П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1.14 — 1.15. Рис. 1.15. Рвс. 1.14. В завершение упомянем еше один эффект, характерный для магнитной гидродинамики. Речь пойдет о магнитогнлродинамических волнах, открытых Альфвеном и носящих его имя. Рассмотрим простейшую ситуацию— Ракомандгвмля литамтгщ к паевой глава бесконечную однородную идеальную проводящую жидкость, пронизанную однородным магнитным полем Ве, направленным вдоль оси г, и запишем линеаризованные уравнения для малых возмущений скорости ч и магнит- ного поля Ь д1ъ'= (ррор) '(Вс '7)Ь, дзЬ = (Во .
Ч)ч. (1.35) (1.36) учитывая, по Во = (О, О, Во), уравнения (1.35)-(1.36) можно записать в виде дзи = (ррор) 'Вод Ь, дзЬ = Вод,ч. (1.37) (1.38) Последний шаг — разделение переменных, дает уравнения дгч = игдгч, а (1.39) (1.40) Рекомендуемая литература к первой главе (1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Гидродинамика. Мг Наука, 1988. 736 с. (2] Лойцянский Л. Г. Механика жидкости н газа. Мг Наука, 1978. 736 с. (31 Кауливт Т. Магнитная гидродинамика. Мз Атомиздат, 1978. 142 с. (4] Гершуни Г.3., Жуховицкий Е.М. Коивективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.
392 с. (5] Валандер С.В. Лекции по гилроаэромеханике. Лг Изд-во Ленингр, ун-та, 1978. 296 с. (6] Ван-Дайк М Альбом течений жидкости и газа. Мг Мир. 1986. 182 с. описывающие две зруппы волн, бегущих со скоростью ~и, вдоль силовых линий магнитного поля. Величина и, = Вс(рдор) з7г есть скорость волн Альфвена. Простейшим решением является плоская волна ч = = чсей ' ь'1, Ъ = Ьсей ' "'1. Подставляя его в (1.39)-(1.40), легко видеть, что Ьг/(дср) = рог, то есть соблюдается равенство энергии пульсаций поля и энергии пульсаций скорости. ГЛАВА 2 Хаос в динамических системах Турбулентные течения представляют собой системы, характервзукнциеся наличием хаотически распределенных и хаотически осциллирующих структур самого различного масштаба. Турбулентность — это воплощение хаоса, а хаос долгое время ассоциировался с системами, имеющими огромное число степеней свободы, и развитая турбулентность считалась лишенной какого-либо порядка.
Однако, начиная с конца 60-х годов двадцатого века, наметился значительный прогресс в понимании природы турбулентности, связанный с осознанием природы и структуры хаоса. Во-первых, была установлена возможность хаотического поведения в нелинейных системах с совсем небольшим числом степеней свободы. Интересно, что впервые хаотическое поведение в простых гамильтоновых системах обнаружил А.
Пуанкаре около ста лет назад, но только после работы Э. Лоренца (1963 г.) (60), в которой исследовалось хаотическое поведение диссипатввной системы нз трех обыкновенных дифференциальных уравненвй первого порядка, было оценено значение этого факта и началось активное исследование хаотического поведения динамических систем. Правда, произошло это тоже не сразу, а только после ключевой работы Д. Рюэля и Ф.
Таккенса (1971 г.) (72), в которой было сформулировано понятие странного атгракгора н указана его роль в формировании нерегулярного поведения системы. Во-вторых, было понято, что даже в самом развитом турбулентном потоке существуют элементы порядка, а число реально возбужденных степеней свободы значительно меньше ожидаемого. В 70-х годах появляются многочисленные рабаты о когерентвых структурах в турбулентных потоках и делаются первые попытки описания турбулентности на языке фракгалов. Именно в это время сформировались такие науки, как теория катастроф и синергетика, появились первые книги о «детермивнрованном хаосе» и «порядке в хаосе». Важно подчеркнуть, что обычно рассматриваемые в этих книгах проблемы динамических систем невысокого порядка не имеют прямого отношения к развитой турбулентности.
В них речь идет о хаотическом 2.1. Консагиативиыв и диссиплтивиыа систвмы 49 во времени повелении небольшого числа заданных в пространстве мод (такие течения реально существуют при небольших надкритичностях, то есть вблизи порога неустойчивости), в то время как «истннная» турбулентность хаотична н в пространстве, и во времени. Тем не менее, рассматриваемые в качественной теории динамических систем вопросы чрезвычайно полезны как для понимания путей развития турбулентных течений (сценариев перехода к хаосу), так и для отработки методов описания хаотических (в том числе и турбулентных) систем.
Необходимо остановиться на самом понятии «детерминированный хаос». Под ним понимают нерегулярное поведение нелинейных систем, эволюция которых однозначно описывается динамическими уравнениями при заданных начальных условиях. Прн этом нелинейность является необходимым, но не достаточным условием возникновения хаотического поведения, а его возникновение связано не с наличием источников шума нли бесконечного числа степеней свободы, а со свойством нелинейных систем экспоненцнально быстро разводить решения в ограниченной области фазового пространства.
