П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В третьей главе начинается знакомство с методами описания развитой турбулентности, а именно, с исторически первым и наиболее развитым подходом к описанию турбулентных потоков. Это подход Рейнольдса и выросшие из него многочисленные полуэмпирические модели турбулентности. Начинается глава с определения статистических моментов случайных полей, характеризующих турбулентный ноток. Далее дан вывод уравнения Рейнольдса лля средних полей и кратко обсужлиотся основные подходы к построению полуэмпирических моделей.
Полуэмпирическим моделям уделено сравнительно скромное место по двум причинам. Во-первых, именно этот подход наиболее полно освещен в литературе, а во-вторых, основной целью данной книги является знакомство с методами изучения свойств мелкомасштабной турбулентности, которая как раз и остается за полем зрения полуэмпирических моделей. Четвертая глава посвящена моделям мелкомасштабной турбулентности, активное развитие которых началось со знаменитой теории А.Н.
Колмогорова 1941 года. Описаны первые попытки учета перемежаемости. Показано, что дало применение к теории турбулентности идеи фрактальности и как использование новых экспериментальных данных о структуре поля диссипации энергии и о поведении высших статистических моментов привело к появлению новых моделей, основанных на лог-пуассоновской статистике турбулентных полей.
В пятой главе обсуждается роль законов сохранения в формировании каскадных процессов. Подробно рассмотрены особенности поведения дву- Ввкдвния мерной турбулентности, в которой наличие дополнительного закона сохранения приводит к качественно иному поведению мелкомасштабной турбулентности. Шестая глава рассматривает процессы перемешивания пассивных примесей в турбулентном потоке и специфику каскадных процессов в турбулентных течениях, в которых силовые поля, вызывающие турбулентность, сами подвержены ее влиянию. Примерами таких «активных» примесей являются поле температуры в конвекгивной турбулентности и магнитное поле при турбулентности проводяшей жидкости. В седьмой главе излагаются модели, основанные на применении специальных функциональных базисов, воспроизводящих структуру турбулентных потоков.
Эти базисы получили название иерархических и по современной терминологии относятся к вейвлет-базисам. Вейвлет-анализ (возникший заметно позже первых иерархических моделей) превратился сегодня в развитую область математической физики, и его значение для исследования стохастических гидродииамических систем и турбулентности не исчерпывается применением вейвлет-базисов для численного моделирования течений.
Восьмая глава посвяшена каскадным моделям турбулентности — простейшим моделям развитой турбулентности, доказавшим свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса. Эти модели, являясь динамическими системами относительно высокого порядка (несколько десятков уравнений), описывают каскадные процессы в широком интервале масштабов. В девятой главе даны примеры построения каскадных и комбинированных моделей сложных турбулентных течений.
Описана модель конвективной турбулентности, введена модель МГД-турбулентности, и приведены результаты исследования каскадных и динамо-процессов в развитой турбулентности проводящей жидкости. Здесь же описана комбинированная модель динамо, включающая пару уравнений для крупномасштабных мод магнитного поля и каскадную модель для мелкомасштабной турбулентности. Заканчивается глава описанием недавно предложенного каскадно-сеточного метода описания турбулентных течений при больших числах Рейиольдса.
Подход совмещает сеточные методы решения уравнений средних полей с описанием подсеточной турбулентности на языке каскадных моделей. В последней главе кратко даны основные сведения о спектральном, корреляционном н вейвлет-аиализе случайных полей. На примерах показаны возможности вейвлет-анализа при исследовании временных рядов и пространственных полей. Обсуждается специфика анализа спектрального состава турбулентных полей и корреляции различных харакгеристик турбулентного потока.
12 введении Книга подготовлена при поддержке научно-образовательного центра «Неравновесные процессы в сплошных средах» при Пермском государственном университете и институте механики сплошных сред УрО РАН (грант Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития СКОР-РЕ-009-0). ГЛАВА 1 Основы В данной книге речь пойдет в основном о турбулентных течениях несжимаемой жидкости. При этом предполагается, что турбулентные движения жидкости описываются уравнениями Навье-Стокса или их обобщениями на случай неоднородной температуры, проводящей жидкости и т.д. Хотя вывод соответствующих уравнений можно найти во многих книгах, кажется уместным напомнить их происхождение.
