П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Из этих трех размерных величин можно составить только одну безразмерную комбинацию, а именно, введенное вышс число Рейнольдса. Искомые поля (опять же, для заданного типа течений) должны будут выражаться зависимостями вида Суть закона подобия, сформулированного Рейнольдсом в 1883 голу, состоит в том, что течения одного типа с равным числом Рейнольдса подобны. Подобие двух течений состоит в том, что все поля могут быть получены друг из друга простым масштабным преобразованием координат и скорости.
Если в задаче появляется дополнительный параметр, то из имеющихся четырех величин можно составить два независимых безразмерных комплекса и для обеспечения подобия задач потребуется обеспечить равенство обоих безразмерных параметров, Так, если в рассматриваемом течении су!Нсственно влияние сил тяжести, то а качестве дополнительного размерного параметра в задачу входит ускорение силы тяжести д.
Тогда новым безраз- 22 ГЛАВА 1 мерным параметром может служить число Фруда 1.1.5. Простые примеры решений Основные проблемы решения уравнений Навье — Стокса связаны с нелинейным членом. Известно небольшое число задач, для которых удается получить точные (аналитические) решения. Приведем сначала два хорошо известных примера задач, в которых нелинейное слагаемое обращается в нуль и решения находятся легко. Течение Куэтга.
Рассматривается течение несжимаемой жидкости в горизонтальном слое тошциной И, нижняя граница которого неподвижна, а верхняя движется с постоянной горизонтальной скоростью ио, направленной вдоль оси х. Ось я направлена вертикально вверх. Ищется стационарное решение, то есть производная по времени равна нулю. Считается также, что задача плоская, то есть нет зависимости от координаты у и нет соответствующей компоненты скорости (ик — — О). Более того, течение горизонтально и и, = О. Отсутствует также горизонтальный градиент давления. Из уравнения непрерывности немедг лепно следует, что оставшаяся компонента скорости не может зависеть от координаты х, так как д,иа = О.
Следовательно, и, = Дя), и нелинейный член исчезает: и, д,и, + иэ дэи, + и, д и, = О. В результате, от уравнения Навье-Стокса остается Рис. 1.1. дз,и, =О или и.=аз+6, а постоянные интегрирования находятся из граничных условий: иа = О их — ио при г = О, при з = а, являющееся мерой отношения кинетической энергии движущейся жцша- сти к потенциальной. Ниже мы увщ1им, какие безразмерные комплексы по- являются при рассмотрении движений жидкости с учетом сил плавучести и электромагнитных сил. 23 !.1. УРАВнения дВижения жидкости и получается линейный профиль скорости (рис. 1.1) ех — соя/~(.
Прн этом отлична от нуля только одна компонента тензора вязких напряжений пхх = О Вхсх = сец/<(~ с которой просто связана сила, действующая на площадку поверхности площадью Я, Р = еоОВ/и. Течение Пуазейля. Второй хорошо известный пример задачи о течении вязкой х жидкости, имеющей точное решение, явля- + С( ется задача Пуазейля о течении жидкости в слое с твердыми границами (или трубе) под действием приложенной к краям разности давления.
Рассмотрим сначала плоский горизонтальный слой толщиной 2г( и длиной Ь, на концах которого задано давление Р~ н Рз, соответственно (рнс. 1.2). Р Как и в предыдущей задаче, ищем стационарное решение (дз = 0) только для ком- Ряс. 1.2. поненты скоРости ех (оя —— с, = 0), и по тем же причинам д, = дя — — О. В этом случае снова исчезает нелинейный член, так как возникающий градиент скорости направлен перпендикулярно самой скорости.
Тогда уравнение Навье — Стокса принимает вид -р ' д,Р+ ид~,с, = О, а его решение, с учетом граничных условий (с = 0 прн х = ~ф, есть пх = (2ОЬ) '(Р| — Рз)(гз — с(а). Для цилиндрической трубы радиуса Л задача решается аналогично. В этом случае оператор Лапласа нужно записать в цилиндрической системе координат г г(х (гйхе) = (Р1 — Рз)(~ ~1) н его решение примет внл с = (4~1й) (Р~ — Рз)г ч г(1пг+ В.
24 Глава 1 Постоянная интегрирования С = О, так как при т = О значение сюростн должно быль конечно. Определив вторую константу из условия прилипания иа стенке трубы, получим о = (4ОЬ) (Рд — Рз) (Рь~ — т ). Важной характеристикой является расход жидкости, протекаюшей через трубу.
Для него имеем ЯР(Рз — Рл) 4 Я = 2я ртодт = с4 8т1Ь о Т ечение в диффузоре. Мы рассмотрели выше два простейших примера точных решений уравнений Навье — Стокса. Известно еще несколью задач, для которых найдет ны точные решения. Это, например, задача 4Р о затопленной струе, задача о течении вблизн вращаюшегося диска, течении в диффузоре и некоторые другие.
Не воспроизводя решения задачи, остановимся на течении жидкости в плоском диффузоре (задача Гамеля, 1917 г.). Плоский диффузор образован двумя Рис. 1,3. полуплоскостями, выходящими из начала координат под углом а (рис. 1.3). В начале координат находится источник жидкости мошиостью Я. Если Я < О, то источник становится стоюм, а устройство называется конфузором.
