П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(1.4) Используя полученное соотношение, приходим к уравнению Эйлера, полученному им еще в 1755 г.; дсч+ (чту)ч = — Р ~ЧР+ и. (1.5) Гидростатическое приближение получается при условии отсутствия движения, то есть равенства нулю скорости и производной по времени: дс=О, ч=О. Таким образом, -р-'~Р+ и = О, (1.6) илн тчР = ри. Учитывая, что сила тяжести направлена вертикально вниз, и считая, что по вертикали направлена координата з (то есть и = — де,), получим Р = Ро — Ряз Запишем теперь поток импульса в тензорных обозначениях: дс(ри,) = рдсос+ о,дср Уравнение непрерывности перепишем в виде дср — дс(ро ) = О (здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индек- сам), а уравнение Эйлера (! .5) — в виде дси, = — чьдьо, — р 'д,Р. 1.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 17 Подставим две последние формулы в выражение для изменения импульса: дз(ри,) = — риьдьи1 — д;Р— и,дь(риь) = — дь(бсаР+ ри,иь), и введем тензор плотности потока импульса, описывающий перенос 1-й компоненты импульса через плошадку, перпендикулярную Й-й оси: Пы = б,ьР+ ри.иь.
Уравнение для изменения импульса запишется теперь в виде д~(ри,) = — дьПзь, (1.7) (! .8) а для конечного объема д,) ~,~1 =. ) -В„п,. Й1 = — Р и, ю„. При выводе уравнений движения не использован закон сохранения энсргии. Напомним, что рассматривается идеальная жидкость, а это означает; что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице.
Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что эшропия каждого жидкого элемента остается постоянной: йФ = О. В переменных Эйлера это же уравнение имеет вид дед+ (итУ) д = О. (1.9) 1.1.3. Реальная жидкость дз(ри,) = — дьп,ь =. — дь(ри,иь + рй,ь — а,'ь), реальная жидкость — это м<идкость с вязкосп,ю (внутренним трением) и теллопроводностью. Начнем с рассмотрения уравнений движения для иэотермлческой жидкости и для начала сще раз напомним, что уравнение непрерывности (1.1) справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества.
Далее воспользуемся уравнением Эйлера, записанным в форме закона для переноса импульса (1.8), и попытаемся обобщить его на случай вязкой среды: Гллвл 1 где слагаемое е,'» введено дяя описания потока импульса, обусловленного действием вязкости. Зто тензорная величина, называемая тензором вязких напряжений. Величина ть» =- рбщ — ст,'» называстся тензором напряжений. Кажется естественным, что однородное поле скорости нс приводит к появлению вязких напряжений, то есть напряжения возникают только в неоднородном поде скорости.
Степень неоднородности характеризуется производиъгми поля скорости д»от, тут»ое, Теперь требуется угадилть форму зависимости тензора вязких напряжений о,'» от этих производных. На этом лапе делается самое важное ограчиченис на пути получения еравнсния движения вязкой жидкости. Оно состоит в том, что в тензор вязких напряжений включаются ляолько линейные комбинации первых нроизводныл поля скорости.
Нужно, однако, учесть, что есть специальный случай, когда поле скорости неоднородно, а вязкис нанряжения возникать не должны. Это случай твердотельного вращения жидкости. Существуют и лько две линейные комбинации первых производных, удовлетворяющие этому требованию. Это (д»о; + део») и гйчч = д»о»,' которые и входят в общий вид тснзоря второго ранта, удовлетворяющего поставленным условиям; о,'.» -- А(д»ч, + д„тз») + Вбы ойчч. Принята несколько иная форма записи, а именно, оЯ» —— т1[д»че + дяп» вЂ” (2/З)бе» т11ч ч[ + Ят» бтч ч, (1.10) удобная тем, что сумма диагональных членов в скобке равна нулю. В выражении присутствуют два коэффициента: ц — сдвиговая вязкость, ( — объемнаа (вторая) вязкость. Таким образом, уравнение движения приобретает вид р(д~о, + с~д»ое) = -дР+ д»(т1[ди, + дт⻠— (2/3)бт» ойч ч[) + дт(~д»о»).
(1.11) 'Убедимся, что тти две комбинвнии равны нулю лри твердотельном врвщении жидкости, в котором ч = й х г: „= аял — а,„, „=- а.„- а...,. = й,я — й„*, дяе -~-дее = — й, -» йя ит.л а.е. = а„е„= а.о. =. О. 1.1. УРАВнениЯ Движения жиДкОсти Коэффициенты вязкости зависят от температуры и давления н не являются постоянными вдоль жидкости. Однако во многих случаях можно считать эту зависимость слабой и, вынося коэффициенты вязкости за операторы дифференцирования, прийти к виду Р[г/ч+ (чЯ)ч] = — чр+ удач+ (б+ и/3)кгаг(гйчч, (1.12) который и принято нюывать уравнением Новее — Свокса. Важным частным случаем является случай несжимаемой жидкости. Тогда уравнения движе- ния (1.1), (1.12) записываются в виде драч+ (ч%")ч = — р ~ЯР+ НЬч, д1ч ч = О, (1.13) где и =- Н/р — коэффициент кинематнческой вязкости. Для решения конкретной задачи уравнения должны быть дополнены граничными условиями (например, условием прилипания на твердой границе или условием отсутствия касательных напряжений на свободной поверхности).