Это важно уже потому, что сама возможность использования уравнений Навье-Стокса для описания турбулентных потоков не является очевидной, и, применяя их, необходимо отдавать себе отчет в том, какие гипотезы и ограничения использованы при написании уравнений. В этой, вводной главе описаны также два классических примера задач по устойчивости — разделу гидродинамики, традиционно прокладывающему путь от ламипарных задач к турбулентным. 1.1.
Уравнения движения жидкости Гидродинамика — это раздел механики сплошных сред, описывающий движение жидкостей и газов в рамках модели сплошной среды. Последнее означает, что рассматриваются масштабы 1» Л, где Л вЂ” длина свободного пробега молекул. В качестве характеристик среды рассматриваются плотность р, давление Р и скорость ъ, которые вводятся для физически бесконечно малого объема. Следует подчеркнуть, по речь не идет об абсолютных размерах. К примеру, если рассматриваются движения межзвездной среды на галактических масштабах (скажем, задача о формировании рукавов в галактическом диске), то интерес представляют расстояния, измеряемые килопарсеками (радиус нашей Галактики )т - 15 кпк = 5 10 м), 20 и нс смотря на то, что плотность межзвездного газа определяется несколькими молекулами на кубический сантиметр (глубокий вакуум!), для этих масштабов вполне проходит приближение сплошной среды, хотя физически бесконечно малый обьем в этом случае значительно превосходит объем отдельно взятой звездной системы.
Глава 1 14 1.1.1. Уравнение непрерывности Законы движения выводятся из законов сохранения. Сначала используется закон сохранения вещества. В пространстве фиксируется некоторый объем ч', ограниченный поверхностью Я, масса которого Изменение массы этого объема со временем дарго = дз ~ргТЪ' и (производную по времени будем обозначать как дн а производную по координате ач — как д,). Поток жидкости, вытекающий из рассматриваемого обьема, есть Если за положительное направление принять направление движения из рассматриваемого обьема, то условие сохранения массы можно записать в виде д, ра =- р(д, Правая часть равенства преобразуется по теореме Остроградского — Гаусса рч, Ня = Агч(рч)уМ.
Тогда 1дгр + сйч (рч)]НУ = О, / а так как равенство должно быть справедливо для любого объема, то подын- тегральное выражение должно удовлетворять уравнению д,р + гйч (рч) = О, (1.1) !.!. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ !5 которое и называют уравнением непрерывности (неразрывности). Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная (р = сопве) и уравнение (1.1) упрощается: (1.2) 6'!т и = О. Важно отметить, что уравнение неразрывности справедливо и для идеаль- ной, и для реальной жидкости. 1.1.2. Идеальная жидкость Уравнения для скорости выведем сначала для идеальной жидкости.
Идеальная жидкость — зто жидкость без вязкости и теплопроводности. Закон изменения импульса для движущегося жидкого объема есть где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на вьщеленный объем. Ограничиваясь рассмотрением силы тяжести и сил давления, запишем У У в Учитывая, что 4 ) рг((' ге О (интеграл берется по жидкой частице, то есть по заданному количеству жидкости, а не по заданному объему), можно переписать уравнение в внле рГ1! у ГЛГ = / (рн — '!7 Р) <Лг' и, снова исходя из произвольного выбора обьема частицы, перейти к дифференциальной форме !(!У = И вЂ” Р 'тУР. (1.3) Входящая в уравнение полная производная с!!у — это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жилкой частицы.
Рассмотрение движения отдельных жидких частиц называется подходом Лагранжа к описанию движения жидкости. В большинстве случаев прел!ючтительным является подход Эйлера, который заключается в описании 1б Гллвл 1 характеристик жидкости в заданной точке. Чтобы получить уравнение движения в форме Эйлера, нужно получить связь между субстанциональной и локальной производными. Для зтого распишем приращение скорости с(ч = дсч с(с + д,ч Нх + две с(у + д,и с)а и получим из него связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производной от скорости по времени (изменение скорости в заданной точке) с)сч = дсч+дао4х+до4у+дис1~а = дч+о,д„о+чад о+ч,д ч с(сч = дсч+ (чч)ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