В данной главе мы остановимся на базовых понятиях теории динамических систем, рассмотрим основные виды бифуркаций и основные сценарии перехода от упорядоченного движения к хаосу. Мы подробно разберем свойства системы Лоренца, не только сыгравшей важнейшую роль в становлении науки о хаосе, но и имеющей самое прямое отношение к теме нашего курса, Далее мы приведем пример еще одной динамической системы, имеющей отношение к гидродинамическим системам, — это простейшая модель земного динамо Рикнтаке. В завершение будут приведены некоторые результаты лабораторного исследования стохастизации конвективного движения в замкнутой полости.
2Л. Консервативные и диссипативные системы Любые лвижсния можно разделить на монотонные и колебательные, а колебательные, в свою очередь, на регулярные (периодические) и нерегулярные. Среди периодических колебаний наиболее изучены гармонические колебания. Это вполне естественно, тш< как гармонические колебания чрезвычайно широко распространены в самых различных системах, а также потому, что любой колебательный процесс с помощью преобразования Фурье может быть представлен как сумма гармонических колебаний.
Не удивительно, что знакомство с динамическими системами традиционно начинают с рассмотрения простого осциллятора 50 ГЛАВА 2 Рассмотрим хорошо известный со школьной скамьи математический маятник — точечное тело массой гп, подвешенное на стержне длиной 1 н находящееся в поле силы тяжести, характеризуемой ускорением свободного падения д (рис. 2.1). Маятник имеет одну степень свободы, описываемую углом отклонения от вертикали В. Основной закон механики приводит к уравнешпо, которое в цилиндрических координатах имеет вид В+ (д/1) з1лд = О. (2.1) Для малых упювых отклонений, когда зш В В, уравнение (2.1) становится линейным уравнением Рвс.
2.1. В'+ (д/1) В = О, (2.2) решением юторого яввпотся гармонические колебания В = Во аш(~А + атее) с круговой частотой ы = З/д/й 2.1.1. Фазовое пространство Состояние маатвнка в любой момент времени полностью задается двумя величинами: положением В(8) и упювой скоростью В(г). Если мы введем систему координат, осями которой будут служить эти две величины, то точка на плоскости (В, В) будет полностью характеризовать состояние системы, а любому решению будет соответствовать та или иная линия (траектория). Фазавае пространство определим как пространство, в котором осями координат служат переменные, описывающие состояние системы, в случае осциллятора — положение и скорость. Фазовой траекторией называется кривая в фазовом пространстве, описывающая эволюцию системы. Совокупность фазовых траекторий, описывающих эволюцию системы при различных начальных условиях, образует фазовый портрет системы.
На рис. 2.2 приведен фазовый портрет маатника. Картина периодична по оси В с периодом 2я. В области применимости уравнения (2.2) фазовые траектории представляют собой окружности с центрами в точках В = О, В = ~2яп, и — целое число. Эти кривые соответствуют гармоническим колебаниям, частота которых не зависит от амплитуды. С ростом амплитуды колебаний траекгории принимают эллиптическую форму и период колебаний растет.
Если энергия колебаний превьппает величину 2д/1, то 51 2.1. КОНСЕРВАТИВНЫЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ Рлс. 2.2. колебания переходят во вращения вокруг оси. Траектории, точно соответствующие этому значению энергии, проходят через верхнее, неустойчивое положение равновесия, и период колебаний стремится к бесконечности. Эта траектория разделяет области фазового пространства с различным характером поведения (колебания и вращение) н является сепаратрисой. Стрелки на рисунке указывают направление движения. 2.1.2. Консервативные системы Маятник, описываемый уравнением (2.1), сохраняет энергию.
Действительно, Е = то~/2+ тд((1 — соед) = пз(~[В~/2+ (д/))(1 — созд)~ и г)сЕ = т( [В+ (д/1)ашд))В = О. (2.3) Это означает, что линии на рис. 2.2 можно интерпретировать как линии равной энергии. Энергия с точностью до множителя совпадает с функцией Гамильтона, а уравнение (2.1) приводится к системе уравнений первого порядка В=ВРН~ Р=ВРН здесь Н(р, В) = р /21+ д(1 — соя В) и р = 1В. Таким образом, рассмотренный маятник относится к гамильтоновым системам, которые, как известно, консервативны. 52 Глава 2 Из консервативности (сохранения энергии) следует одно очень важное свойство — сохранение площадей (в общем случае — объема) в фазовом пространстве. Элемент объема в фазовом пространстве можно рассматривать как множество начальных условий. В процессе эволюции это множество преобразуется в другой элемент фазового пространства (каждая точка следует своей фазовой траектории), объем которого должен оставаться постоянным.
Следует подчеркнуть, что сохранение объема не подразумевает при этом сохранения формы, так как сохранение обьема может достигаться двумя различными способами. В первом случае элемент фазового объема переносится вдоль траектории практически без деформации. Во втором случае происходит экспоневциальное удлинение обьемв в некотором направлении с одновременным сжатием в перпендикулярном направлении (также экспоненциальным). Хотя фазовый обьем сохраняется в обоих случаях, поведение системы отличается принципиально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
