П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Такое явление называется гкплерезисом и хорошо известно в самых различных областях физики и механики. 2.3. Как описать переход и хаос? 2З.1. Сечения Пуанкаре Идея метода Пуанкаре состоит в снижении объема обрабатываемой информации при изучении поведения фазовых траекторий путем рассмот- 2яе КАК ОписАть пеРехОД и хАОс? 59 Рения лишь дискретного ряда точек на траектории.
Реализуется эта идея путем выбора некоторой (вообще говоря, произвольной) плоскости в фазовом пространстве и наблюдения за точками пересечения этой плоскости фазовыми траекториями. Метод поясняет рис. 2.10, где для трехмерного фазового пространства показаны точки пересечения плоскости фазовой траекториеи (причем фиксируются только точки, в которых траектории пересекают плоскость в одном направлении, в данном случае сверху вниз). Множество точек пересечения Р, образуют сечение Пуанкаре, а пре- образование, связывающее последу- ющую точку с предыдущей, Хз Рьь! = Т(Р!) (2.7) называется отображением Пуанка- ре.
При переходе от фазовых траекторий к сечению Пуанкаре происхо- Хг диг снижение размерности исследуРис. 2.! О. емого множества. При этом рассматривается не система дифференциальных уравнений с непрерывным временем, а отображение (2.7) с дискретным временем, и дифференциальные уравнения заменяются разностными. В то же время, сечение Пуанкаре сохраняет топологические свойства породившего его потока. Так, для консервативной системы сечение сохраняет, а для диссипативной— l ~) сокращает площади на плоскости Я.
Если решение системы периодическое, характеризуемое частотой Гм то фазовая траектория представляет собой замкнутую кривую и сечение Пуанкаре представля- .--, с ет собой в простейшем случае одну елин- Б ственную точку (или несколько точек, если тРаектория очень извилистая и/вли неудачно выбрана плоскость сечения). Если в ре- / шенин появляется вторая частота (з и аттрактор представляет собой двумерный тор, то точки в сечении Пуанкаре ложатся на замкнутую кривую, которая может иметь или Рнс. 2.!! 60 ГЛАВА 2 не иметь точек самопересечення (рис. 2.11).
При этом точки могут образовывать на этой кривой конечное множество, если отношение частот,~г/.Гз рационально и фазовая траектория представляет собой замкнутую линию, или покрывать кривую непрерывным образом, если отношение частот иррационально. Посмотрим, как выглядит проблема устойчивости периодического решения с точки зрения отображения Пуанкаре. Вопрос состоит в том, являетсл ли замкнутая траектория устойчивой по отношению к малым возмущениям.
Иначе говоря, нужно узнать, как изменится положение точки Р на следующем шаге, если на данном шаге внести возмущение в ее положение. Ограничиваясь линейным анализом устойчивости, для описания отображения Пуанкаре Т(Р) вводят матрицу М=Р,Т,), (2.8) называемую матрвцей Флокс.
Эта матрица характеризует реакцию отображения Т вдоль координаты з на возмущение вдоль координаты з1 Устойчивость никла определяется собственными значениями матрицы (2.8). Смещение траектории на следующем витке экспоненциально убывает со временем, если все собственные значения лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости. Ели же какое-либо собственное значение становится по модулю больше единицы, то смещения растут со временем и цикл становится неустойчивым. Изучение свойств матрицы Флокс позво1т лает не только определить, устойчив или нет предельный цикл, но н узнать вид бифуркации, соответствующей потере устойчивости. Потеря устойчивости, как уже отмечалось выше, -1 +1 происходит при пресечении модулем собствен() яе ного значения единичной окружности.
Это пе- ресечение может происходить тремя разлнчныСь 1Р ми способами (рис. 2Э2). В первом случае собственное значение действительно и пересекает окружность в точке +1. Этот переход соответствует бифуркации узел-седло, означающей, чю появляется одно неустойчивое направление н периодическое движение разрушается. Во втором случае собственное значение также действительно, но пересекает окружность в точке — 1.
Момент перехода соответствует ситуации, когда траектория через раз снова попадает в прежнюю точку. Это так называемая бифуркацня удвоения периода (субгармоническая бифуркации). 2.3. КАК ОписАть пеРехОД и хАОсо 61 Она может быть нормальной и обратной. При нормальной субгармонической бифуркации решение заменяется новым устойчивым периодическим решением с удвоенным периодом (см. параграф 2.6), при обратной бифуркации возникает временная перемежаемость, когда долгие интервалы почти периодического движения сменяются хаотическими осцилляциями. Третий тип перехода возникает при комплексных собственных значениях. В этом случае пара комплексно-сопряженных значений одновременно пересекает единичную окрулсность. Этот переход отвечает бифуркации Хопфа 1возникает блуждание траектории вокруг устойчивой прежде точки).
Если бифуркация нормальная, то предельньш цикл переходит в тор, если обратная, то вновь возникает перемежаемость. 2.3.2. Показатели Ляпунова Теория Флаке рассматривает устойчивость замкнутой фазовой траектории, интересуясь при этом только поведением всего цикла в целом. Можно поставить вопрос и о локальной устойчивости траектории, независимо от того, является ли она замкнутой нли нет. Иначе говоря, речь идет о характеристике скорости расхождения (схождения) начально близких траекторий в фазовом пространстве. Количественной мерой расходимостн траекторий являются показатели Ляпунова.
Чтобы ввести показатели Ляпунова, необходимо рассмотреть эволюцию малого возмущения 6Х(в) фазовой траектории Х(г). Интегрируя численно исследуемую систему уравнений, можно построить матрицу М, связывающую вектор возмущений в момент времени 1+ й с вектором в момент времени й 6Х,(1+ 61) = М„(61)6Х,.Я.
