П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 13
Текст из файла (страница 13)
рнс. 2.25). При 0.25 < д < 0.75 решение х = 0 становится неустойчивым, но появляется другое решение— х = 1 — 1/(4д), ГлАвА 2 76 ав 1Х Рас. 2.2б. Рас 2.27 которое устойчиво, так как при 0.25 < 14 < 0.75 )~'(х) ( = 2(1 — 214) < 1. Путь, по которому решение выходит в этом случае на устойчивую точку, показан на рис.
2.26. В точке 44 = 744 = 0.75, и эта точка становится неустойчивой. Характер возникаюшего решении иллюстрирует рисунок 2.27, где показано решение для р, = 0.8. В решении возникают две неподвнжные точки, Это так называемый 2-цикл, при котором решение возврашается в данную точку через шаг. Иначе говоря, решение определяется условием хьез = хь. Запишем хь+г = ~(хь+г) = ~ (хь) = д(хь), где явный вид функции д есть д(х) =16 з(х — хз — 4 ха+8 з — 4дх4). График этой функции показан на рнс.
2.28, а два выделенных квадрата поясняют тот факт, что в них воспроизводится картинка, представленная на рис. 2.26. В дальнейшем все повторяется. Функция д(х) теряет устойчивость прн 44 = дз = (1+ ~76)/4 = 0.86237... Далее рассматривается функция Ь(х) = д (х) = 7' (х), представленная на рис. 2.29. Квадрат иа рисунке снова показывает, что вблизи каждой устойчивой точки воспроизводится ситуация рисунка 2.26.
2.6. СУБГАРмоннчяСКИЙ КАСКАД ,у'(х) а< ее еа х ал ю ез еа Рис. 2.29. Рвс. 2.28. Функция Ь(х) становится неустойчивой при д = дз = 0.875 и т.д. Каждый раз имеет месть бифуркация удвоения периода (период цикла удваивается). Фейгеибаум обнаружил два закона подобия, характеризующих субгармонический каскад. Во первых, он показал, что последовательность 1ц быстро сходится: ц,„, = 0.892486418..., н существует предел Бш =б.
з ~ Н1+з Из Важно, что величина Ю не зависит от конкретного вида функции 2'(х) (любая выпуклая, непрерывная, диффереицируемая функция с одним максиьгумом) и равна д = 4.6692016091... Это первый закон подобия. Второй закон подобия касается положения Устойчивых точек. На рис. 2.30 схематически показана структура решений Уравнения (2.22). Рассматриваются точки пересечения с прямой х = 0.5 до ближайшей к ней точки на устойчивом 2"-цикле. Для соответствующих Расстояний И„справедливо соотношение йш — = — а, А, и аа 4,~.з 2.7. НекотОРые пРимеРы 79 Отметим, что в результате бесконечной последовательности бифур„яций удвоения при 7т = р возникает бесконечное множество (апракор ФейгенбаУма), котоРый имеет РазмеРность ХаУсдоРфа 11 = 0.548 Важно, что при всех р ( р показатель Ляпунова отрицателен, стремясь прн р — ~ р, к нулю.
Следовательно, аттрактор Фейгенбаума не является странным. Хаос возникает при д > р, где показатель Ляпунова в основном положителен. Поведение в этой области достаточно сложное. Хаотические области чередуются с «окнами периодичностия (светлые зоны на рис. 2.31). 2.7. Некоторые примеры 2.7.1. Система Лоренца д,о, + о,д о„+ с,д,с, = — р 'д Р+ иапо„ дго, + о,д,е, + о,д,с, = — р ~д, Р + иапо, + ддТ, дгТ+ с„д Т+ о,д,Т = ХЬТ, д,о, +д,о, = О. (2.23) Д фу — дгд,ф+ д,фд„гр — д,ь~д„ф = — р ~д Р— иод,и', д,д,ф — д,1дд„ф — д фд,Ф = — р 'д,Р+ иод,4+ ддТ, д,Т вЂ” д,~дд,Т+ д,~>д,Т = хЬТ, Рассмотрим свойства простой динамической системы, описывающей конвективные течения в задаче Релея о конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое несжимаемой жидкости.
