П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для скорости можно принять, например, условия прилипання (ч~т = 0), а для температуры — либо задать ее распределение на границе (Т~~ = /~ (Г)), либо тепяопоток через границу — = /з(Г). дТ д" г Обсудим возможные способы представления уравнений свободной конвекцни в безразмерной форме. Особенностью конвективных задач является отсутствие заданной характерной скорости — скорость есть результат приложенной (заданной) разности температуры. Возможный набор единиц измерения есть: расстояния — характерный размер Е, температуры — характерная разность температур д, скорости — величина и/Ь, времени — Ь /и и давлении — раиз/Ы Переходя к безразмерным величинам, получаем систему уравнений д ч + 1(чту) ч = — туР + Ьч + СгТе„ дзТ+ (ч~Х~Т = о 'йТ, с11н ч = О.
(1.26) и считая третье слагаемое пренебреяснмо малым (это логично сделать, так как зависимостью плотности от давления уже пренебрегли), приходим к соотношению + сгТ /Тс 1.3. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 35 В уравнения вхолят два безразмерных комплекса: число Грассхофа Сг н число Прандтля и; ддгз Сг = —, из Х Ва= оСг = дд2,3 "Х Вели за единицу скорости взять величину Х)1., оставив все остальные еди- ницы измерения прежними, то мы придем к системе уравнений, содержа- щей число Релея, д,ч + (ч ту)ч = — т7Р + Ьъ + ВаТе„ тгд,Т-Б (зги)Т = ЬТ, г(1чч = О.
(1.27) За единицу скорости можно выбрать н скорость, приобретаемую жидкой частицей, перегретой на величину д относительно окружающей ее жилкости и ускоряющейся иа расстоянии Е. Из условия ррз р'дГ, получаем к ~/д)57ь. Принимая за единицу времени величину Ь/$', получаем д;ч +~(ЕО)е = — т«Р+ В Ьч+ Те„ дгТ+ (чт7)Т = (аВ) 'ЬТ, йтч = О. (! .28) Число Грассхофа характеризует отношение архимедовых сил к вязким и свидетельствует о сильной зависимости конвективных механизмов от размера (в число Грассхофа размер входит в кубе).
В отличие от числа Грассхофа, число Прандтля есть физический параметр жидкости, не зависящий от конкретной задачи и характеризующий отношение коэффициентов кннематической вязкости и температуропроводности. Приведем несколько типичных примеров значений числа Прандтля. Для газов число Прандтля порядка единицы, у воды — и - 7, у ртути — гт - 10 з, у глицерина— и = 10з. В жидкостях с малым числом Праидтля теплопередача эффективней коивекции н, наоборот, при высоких числах Прандтля температура «вморожена» в жидкость и перенос тепла за счет конвекцни становится более эффективным, чем теплопередача. Наряду с двумя введенными безразмерными параметрами, в конвективных задачах часто используется число Релея, являющееся произведением чисел Прандтля и Грассхофа, 36 Глава 1 В уравнениях появилось число Рейнольдса, что обусловлено введением характерной скорости.
Используя выражение для введенной единицы скорости, просто получить связь появившегося числа Рейнольдса с числом Грассхофа 1.4. Конвективния устойчивость Рассмотрим вопрос о том, может ли жидкость оставаться неподвижной при наличии неоднородного распределения температуры. Чтобы убедиться, что равновесие неравномерно ншретой жидкости возможно, достаточно вспомнить школьный опьп по кипячению воды в наклоненной пробирке, иа дне которой находится лед, а нагревается только верхняя часть. Найдем необходимое условие механического равновесия жидкости (при наличии неоднородности температуры). Механическое равновесие подразумевает отсутствие скоростей и стационарность ч=о, д~=О.
С учетом этих условий от уравнений Буссинеска остается — ро ' ч'Р + д))Те = О, ЬТ = О. На первое уравнение подействусм оператором гоь. Так как гоь%' = О, гог,(Те) = Т гоге+ ЯТ х е = О, а гоФ е = О, то условие равновесия жидкости сводится к требованшо Чтхе=-О, то есть градиент параллелен вертикальной оси и температура может меняться только по вертикали; Т = Т(я). Это означает, что любой горизонтальный градиент температуры приводит к возникновению конвективного движения.
Из второго уравнения ЬТ =- д„Т =. О 1ХК Конвективнхя устойчивость 37 следует, что температура может быть только линейной функцией высоты; Т = Аз+В. Мы не получили никакой информации даже относительно знака градиента температуры. Опыт подсказывает, что устойчивым может быть нагрев сверху. Более точный ответ состоит в том, что неустойчивость наступает при лодогреве снизу после превышения некоторого (совсем небольшого) критического градиента температуры. Например, в горизонтальном слое с твердыми границами критическое число Релея На*, при котором возникает конвекция, равно 1708.
Оценим соответствующую критическую разность температуры, имея в виду для определенности слой воды толщиной 6: ЬТ = Н " пХ вЂ” 1708 ' 10 а ' 1'4 ' 10 т — 10 т гРал ()ьз 10,2 10 — 4йз йз м Таким образом, в слое воды глубиной 1 метр при подогреве снизу неустойчивость возникает уже прн вертикальной разности температуры величиной всего 10 " градуса, в слое толщиной 1 сантиметр критическая разность температуры равна 0.1 градуса, а слой воды толщиной один миллиметр пракпючески абсолютно устойчив.
Задача об устойчивости горизонтального слоя жидкости при наличии вертикального градиента температуры (задача Релея-Бенара) является классической задачей о конвективной устойчивости. Именно в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости со свободной верхней границей Бенар в 1900 году обнаружил возникновение после превышения критического градиента температуры гексагональных структур, получивших название ячеек Бенара.