1.1.4. Число Рейнольдса и закон подобии [Р] = кг/и с; [и] = м /с. [1] = с; [1] = м; [с] = и/с: [р] = кг/мз: В гидродинамике, особенно при рассмотрении задач об устойчивости течения нлн исследовании развитой турбулентности, широко используется безразмерная форма записи уравнений движения жидкости. При такой записи входящие в уравнения характеристики среды и параметры исследуемой задачи группируются в безразмерные комплексы, наиболее известным из которых является число Рейнольдса — самая обшая характеристика течения, отражаюшая соотношение инерционных н вязких сил в потоке и позволяющая оценить характер движения жидкости, Малые значения числа Рейнольдса (единицы нли десятки) отвечиот ламинарным течениям, умеренные (тысячи) характеризуют переходные режимы, а большие (сотни тысяч и больше) появляются в развитых турбулентных течениях.
Приведем полученные выше уравнения движения несжимаемой жидкости к безразмерному виду. В уравнения (1.13) входят следующие физические величины: время 1, расстояние 1, скорость о, плотность р, давление Р и вязкость и. Если мы принимаем систему единиц СИ, то каждая из этих величин будет иметь следующую размерность: 20 Глава 1 Идея обезразмеривания состоит а том, чтобы измерять все величины в единицах, являющихся харакгерными параметрами конкретной задачи. Так, например, в качестве единицы измерения длины можно выбрать некий характерный размер Ь (это может быль толщина слоя жидюсти, диаметр трубы, размер обтекаемого тела и т.д.), за единицу измерения скорости— характерную скорость T (скорость верхней пластины в течении Куэтга, скорость на оси трубы в течении Пуазейля, скорость набегающего потока в задачах об обтекании тела и т.д.).
Единица измерения времени выражается через две введенные величины и есть 2 /Ъ', а единицей давления может служить величина р)гз. Безразмерные величины (обозначим их буквами с гильдами) будут связаны со старыми, размерными величинами как ьт = т/У, Е, = х,/Т, 1 = 1)г/й, Р = Р/рЧ~, Ф = Ь зт, Ь = Ь~Ь. Подставляя эти соотношения в уравнения движения, получим )гзЬ 'д;к+УзХ '(тФ)т= — Узй 'ФР+~МТ, з~Б, акт =О, а сокращая подобные множители и опуская гильды, приходим к уравнениям (1.14) где безразмерная величина Н = ГБ/и называется числом Рейнольдса. Это число характеризует отношение инерционных сил к вязким (нелинейного члена к вязкому), и именно оно является критерием, определяющим этапы перехода от ламинарных течений к турбулентным.
Важно подчеркнуть, что приведенный способ обезразмеривания уравнений не является единственно возможным. Например, в качестве единицы времени можно взять величину Б~/и, характеризующую время вязкой диссипации, а в качестве единицы скорости — величину и/Ь. Переходя к безразмерным переменным, в этом случае получим уравнение д~ч + (чту)т = — туР + Ьч, не содержащее каких-либо параметров. Не следует думать, что таким образом мы получили уравнение, лишенное параметра. В действительности, роль числа Рейнольдса выполняет теперь безразмерная скорость. Если при первом способе обезразмеривания безразмерная скорость, по определению, 21 !.1. УРлвнения дВижения жидкости лежала в интервале (0,1) (или вблизи него), то при втором способе единичной является скорость вязкого переноса, а безразмерная скорость может достигать величин порядка то есть числа Рейнольдса.
С числом Рейнолъдса тесно связан вопрос о подобии различных течений, то есть вопрос о том, каким критериям должна удовлетворять модель исследуемого течения. Пусть рассматривается определенный тип течений жидкости (например, течение по трубам или обтекание тел определенной формы). Очевидно, что для моделирования движения нужно в первую очередь обеспечить геометрическое подобие.
Тогда геометрические свойства задачи определяются одним линейным размером Ь. Из параметров, характеризующих жидкость, в уравнения входит только кинематическая вязкость и (поля скорости у и давления, отнесенного к плотности, Р! р являются неизвестными функциями, которые необходимо найти). Если рассматривается обтекание тела потоком, то характеристикой течения в целом является скорость потока на бесконечности И. Мы видим, что в рамках заданного типа движений решение определяется тремя параметрами: и, И, Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
