П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(1.19) Далее делают еще рял существенных упрощений. Первое состоит в том, что рассматриваются только плоские возмущения. Этот шаг оправдывается теоремой Скваера, которая утверждает, что самыми опасными являкпся именно плоские возмущения. Такое предположение означает, что ч=(ч, О,с,) и да=-О. С учетом того, что (чоч) =сод н (чту) =о,д,+ч,д„ уравнения движения для оставшихся двух компонент запишутся в внде д~ч, + сод,с + ч,д,с, = — д,Р + В. 'Ьч„ две,+сод с, = — д,Р+К 'Ьс„ двсх + д*оя = О. Следующий шаг состоит в том, что вводится функция тока ф, связанная с компонентами вектора скорости: с = — д,вр, св = д,ф. Введение функции тока позволяет уменьшить число переменных. Платой за это является повышение порядка дифференциальных уравнений. Подстановка выражений Линейная теория работает только вблизи порога возникновения неустойчивости.
По прохождению порога возмущения нарастают и линейные уравнения перестают работать. Тем не менее поставленная задача при этом может считаться выполненной, так как требовалось указать именно сам порог и наиболее опасные возмущения, которые начинают нарастать в первую очередь. Отказавшись от написания пп рихов, мы придем к системе уравнений, которую необходимо дополнить граничными условиями для возмущений.
Например, можно прелположнть, что на границах возмущения равны нулю. 1.2. Устойчивость течвний для компонент скорости через функцию тока дает — дед.ф — ссдхкф+ дД) Кто = — дхР— В 'Ьд,гр, д,д,тР+оод„ф = — О,Р+К 'Ьд,ф, — д„ф + д„ф = О.
Последнее уравнение (уравнение непрерывности) выполняется тождественно. Это не удивительно, так как функция тока вводится именна для несжимаемой жидкости. Следующий шаг также является общепринятым — для того чтобы избавиться от давления и получить одно уравнение для функции тока, необходимо второе уравнение продифференцировать по координате х и вычесть нз него первое, продифференцированное по координате а. Результирующее уравнение есть дс(О 'Ф + д~х4>) + содедг~ф+ д Фасо д ФгРд~ос — дед~„-со+ + О,.фб, с+.сО,О.,ф = -а„Р+ а„Р-( Н-'Ь(О,Р+ О,.1(). Сокращая подобные члены н учитывая, что д,со = О, приходим к уравнению А2ьф+ сод.ЬФ вЂ” сод.ф = К 'ЬЛФ, (1.20) которое дополняется граничными условиями для функции тока: прн я = ~1: д,ф = дд41 = О.
Напомним, что функция тока введена для возмущений поля скорости, возникающих на фоне стационарного течения зго. Штрихами обозначено дифференцирование по вертикальной координате ж Полученное уравнение (1.20) можно решать численно, задавая различные начальные возмущения и наблюдая за их эволюцией при различных числах Рейнольдса. Этот путь не снимает, однако, вопроса о выборе вцда возмущений.
Следуя обычному для теории устойчивости способу, будем рассматривать нормальные возмущения, которые в данном случае записываются в виде (1.21) ф(х,з,1) = р(я)е' При этом фактически мы провели разделение переменных, включив зависимость от вертикальной координаты г только в амплитуду возмущений ~р. Зависимость от продольной координаты и времени принята в виде гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х (ы — частота, й— зо ГЛАВА 1 Рвс.
1.8. волновое число). Частота является величиной комплексной: ы = а+ (с, что позволяет переписать выражение для нормальных возмущений в вндс (Ь(Х З 8)~р(Л)ЕЬ(юх-Ьх) ~р(Л)Е-Ьгсъ(ан-Вх) дьф =1 ~чЬ, дхф = — зйхр, д,ф =- 1р' е'( Щ = д„ф + дхххР = ~~Рх — И~Р) е'( ' "х1, А хьЬ г,ргк 2йз~х+й4у,) еймь-ьх1 н подставляя их в уравнение (1.20), получаем (ас — гйос) (У" — й Р) + (йоохР = К (У вЂ” 2й У" + й <Р), а после деления на ьй и добавления граничных условий приходим к оконча- тельной форме уравнения, называемого уравнением Орра-Зоммерфелъда (1937 г.): (оо — (й) ~Фх — йзу) — ~" У = ((йИ) ' ( рл' — 2йз(с + й4Ф) р1, „„=о, р'~, „= о.
(1.22) Характер эволюции колебаний во времени определяется мнимой частью частоты: если 6 ) О, то возмущения убывают со временем, а если Ь < О, то возмущенна нарастают (см. рис. 1.8). Именно знак величины с и интересен с точки зрения вопроса об устойчивости течения. Требуется узнать, при каком значении числа Рейиольдса появляется растение с отрицательным с и канэе волновое число й соответствует этому решению.
Возмущения в нормальной форме подставляются юперь в уравнение для функции тока. Вычисляя соответствующие производные 1.2. Устойчивость течений Задача остается чрезвычайно сложной и впервые для плоского слоя была решена Линем в 1945 г. Поучительна история решения этого уравнения. Первые подходы были связаны с попытками решать уравнение Орра— Зоммерфельда с отброшенной правой частью. Соответствующее уравнение называют уравнением Релея. Отметим, по, отбрасывая члены с четвертой производной 1с, мы лишаемся возможности использовать все граничные условия и можем требовать обращения в нуль только нормальной компоненты скорости (этому соответствует условие д,ф = 0 и у = О). Отбрасывание правой части мотивировалось тем, что она описЫвает действие вязкости, а вязкость, казалось, должна играть стабилизирующую роль.