Эта система стала одной из наиболее известных динамических систем, иллюстрирующих переход к хаосу и возникновение странных аттракторов. Начнем с процесса получения конечномерных проекций уравнений движения жидкости и перехода к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Учитывая общепринятый вид системы Лоренца, мы сохраним единицы размерности и обозначения его работы 160). Как и в описанной выше задаче Релея, рассматриваются только плоские движения жидкости (коллективные валы), Вектор скорости имеет две компоненты ч = (о, О, с,), и уравнения Буссинеска (1.25), записанные покомпоненгно, имеют вцц ГЛАВА 2 и после обычной процедуры дифференцирования первого и второго уравнений, соответственно, по з и по л и вычитания первого нз второго получаем дс йф.
+ (ф, Ьф) = иЪ б ф + ддд,Т, д1Т+ (Я, Т) = хЬТ, (2.24) где для упрощенна записи использованы скобки Пуассона: (А,В) = д Ад, — д,Ад В. Учитывая линейную зависимость равновесной температуры по высоте„ представим температуру в виде суммы Т = 0 — 0зТз(И, где 0 есть отклонение температуры от линейного профиля. Тогда д,Ь4+(ч',Аф) = иЬЬ4+ддд,д, д,д+ (ф,д) — Ь-'Атд,ф = уМ. (2.25) ф = 2Ц~ = 0 = О. Дальнейший путь состоит в том, что функция тока и температура раскладываются в двойные ряды Фурье с зависящими от времени коэффициентами ф(х,я,т) = ~~ ф„„Язш(яглх(Ь)аш(япз(Ц, 0(х, г, г) = ,'~ д„с,(т) соа(ягпз(Ь) з1п(коз(Ц. Подставляя зги разложения в уравнения и приравнивая козффициенты прн одинаковых функциях от з и з, получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений для козффвциентов ф„,в(з) и 0„(с). Отличительной особенностью модели Лоренца является то, что в разложениях оставлено минимальное число членов, сохраняющих нелинейность системы, а именно, один член из ряда для функции тока и два — для температуры.
Этот выбор был обусловлен результатами численных исследований конечномерных систем, проведенных Сольцменом [73), в которых бьио показано, что при некоторых значениях параметров системы действительно возникают режимы, при которых все остальные переменные стремятся к нулю, а поведение трех оставшихся характеризуется нерегулярными непериодическими колебаниями. 2.7.
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ Следуя Лоренцу, сразу оставим в разложениях толыго этн три чле„а, обозначив амплитуды соответствуюшнх мод как Х, У и Я. Отметим, о при этом используется не совсем обычный способ обезразмеривания, в том смысле, что в единицы измерений входат критические параметры. За единицьг измерения пРиняты величины: длины — гг, времени — т = — Ьз/(яз(1+ аз)Х), функции тока — /гз/т, температуры — дгТ. Вводится обозначение 6 = 4/(1+ аз) и нормированное число Релея и а/зтиз а Я~ Х 4(1+, 2)3 есзразмерная система уравнений примет вид дггзг/г+ (г/г,/Цэ) = (4я~) гггбЬ/тг/г+4ггт(Ба ) гд,д, (2 26) д,д+(ф,В) =д.ф+(4 2)-гбг26. (2.27) В этн уравнения подставляются разложения для функции тока и для температуры в виде ф = Х(2)т/2(я~а) г яш(ггах) я1п(ля), д = (ят) г [У(1)т/2 соя(лах) яш(лх) — Я(Ф)я1п(2лз)1.
В уравнении (2.26) скобки Пуассона равны нулю н простые преобразования приводят к уравнению (производная по времени обозначена точкой) Х = и(У вЂ” Х). Уравнение (2.27) дает Ут/2 соя(л'ах) я1п(лз) — Я я1п(2яз)~ + [ + Хт/2 соя(ггах) я1п(лг) [Уъ/2 соя(ггах) соя(ля) — 2Ясоя(2лз)) + + Хчг2 япфгах) соя(ля)У~Г2 яш(яах) яш(л.з) = + ХГ2т соя(лах) я1п(яз) — УТ/2 соя(яах) япфгя) + (гамаш(2ля). Учитывая, что сумма слагаемых, содержашнх произведение ХУ, дает ХУ я1п(2лг), уравнение можно упростить: У вЂ” тХ + У1 соя(лах) я!П(ял) — 2ХЕ соя(яах) я1п(яз) соя(2ля) = [ = 2 г/2 [Я вЂ” ХУ+ ЬЯ] яш(2ля).