Приведенная на рис. 1.10 фотография вз работы (57) иллюстрирует высокую чувствительность гексагональной структуры к возмущениям — слабая деформация поверхности медной пластины, образующей дно сосуда, приводит к локальному нарушению вила ячеек. Течение в слое силиконового масла визуализируется с помошью алюминиевой пудры. Отметим, что гексагональные структуры возникают в слое только при наличии свободной поверхности и направление циркуляции в жидкостях и газах при этом противоположно. В жидкости горячий поток поднимается в центре ячейки, а в газах наоборот — в центре ячейки холодный поток жилкости направлен вниз. Установлено, что возникновение гексагональных структур связано с действием поверхностного натяжения.
При твердых горизонтальных границах возникают конвективные валы. Этот вил конвективных течений виден на другой фотографии из работы (57) (рис. 1.11), где показана валиковая конвекция в слое силиконового масла в круглом ГЛАВА 1 Рис. 1.10. Рис. !.1!. сосуде, закрытом сверху стеклом. Форма сосуда навязывает валам осевую симметрию. Обе фотографии воспроизведены по альбому М. Ван-Дайка [11.
Задача Релеи. Теоретически задачу о конвективной устойчивости жидкости впервые решил Репей в 1916 году. Он рассмотрел горизонтальный слой жидкости толщиной и со свободными, но не деформируемымн границами (такие не совсем реальные граничные условия дают самую простую постановку), на которых поддерживается температура Тз и Тз соответствен- 39 ! .4. Конвективнхя Устойчивость но.
Уравнения Буссинеска записываются в безразмерной форме (на этот раз единицы измерений выбраны следующим образом: единица длины — Ь, температуры — (Т! — Тз), времени — !гь/и, скорости — Х/!г): д,ч+ а ~(чЧ)ч = — о' г%гР+ Ьъ + ВаТе„ В,Т+ (. Ч)Т = ит, ой =о. Решается двумерная задача в плоскости (х, а), то есть имеются в виду конвективиые валы, направленные вдоль оси у. Граничные условия: а,.=о, с, =О, Т=1. я=о: а=1: а,о. = О, о, = О, Т = О.
Температура задается в виде Т = д — г, так что величина д описывает отклонение температуры от равновесного (лииейного) распределения. Для поля скорости вводится функция тока с, = — а,ф, о, = а ф. Задача решается в рамках линейной теории устойчивости, то есть из уравнений выбрасываются все члены, квадратичные по скорости и возмущениям равновесного профиля температуры. В результате получаются линейные уравнения даЪ~ = Ьт1Ф+ Ваада, пдсд = ьд+ а*Ф Последнее слагаемое во втором уравнении — зто остаток от нелинейного слагаемого, так как (ч'Я)Т = (ъ ~7)д — о,. Граничные условия на верхней и нижней границах имеют одинаковый вил: Следуюший шаг состоит в использовании нормальных возмущений, жггорые задаются в форме периодических возмушений с экспоненциальной зависимостью амплитуды от времени: Ф(з,х,т) = !все ~~в!п(лпз)вт(яах).
д(т., ж !) =-. две и з!п(хпз) соз(хах). 40 Учитывая, что 444)г= — я (П +а)ф, ЛЛФ= 4(п4+2агпг+а4)Ф, получаем уравнения Ляг(пг+ 2) ~ 4( 4+2 2 2+ 4)р В д — Ладо = — я~ (па+а ) до+лафе, представляющие собой систему линейных, однородных уравнений для ам- плитуд 1)го и дог яг (аз+ па) [Л вЂ” 22 (пг+ аг)1 фа -~ аяВадо = О, яафо+ [Ло — аг(па+а )) до =О.
Система имеет решение, если ее определитель равен нулю: я(аг+ пг) [Л вЂ” яг(пг+ аг)) айа яа Лгг — аг(пг+ аг) Раскрывая определитель, получаем уравнение (а2 + 2) ~Л2 ~ Л + 4 ( 2 + 2)2~ 211 О решение мпорого дает значения для декремента Л: ял(1 + гг)(пг + а ) 2 (1.29) По виду решения (1.29) можно сделать ряд полезных выводов. Во-первых, видно, по при положительных значениях числа Релея (а при принятых обозначениях положительным числам Релея соответствует нагрев слоя снизу) подюренное выражение всегда положительно.
Зто означает, что оба корня уравнения являются вещественными величинами и, следовательно, возмущения эволюционируют монотонным образом. При этом один корень всегда положителен, а второй при некотором значении Ва = Ка, меняет знак. Во-вторых, при отрицательных числах Редея (подогрев сверху) вещественная часть обоих корней всегда положительна. Следовательно, все возмущения при подогреве сверху затухают. В то же время с ростом величины 1.4.
Конввктивнья ь'сгойчнвосгь 41 Рис. 1.!2. подогрева возникает ситуация, когда выражение под корнем становится отрицательным, то есть появляется два комплексно-сопряженных корня, описываю!пих затухающие, но колебательные режимы. Это происходит при На* = и (4оа ) ~(п +а ) (1 — о)з. На рис. 1.12 показан график зависимости вещественной части декремента затухания от числа Релея. На графике отмечены три области. 1— область затухающих колебательных возмущений, 11 — обласп, монотонно затухающих возмущений н 111 — область монотонно нарастающих возмущений. Найдем критическое значение числа Релея, при достижении которого начинается нарастание возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
