П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В обоих случаях спектр сигналов остается дискретным. 2.4. СТРАнный АттРАктОР На рис. 2.16 показан типичный спектр апериодического сигнала. В отличие от прелылуп|их спектров он непрерывен (сплошной, или заполненный спектр). На практике вопрос о принадлежности спектра апериодическому или квазипериодическому сигналу не всегда прост, так как квазипериодический сигнал с большим числом частот приближается по свое- У му виду к спектру стохастического снгна- Рвс. 2.16, ла.

Предельный вид стохастического сигнала называют белым шумом. Это сигнал с плоским спектром, корреляционная функция которого есть дельта-функция. 2.4. Странный аттрактор Теперь вернемся к вопросу о том, каким должен быть аттрактор хаотического движения. Мы уже упоминали выше, что первый сценарий перехода к хаосу был предложен Ландау и представлял собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа. Такому движению соответствует аттрактор в виде тора Тсе, который может быть вписан только в пространство со столь же высокой размерностью. Но уже система с тремя степенями свободы дает сплошной спектр Фурье, что является признаком хаотического движения.

Необходим атграктор, который обьясняет хаотическое поведение системы в фазовом пространстве низкой размерности (для определенности будем иметь в виду трехмерное фазовое пространство, так как известно, что в трехмерных нелинейных системах возможно существование хаотических режимов). Соответствующий атграктор был предложен Рюзлем и Таккенсом в 1971 г. и назван странным аттрактором. Эги же авторы прелложили и сценарий перехода к турбулентности, состоящий в том, что в системе после двух бифуркаций Хопфа (приводящих к появлению в спектре двух независимых частот) происходит третья бнфуркация, приводящая к возникновению странного аттракгора (н появлению заполненного спектра).

Важнейшим свойством, которым должен обладать кпрактор хаотического движения, является чувствительность к заданию начальных условий (ЧЗНУ). Это означает, что близкие траектории должны расходиться (должны быть положительные показатели Ляпунова) или, иными словами, система должна забывать о начальных условиях благодаря наличию малых возмущений.

66 ГЯАВА 2 В то же время нужно помнить, что речь идет о диссипативных системах, в которых обьем в фазовом пространстве сокращается и обьем аттрактора должен быль равен нулю. Потеря памяти о начальных условиях обеспечивается и сокращением объемов, так как независимо от начальных условий фазовая траектория выходит на аттрактор. Чтобы обьем множества точек был равен нулю, его размерность д должна быть меиыпе размерности пространства.

Следовательно, и < 3. Из требования ЧЗНУ следует, что траектории в фазовом пространстве должны расходиться, однако система является детерминированной, а это означает, чю в каждой точке должно существовать единственное решение и траектории не должны пересекаться (разве что в конечном числе особых точек). С учетом того, что траектория должна занимать конечную область фазового пространства, на плоскости эти два требования совмесппь невозможно, и мы приходим ко второму ограничению на размерность атграктора: д > 2. Таким образом, апериодический (странный) атгракгор должен: — притягивать фазовые траектории из области притяжения; — удовлетворять требованию ЧЗНУ; — иметь дробную размерность (в конкретном случае размерность между двойкой и тройкой, то есть 2 < д < 3).

Отложим вопрос о дробной размерности до следующего параграфа и приведем несколько качественных соображений, касающихся возможной структуры апрактора с такими свойствами. Моделью возможного построения странного атграктора является так называемая лодкова Смейяа. Эта модель отражает важное свойство странных аттракторов — они всегда содержат в себе элементы растяжения с последуклцим складыванием.

Построение подковы Смейла иллюстрирует рис. 2.17. Имеется прямоугольник, которьгй растяпшается в 2 раза вдоль оси х и сжимается в 2ц раз вдоль оси у. Коэффициент ц > 1 и характеризует степень сжатия площади. На втором шаге вытянутый прямоугольник складывается в подкову и возвращается таким образом в исходную область пространства. При этом он занимает не всю исходную область, так как появились пробелы, обусловленные сжатием. Третий шаг повторяет первый и так далее.

