П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из условия Л = О получаем На, = к а (а + и ) . Рис. ! . 13. Глана 1 Так как требуется найти самые опасные возмущения, то нужно определить соответствующие значения а и п. Дифференцирование по а дает д В 2 4 -3( 3+ з)зр 3 3) и ас тт/т/2~ Вв~ (27/4)я~~п Самые малые критические значения появляются при и = 1, что соответ- ствует одному слою конвекгивных валов. Следовательно, а, = 1/т/2, Ва, = (27/4) а ~ = 667, 6.
Внд нейтральной кривой показан на рис. 1.13. 1.5. Магнитная гидродинамика Магнитная пщродинамика (для краткости будем пользоваться широко распространенным сокращением МГД) изучает движение жидкостей, обладающнх хорошей электрической проводимостью. Специфика течений таких жидкостей обусловлена протекающими в жидкости электрическими токами и связанными с ними магнитными полями. Основные эффекты, определяющие особенности МГД-течений, хорошо известны из курса общей физики.
С одной стороны, это сила Лоренца, действующая прн движении проводящей среды в магнитном поле на содержащиеся в ней свободные заряды и приводящая к разделению зарядов и возникновению электрических попей. С другой стороны, это закон Ампера, согласно которому на проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила. Однако, в отличие от известных со школьной скамьи канонических ситуаций, электрические токи протекают не в ограниченных проводниках, а в сплоптной среде, элементы которой могут двигаться относительно друг друга Уравнения маппггной гидродинамики включают в себя уравнения движения жидкости, дополненные слагаемыми, описывающими действие электромагнитных сил, уравнения Максвелла и закон Ома для движущейся среды.
Мы ограничимся написанием уравнений для несжимаемой изотермической жидкости (отметим, что сжимаемость становится существенной наряду с проводимостью при рассмотрении движений плазмы) д,ч+',чЧ)ч = — р тЧР+ иЬч+ р, сйчт = О, 1.5. Магнитика гидгодинлмикл 43 где Е = (3 х В)/Р 3 — плотность электРического тока,  — векгоР магнитной индукции. Уравнения Максвелла для неподвюкной среды имеют следующий вид: гоСЕ = — д~В, гбила = с, О = слоЕ, 3 = пЕ, гоСН = дго+3, г(1н В = О, В=пр,н, госЕ = — дгВ, гоСВ = щц~3, 3 = о(Е + к х В), г(1ч В = О.
Первые три уравнения с учетом солсноидальности магнитного поля (четвертое уравнение) нс сложно преобразовать в уравнение индукции магнитного поля в движущейся среде, которое имеет внд а,в = С(к х В) + и„ЛВ, глс и = 1/рроо есть величина, называемая магнитной вязкостью. Приведем также уравнения МГД, записанные в симметричной форме лля скорости и магнитного поля. Для этого исключим из уравнения движения плотность электрического тока, преобразовав силу Р = р г(3 х В) = (рцпо) (гоСВ х В), н воспользуемся известной формулой векторного анализа гоС(а х Ь) = (Ь т7)а — (аз(7)Ь+ а(%'Ь) — Ь(туа).
В результате получим д~и+(т'и)и = (рррс) (ВС7) — -~7(Н ) — р ~С1Р+ игл. 2 д,В + (к~7)В = (В~7)и + и ЬВ. где, как обычно, Е н Н вЂ” напряженности электрического н магнитного полей, П вЂ” вектор электрического смещения, й — объемная плотность электрического заряда, с — электрическая проводимость среды, г и р — относительные электрическая н магнитная проницаемости, ес н цо — постоянные. Уравнения можно упростить за счет обычных для магнитной гидродинамики предположений, состоящих в том, что токи смещения малы (процессы медленны) и среда электрически нейтральна.
В то же время закон Ома следует дополнить силой Лоренца. Тогда Глава 1 Теперь проведем обезразмеривание уравнений, выбрав за единицы измерения длины, свэросги, времени, давлении и индукции магнитного поля величины Ь, У, Ь/У, рУз и ь7(ррро) Ь з соответственно: дьч+ (чЧ)ч — (В17)В = — ч(Р+ Вз/2) + К тгзч, дьВ + (ч%') — (В~7)ч = Пш ~ЬВ, Т7ч = О, %'В = О. (1.30) (1.31) (1.32) (1.33) Здесь В. = БУ/и есть уже знакомое нам обычное «гидродинамическое» число Рейнольдса, а Влп = ЬУ/и есть его магнитогидродннамический аналог, называемый магнитным числом Рейнальдса. Эти два параметра связаны магнитным числом Працлтля (отношение кинематнческой вязкости к магаитиой).