ГлАвл 2 Это уравнение разделяется на два путем последовательного умножения на аш(яя) и на аш(2яя) и интегрирования по координате я. Такам образом, система уравнений для амплитуд трех выбранных мод выглядит следующим образом: Х = ст(1т — Х), Ф = -Хг+ Х -1; (228) г = Ху — ЬВ. Напомним, что система (2.28) имеет отношение к реальным конвективным движениям только при небольших надкритичностях (относительное число Релея не намного превосходит единицу). Несмотря на зто, поведение этой системы оказалось интересным само по себе, и многочисленные численные исследования ее свойств проводились в очень широком диапазоне параметра т. В вычислениях обычно используют число Прандтля с.
= 10, а параметр Ь = 8/3, что соответствует результату Релел для критического значения а = 1/л/2. Уравнения (2.28) имеют тривиальное решение Хо = 1'о = Яо = О, отвечающее отсутствию конвекции. Проверим это решение на устойчивость. Для этого представим все три переменные в виде Х=Хо+хе-лс У Ро+Уе-лс У=Во+ля лс (229) считая х, у, з малыми возмущениями.
(2.29) подставляем в (2.28) и отбрасываем нелинейные по малым возмущениям члены. В результате, после сокращения на экспоненты, получаем линейную алгебраическую систему (Л- )х+ у=О, тх+ (Л вЂ” 1)у = О, (Л + Ь)я = О. Решая задачу на собственные значения, приравниваем нулю определитель системы и получаем Л = 0.5 [(ст+1) х Видно, что прн т > 1 один из двух корней становится отрицательным, то есть в точном соответствии с результатом Релея (иначе н быть не может) при т = 1 возникает яонвеятивное движение.
2.7. Нвкототын П~имн ы 83 2НТ 1 13.93 24,0б 24,94 30 01 99,52 145 214 Рнс. 2.32. Система (2.28) имеет и нетривиальное решение Х = 1' = ж Ят — 1), Я = т — 1. (2.30) в олпом из корней которого появляется отрицательная действительная часть прн <т(о + Ь + 3) т= о — Ь вЂ” 1 Прн о = 10, Ь = 8/3 это выражение дает значение т = 24.74.
В этой точке имеет место субкритическая бифуркацня Хопфа. Особенность поведения У переменных Х и У действительная часть появляется при т > 1. Таким образом, в точке т = 1 имеет место нормальная бифуркация вилки и появляется два устойчивых решения, соответствующих стационарной валиковой конвекцни с пропшоположным направлением вращения конвекгивных валов (рис. 2.32). Повторяя линейный анализ устойчивости для решения (2.30), приходим к кубическому уравнению Лз — (гг+ Ь+ 1)Л + (т+ гг)ЬЛ вЂ” 2оЬ(т — 1) = О, Глава 2 системы Лоренца в том, что устойчивый предельный цикл не возникает в ней вовсе (ниюмвим, что, согласно сценарию Рюзля-Таккенса, странный атграктор возникает после двух бифуркаций Хопфа) и странный аттракто возникает сразу после первой (обратной) бифуркации Хопфа актер Бифуркационная диаграмма представлена на рис.
2.32. Следует отметить, что «чистьпЪ> странный атграктор существует в небольшом интервале числа Релея 24.06 < г < 30.1. Обратим внимание и на то, что на левом краю этого интервала сущеспзует гистерезис — ири понижении числа Релея странный аттрактор существует до т = 24.06, а не до г = 24.74. Левее этой границы в интервале чисел Релея г > 13.93 существует область так называемого мевшсмабильного хаоса.
В этой области малые возмущения стационарного решения монотонно затухают, ио большие возмущения приводят к хаотическим режимам, которые в конечном итоге также затухают, но успевают при этом выписать в фазовом пространстве многочисленные хао- П иг тические петли, напоминающие поведение системы на странном а..~ —..„акторе.
ри г > 30.1 диаграмма режимов представляет собой чередование обаастей с хаотическим и периодическим движениями, наюминая поведение отображения Фейгенбаума в области д < д < 1 (рис. 2.31). Появлению области с периодическим атгракгором предшествует обратный каскад, а само окно периодичности включает субгармоническнй каскад. Число окон периодичности, по-видвмому, бесконечно, и при больших числах Релея вх ширина растет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