Отметим, что деформацию можно характеризовать числами (показателями) Ляпунова. Растяжение по осн х харжтеризуется положительным показателем Лг = = 1п 2, а сжатие по оси у — отрицательным показателем Лз = — 1п 2г). Вертикальное сечение полученного обьекга в точности воспроизводит так называемое капторово множество, размерность которого будет определена в следующем параграфе.

Здесь же отметим только, что в пределе 67 2,4, Сттлнный лгггяктот А~ ~ В~ С~ ?2~ Рис. 2.17. слабой диссипацни (Ч вЂ” 1) размерность подковы стремится к двум (она занимает почти всю плоскость). В пределе сильной днсснпации (и — оо) на плоскости остаются редкие линии и размерность множества стремится к единице. Другую попытку представить возможность существования аттрактора с требуемыми свойствами представляет рис.

2.18. На первом шаге происходит разбегание траекторий (обеспечивающее ЧЗНУ). На втором происходит Рис. 2.18. ГЛАВА 2 68 2.5. Фрнктнлы 2.5.1. Понятие фрактала Пусть имеется множество точек, расположенных в некотором пространстве размерностью 1). Введем сферу радиуса г (гиперсферу, если .0 > 3) и будем подсчитывать среднее число точек Л, попадающих в сферу при различных ее положениях в пространстве. Естественно рассчитывать на то, что зависимость числа точек от радиуса сферы будет иметь степенную форму Х(г) ы г, (2 13) и размерность множества можно определить как 1п Х(г) !Вг (2.14) Если точки множества расположены на линии, то Н = 1, если они лежат на плоскости, то Н = 2, а если точки занимают все трехмерное пространство, то опять же получается обычная (евклидова) размерность Н = 3.

Фракталами называют обьекты с нецелой размерностью. Простейшим примером фрактального множества является канторово множеспю, строжпееся по следующему правилу. Единичный — — отрезок разбивается на три равных части, и средняя часть удаляется. На втором шаге каждый из оставшихся двух отрезков снова делится на три части с последующим удалением центральных Рве.

2.19. частей. Процедура повторяется до бесконечности (рис. 2.19). Таким образом, получается такое множество, что любой сколь угодно малый обьем области обязательно содержит точки, этому множеству не принадлежащие. складывание и на третьем — сворачивание полученной пространственной структуры в «кольцо» таким образом, что сложенная вдвое растянутая сторона смыкается с начальной недеформированной.

Вспоминая, что траектории не должны при этом пересекаться, мы приходим к выводу, что должна образоваться многолистная структура. 2.5. Фглктхлы 69 Оценим размерность построенного множества по формуле (2.14). Из процедуры построения множества следует, что при каждом увеличении радиуса сферы в три раза число точек, в нее попадающих, увеличивается вдвое (т — 3", Ф 2"). Следовательно, и = — = 0.63. 1п 2 1п 3 Это ие единственный способ определения фрактальной размерности. Наиболее известна так называемая размерность Хаусдорфа-Безиковича.

Она определяется следующим образом. Пусть Ж(1) — наименьшее число кубов (сфер) с ребром (диаметром) 1, которым можно покрыть все точки множества. Тогда размерность Хаусдорфа-Безиковича есть 1п Ж(1) Р = 1пп о 1п(1/1) (2.15) Оценивая размерность введенного выше канторова множества по (2.! 5), мы придем к тому же самому результату, что и при вычислениях по формуле (2.14). Одинаковый результат получается при оценке размерности однородных фракталов. Несколько примеров однородных фракталов и получаемые для них размерности приведены иа рис.

2.20. В верхней части рисунка показана процедура построения фигуры, называемой «снежинкой Коха». Размерность кривой, ограничивающей эту фигуру, равна величине Р =!и 4/ 1п 3 = 1.2618. Размерность «клиновидной кривою> (внизу слева) также лежит между единицей и двойкой и равна Р = 1п3/1п 2 = 1.6849. Внизу справа показана «губка Серпинского», размерность которой Р = = 1п20/1пЗ = 2.7268. В общем случае неоднородных фракталов размерности И и В могут не совпадать, но всегда и' < Р (см. п. 2.5.3). Объекты с фрактальными свойствами возникают в самых различных приложениях.

Характеристики

Список файлов книги