Решение ищется в цилиндрической системе координат (т, у, г) для чисто радиального течения (о, = о, = О; о; = о(т, у)). Уравнение непрерывности, записанное в цилиндрических координатах, т ~д„(то„)+т ~д„о +д о,=О показывает, что произведение (то) в этом случае не зависит от радиуса и может быль только функцией угла 1о. Решение поэтому ишется для автомодельной переменной и(д) = то/би. Вид решения, получающегося для конфузора при малых и больших числах Рейнольдса, показан на рис.
1.4. 1.! . УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 25 Рис. 1.4. Интересной особенностью задачи Гамеля является то, что для конфузора (втекание жидкости, Я < О) решение существует для любых значений числа Рейнольлса, которое определяется через расход и есть В, = )ф/ри, а для диффузора (г.г > О) симметричное расходящееся течение существует только при ограниченных значениях числа Рейнольдса К < В и ограничснных значениях угла раствора а < а,„.
Предельные параметры связаны простым соотношением В = 6 (ггз/а — а) которое определяет область существования симметричных решений на плоскости (В,а) (см. рис. 1.5). При В. > К,„ существуют только несимметричные решения, в которых имеются области возвратных течений. Примеры профилей скорости, соответствующих таким решениям, приве- цены на рис. 1.б. Важно отметить, что решение в конфузоре при  — со стремится к12 к решению для идеальной жидкости (стол- 0 а а бообразное течение с проскальзыванием на границе), а в диффузоре предельного перехода нет: прн В. — со число перегибов в решении неограниченно возрастает.
Задача о диффузоре интересна тем, что является примером задачи, в которой существует граничное значение числа Рейнольдса, при превышении Глава 1 Рис. 1.б. которого репюния данного вида не существует. Не следует путать этот случай с ситуацией, когда решени в принципе существует, но не реализуется в силу возникающей неустойчивости. Об этом пойдет речь далее.
12. Устойчивость течений Вопрос об устойчивости того или иного состояния (решения, режима) возникает в самых разных задачах. Достаточно вспомнить простейший пример об устойчивости шарика, лежащего на различных поверхностях (рис. 1.7). В первом случае положение шарика абсолютно устойчиво, то есть при любом конечном воздействии шарик по окончании действия возмущающей силы возвращается в исходное состояние. Во втором случае положение шарика абсолютно неустойчиво — любое, сколь угодно малое возмущение безвозвратно уводит его из начального положения.
Третий случай иллюстрирует пример состояния, устойчивого по отношению к малым возмущениям, но неустойчивого к возмущениям, превышающим критическую величину. Нас интересует вопрос об устойчивости стационарных течений к возмущениям. Возмущения в реальных течениях существуют всегда. Их источником служат шероховатости стенок, входные участки (бесконечных труб нет), просто флуктуации характеристик самой вщцкости и т.д. Нужно Рве. 1.7. 1.2. устойчивость тачвний 27 дсч+ (У'Ч)т = — тУР+ В.
~ЬУ, с11ть =О. Стационарное решение задачи (имеем в виду течение Пуазейля, хотя до определенного этапа все рассуждения не зависят от конкретного вида ре- шения) обозначим как зсс, Ре. Это решение, в свою очередь, удовлетворяет уравнениям (тс тт)~'о = — '17Ро + Н ~~'с, с(1тто = О. (1.15) Поля скорости и давления представим в виде сумм стационарных решений и возмущений т(х,у,г,1) = то(з)+т'(т,у,з,т), (1.16) Р(з У з,с) =- РоЯ+ Р (т,у,з,1) Отметим, что, в отличие от исследуемого стационарного решения, слагае- мые со штрихами описывают возмущения, которые могут зависеть от вре- мени и от всех координат. Введенные разложения подставляем в исходные уравнения дсу'+ (ъо 17)то + (уотУ)Ъ + (у Г~чо+ (у'Ч)у' = = — ~7Ре — '17Р'+ Н дто+ Н сйтто -1-Мяч' = О (1.17) и, после вычитания из них уравнений для стационарных решений (1.15), получаем д, У' + (Ус Я)я' + (т' ту)яс + ~(У'Т7)т' = — зр Р' + К ' с.'ст', (1.18) аозт и' = О.
Наиболыпие трудности в решении этих уравнений представляет нелинейное по искомым возмущениям слагаемое (т'ту)»'. Следующий, принципиальный шаг состоит в том, что это слагаемое отбрасывается. Тем самым ответить на вопрос о том, какое возмущение является самым опасным и где та граница, при превышении которой это возмущение приведет к разрушению существующего течения. Итак, имеем течение несжимаемой жидкости, для которой запшпем уравнения Навье-Стокса в безразмерной форме (1.14) 28 Глава 1 мы ограничиваем себя рамками линейной теории устойчивости, рассмат- ривающей эволюцию малых возмущений. Это значит, гго )ч ! (( (чо1 двч+ (чоЯ)ч+ (ч~Г)чо = — Т2Р+ Н 'Ьч, Йчч=О, ч~г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