Отметим, что магнитное число Рейнольдса можно рассматривать как отношение наведенного магнитного поля 6 — ддойу = адроШВо к характерному значению индукции внешнего магнитного поля Во. Это означает, что магнитное число Рейнольдса характеризует роль наведенных магнитных полей. Приведем и ряд других безразмерных параметров, используемых в магнитной гидродинамике.
В уравнении движения (1.30) слагаемое, описывающее действие инерционных снл, имеет порядок рУ /Ь; сил вязкости— риУ/Х з. Электромагнитные снльз могут быть обусловлены приложенными (внешнимн) электрическими полями н полями, наведенными самой движущейся жидкостью. Отношение приложенного и наведенного движением жидкости полей характеризует параметр нагрузки К = Е,/(/Во. При малых значениях параметра нагрузки К электромагнитные сипы в уравнении движения имеют порядок à — уВс — обоз. Порядок отношения электромагнитных н вязких снл определяет тогда квадрат числа Гартмми аВо| ри а порядок отношения злектромапппных и инерционных — параметр М17(-взаимодействия аВозЬ рУ 45 К5. МАГНИтихл гнлгпдинхмихх Специфика МГД-течений определяется тем фактом, что проводящая жидкость при своем движении увлекает за собой магнитное лоле.
В пределе идеально проводящей ящлкости это приводит к «вмороженности» магнитного поля в жидкую среду. Чтобы пояснить этот эффект, обратимся к уравнению индукции в форме (1л0) н запишем его в переменных Лагранжа для нулевой магнитной вязкости (это и есть идеальная электрическая проводимость) 4В = (Вту)ч. Рассмотрим некую линию, перемешаюшуюся вместе с жидкостью.
Пусть б1 есть элемент этой линии. Тогда его деформация будет определяться разностью скоростей на его концах, то есть 461 =- (йЯ)к. Таким образом, изменение во времени для векторов В и б1 определяется одинаковыми уравнениями. Это означает, что если этн векторы совпадали в начальный момент времени, то оии будут совпадать и во все последующие моменты времени. Иначе говоря, если две жидкие частицы лежат на одной силовой линии магнитного поля, то они останутся на этой линии и в дальнейшем, а индукция магнитного поля будет изменяться пропорционально расстояншо между этими частицами. Течение Гартмана.
В качестве примера влияния магнитного поля на характер течения рассмотрим течения проводяшей жидкости между лвумя пластинами, помещенными во внешнее магнитное поле, перпендикулярное к поверхности пластин. Если индукцня магнитного поля равна нулю, то в зазоре между пластинами устанавливается параболический профиль скорости в соответствии с решением Пуазейля. По мере нарастания поля в слое начинает вырабатываться электродвижушая сила, вызываюшая электрический ток в плоскости слоя, в направлении, нормальном движению.
Слой считаем бесконечным, и это означает, что в каждом сечении х = сопаФ суммарный ток должен быль равен нулю. Детальная картина зависит от проводимости пластин. Если проводимость пластин велика, то обратный ток пойдет по пластинам, а в слое ток будет пропорционален скорости и, следовательно, будет нарастать от стенок к центру. Возникаюший электрический ток, в свою очередь, взаимодействует с внешним магнитным полем. Па жнлкость будет действовать электромагнитная сила, направленная против направления движения (по осн х) и равная Глава 1 Максимальная сила приходится на центральную часть потока, и в результате профиль сюрости уплощается.
Этот эффект уплошеиия профиля скорости в поперечном магнитном ноле называется эффектом Гартмана. Именно Гартман нашел точное решение задачи и получил вид профиля, НОСЯП1ЕГО ЕГО ИМЯ, сй(На) — сй (На я/Ь) На ой(На) — вЬ(На) ' (1.34) где 11 — средняя сюрость в канале. В случае непроводшцих пластин ток может течь толью по самой жид- Ь юсти.
Учитывая, что средняя скорость есть б1 = ) у,Ия, а суммарный ток о должен быть равен нулю, легко связать плотность тока со скоростью уу пВО(~ ех). Следовательно, направление тока противоположно в областях, где скорость превышает среднее значение, и там, где скорость ниже средней. Соответственно, и электромагнитная сила направлена против направления движения в ядре потока и, наоборот, ускоряет поток в пограничных слоях. Характерный профиль скорости в течении Гартмана и структуру инлуцированных токов иллюстрируют рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