Лля и-мерной системы матрица М будет иметь размерность пз и и собственных значений. Траектория устойчива, если модули всех собственных чисел меньше единицы 1или показатели степени при экспоненциальном представлении собственных чисел отрицательны). Иа практике интерес представляет наиболее опасное направление и обычно определяется только один, самый боль- Рис. 2.13, шой показатель Ляпунова. Исходя из того, что на конечных временах возмущенная траектория уходит в самом неустойчивом направлении, практи- 62 Гш л2 ческое определение первого показателя Ляпунова можно реализовать по следующей схеме (рис.
2.13). В точке Х(г) на заданной траектории вносится возмущение ЮХ(г), отстоящее на расстояние лс от основной траектории (рис. 2.13). Решая далее исследуемую систему уравнений для невозмущенного и возмущенного решения, вычисюпот расстояние между траекториями с(г) через промежуток времеви т. Далее, возмущенную точку снова устанавливают на расстоянии Но от основной траектории, но так, что она остается в том направлении от точки Х(1+ т), что было получено в результате вычислений возмущенного решения.
Таким образом, на каждом шаге вычисляется скорость расхождения траекторий в наиболее опасном направлении. Считая, что расхождение траекторий подчиняется экспоненциальному закону с(г + т) = Исе"'~, и многократно повторяя эту процедуру, првходнм к следующей формуле для вычисления первого показателя Ляпунова: 4 Лг = йш — у 1п — '. , шт дс ь=г 2З.З. Спектры Фурье Анализ Фурье играет особую роль при исследовании не только периодических, но также квазипериодических и стохастических сигналов. В контексте задач, рассматриваемых в этой главе, он интересует нас как инструмент, позволяющий отличать периодические режимы от стохастическнх, но значение метода Фурье в изучении проблемы турбулентности этим не исчерпывается.
В дальнейшем мы увидим, насколько он полезен при численном исследовании турбулентных потоков и при обработке результатов измерений. Основные свойства преобразования Фурье можно найти в главе 10. Действительную функцию 2 (г) можно представнп интегралом Фурье, +СО если для нее существует интеграл ) ~~(1)~й. Тогда ~(1) ~(~~)езжнФД~~ Дл) У(1)е — эть'$<Ц (2.9) Здесь у(и) есть фурье-образ функции у(й), и — частота (будем также пользоваться круговой частотой ш = 2яи). Отметим, что когда речь идет о пре- 2,3. Кхк Описьть пвгеход и хАОс? 63 образовании Фурье от функции координат ?'(к), то в преобразовании вместо частот появляются волновые числа 1с и у (й = 2я"у, в полной аналогии с частотами).
Для сигнала Дс) можно ввести корреляционную функцию (автокорреляцию) С(г) = 1пп 1 1(т)Д(с+т)Ж. (2.10) о Корреляционная функция (2.10) есть среднее произведение двух значений сигнала, сдвинутых на величину т, и характеризует степень зависимости текущего значения сигнала от его предыдущих значений. Спектральной плотностью сигнала Дг) называется функция г'(и) = = ~Ди) ~~.
Связь спектральной плотности с автокорреляционной функцией устанавливает теорема Хинчина -Винера: Е(и) = / С(т)е з"*" дт. (2.11) гйпк ( — — и) / г ю= ~:х. и=-со к ( — — и) (2.12) Другими словами, теорема Котельникова устанавливает предельную частоту, которая может быть определена по сигналу, регистрируемому с шагом Ьт Остановимся на том, как выглядят спектры различных типов сигналов. Начнем со случая, когда функция ? (~) есть периодический сигнал с лериолом Т.
В простейшем случае это гармонический сигнал (синус или Следует отметить, что обрабатываемые сигналы представляют собой, как правило, последовательность дискретных точек (по крайней мере, сигнал становится таковым на этапе ввода в цифровую вычислительную машину). В этом случае приходится иметь дело с конечной выборкой и важной становится теорема Котельникова, утверждающая, что функция Дг), спектр которой ограничен конечным интервалом частот — и„, ( и ( и однозначно определяется выборкой на дискретном множестве точек с шагом Ьг = 1/2ьь„„.
Точнее говоря, функция ?'(1) восстанавливается по конечной выборке ?'„= 2(иЬ1) с помощью соотношения ГЛАВА 2 косинус) и его спектр состоит из одной ненулевой компоненты с частотой 1(Т. Для периодичесюго сипшла другой формы в спектре появляются кратные гармоники (с частотами 2(Т, 5(Т, 4~Т, ...) (рис. 2.14). 0 1гТ 2/Г УГ Вгзгг Рис. 2.15. Более сложна вьплядит спектр ква- У зипериодического сигнала.
Как уже ука- зывалось выше, атграктор квазипериоРнс. 2.!4. дичесюго движения представляет собой тор размерности о. Это означает, что у фуйкции существует о аргументов, по юторым функция периодична с соответствующими периодами То В общем случае спектр квазипериодического движения может иметь довольно сложный вид.
Просто он выпшдит только тогда, когда сигнал есть суперпозиция периодических функций и спектр, в силу линейности преобразования, представляет собой сумму спектров отдельных периодических функций. Если квазипериодическая функция есть нелинейная комбинация периодических функций, то ее спектр содержит комбинационные частоты типа пзиз + + пав~+... + изид. На рис. 2 15 показаны два спектра квазипериодических сигналов с двумя частотами ит и вз. При зтом на рис. 2.15а показан случай, югда отношение частот есть величина иррациональная, а на рис. 2.15б зто отношение рационально и равно 2/3. Во втором случае все пики в спектре соответствуют гармоникам с частотами, кратными разнОсти частот (из — в1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
