвюкная точка остается устойчивой до значения е = е„после чего решение перепрыгивает на одну из двух устойчивых ветвей. При движении справа налево решение следует вдоль этой ветви до точки г = г'„где скачком переходит в устойчивую неподвижную точку на оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