Результат решения уравнения Релея состоял в том, что оно оказалось абсолютно устойчивым. Линь показал, что фазовая скорость возмущений ое = м/й меньше максимальной скорости потока в центре слоя. Точки, в которых фазовая скорость возмущений совпадает со скоростью основного течения, являются критическими, н именно вблизи этих точек начинается нарастание возмущений. Основной результат исследования уравнения Орра-Зоммерфельда каче- зэ ственно иллюстрирует рис. 1.9, на котором представлена так называемая нейтральная кривая, нарисованная иа плоскости (к, Н). Область неустойчивости заштрихована.
Критические параметры )тэ. отмечены на рисунке звездочками. Наименьшее значение числа Рейнольдса, гг при котором начинается рост возмущений, Н* — 5700. Соответствующее ему Рнс. 1.9. критическое значение волнового числа Й' — 1. Это означает, что наиболее опасными возмущениями являются возмущения с длиной волны, превышающей толщину слоя приблизительно в 2к раз.
Интересно отметить, что для каждого значения числа Рейнольдса, большего критического значения, опасными являются возмущения в ограниченном интервале волновых чисел, а сам интервал по мере роста числа Рейлольдса смещается в сторону малых волновых чисел (больших масштабов). Таким образом, для фиксированного значения волнового числа в область неустойчивости можно попасть и двигаясь от больших чисел Рейнольдса к малым. Это очень важный результат, указывающий на то, что вязкость может играть и дестабилизирующую роль. Глава 1 1.3, Свободная конвекиия несжимаемой жидкости Под свободной конвекцией понимают движения жидкости, возникающие за счет сил Архимеда при наличии неоднородности плотности жидюстн в поле массовых снл. В основном будем рассматривать термогравнтационную коивекцию, т.е.
случай, когда неоднородности жидкости связаны с ее неравномерным нагревом и течение возникает в поле силы тяжести. При этом будем иметь в виду жидкости, плотность которых падает с ростом температуры, т.е. др/дТ < О (напомним, что аномальное поведение дает вода в интервале от О до 4'С). Считаем, что неоднородность температуры является единственным источником движения и что Ад«д, т.е.
рассматривается слабая конвекция. В уравнении движения необходимо добавить слагаемое, опнсываюшее действие силы тяжести, р',дик+~(л~Р~3~ = — тУР+ г1Ьч+ рп и учесть изменения плотности. Плотность в общем случае есть функция температуры н давления р = р(Т, Р), а приращение плотности есть Ир = (др(дТ) р 6Т+ (др(дР)г йР. Далее делается важное ограничение, состоящее в том, что рассматривается несжимаемая жидкость, означающее, что вторым слагаемым в этом равенстве можно пренебречь. Таким образом, полагается, что плотность зависит только от температуры: р = р(Т), а приращение плотности есть ( =1р,'(дйдТ))Л (Т=-РробТ Здесь Р' — коэффициент объемного расширения.
Температуру жидкости представим в виде т=т +Т', (1.23) где То — средняя температура, а Т' — вариации температуры, чалые в том смысле, что вызываемые ими вариации плотности остаются малыми (Ьр « р). Плотность представляется, соответственно, в ваде р = ро + + р'(Т), где рс — плотность жидкости при температуре Тс. Из сказанного следует, что д = рс(1 — 11Т').
(1.24) КЗ, СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ ИЕСЖИМАГМОЙ ЖИДКОСТИ ЗЗ Принятое ограничение слабой конвекцин предполагает, что дТ' «1. Вспомним, что для воды д = 2 10 4, и, следовательно, приближение годится практически для любых возможных разностей температуры. Для газов д т 1~273, что существенно больше, но также позволяет пользоваться принятыми ограничениями прн достаточно больших разностях температуры. Изотермической жидкости с температурой Т = То и соответствующей этой температуре плотностью р = рс отвечает гидростатическое давление Ро, полчиняюшееся уравнению чРо = Ров. Поле давления, устанавлнваюшееся прн коивективном движении, представим в виде суммы Р = Рс + Р'.
Подставляя в уравнения движения все введенные разложения, получаем (ро+ р')1Кч+ (чЯ1ч~ = — туРо — туР' + турач+ дон+ р'б, д~ р' + рс ди ч + д1ч р'ч = О. Теперь нужно вычесть из первого уравнения уравнение гнцростатики и сделать самое важное допущение. Оно состоит в том, что добавкой к плотности р', возникающей за счет изменения температуры, пренебрегают всюду, за исключением члена, описывающего силу Архимеда. Тогда рс ~д,ч Р (чу 1ч1 = — т7Р'+ турач —,9Т'б. Систему необходимо дополнить уравнением для температуры.
Если пренебречь нагревом жидкости за счет вязкой диссипации, то закон переноса удельной энергии записывается в виде рТ1д,д+ (чту)Я~ = кАТ, гле к — коэффициент теплопроводности, а энтропия Я связана с температу- рой и давлением д = до 4 (дд(дт1, Т'+ (дд! дР), Р'. Используя соотношение (д$/дТ) г = с„! 7 с 34 Глава 1 Подставляя в уравнение для энтропии и ограничиваясь членами, линейными по Т', получаем д1Т + (чту)Т' = к ЬТ'. рср Далее, откажемся от написаниа пприхов (не забывая при этом, что темпе- ратура отсчитывается от среднего значения, а давление — от гидростатнче- ского) и запишем результат — систему уравнений дла термогравитационной конвекцин несжимаемой жидюсти в приближении Буссинеска д~ч+ (чтй)ч = — р„ЯгР+ и/зч+ с/ЗТе„ д1Т + (ч"Г/)Т = 1~ЬТ, гйчч = О. (1.25) Мы учли, что к = — де„и ввели юэффициенг температуропроводности г = к/рс . Систел1у необходимо дополнить граничными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
