П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Показания термопар для этого режима представлены на рис. 2.47, фазовые траекгорин — на рис. 2.48, а спектры мощности — на рис. 2.49. Видно, что фазовые траектории имеют чрезвычайно запутанную структуру, а спектры становятся сплошными, сохраняя лишь слабые локальные максимумы, свидетельствующие о сохранении периодических составляющих. Рекомендуемая литература к второй главе 11) Берже П., Помо И., Видаль Л. Порядок в хаосе. Москва: Мир. 1991. 366 с. 12) Шустер Г.
Детерминированный хаос. Москва: Мир. 1988. 240 с. '13] Рабинович М.И., Трубецкое Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Мз Наука. 1984. 432 с. ГЛАВА 2 йя нги Рис. 2.49. [41 Странные впракторы. Сборник статей. Серия «Математика. Новое в зарубежной науке», выпуск 22. Москва: Мир. 1981.
254 с. [51 Арнольд В.И. Теория катастроф. Москва: Наука. 1990. 128 с. [61 Фелер Е., Фракталы. Москва: Мнр. 1991. [71 Божокнн С.В., Паршин Д.А. Фракталы н мультнфравталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая двнамнка». 2001. 128 с. ГЛАВА 3 Подход Рейнольдса. Теория средних полей З.1. Развнтая турбулентность З.1.1. Вводные замечании В данной главе мы начинаем рассматривать подходы к описанию развитой турбулентности, то есть течений, возникающих при значительном превышении критических значений управляюпщх параметров (числа Рейнольдса, если речь идет об изотермическом течении в отсутствие дополнительных силовых полей).
Такие течения характеризуются наполненными спектрами Фурье, причем не только временными, но и пространственными. Напомним еще раз, что именно в этом и есть основное отличие турбулентности от хаоса в динамических системах невысокого порядка: в турбулентном потоке хаос и пространственный, и временной, а хаотическое поведение маломодовых систем (соответствующих, например, коввективным течениям при невысокой надкритичности) представляет собой хаотическую во времени эволюцию мод с относительно простой пространственной структурой. Приступая к рассмотрению развитых турбулентных течений, следует сделать ряд важных замечаний. Первое из ннх касается уравнений движения жидкости.
В первой главе мы получили уравнения Навье — Стокса как основные уравнения, с помощью которых мы описываем в дальнейшем все течения жидкости. Снова подчеркнем, что мы действительно продолжаем считать, что эти уравнения описывают течения жидкости и в турбулентном режиме, даже при экстремально больших значениях безразмерных параметров (более того, мы будем рассматривать только случай несжимаемой жидкости). Уверенность в том, что это возможно, держится на результатах многочисленных успешных попыток использования этих уравнений для турбулентных течений. Сама возможность приложения уравнений НавьеСтокса к турбулентности совсем не очевидна (и продолжает подвергаться Ткала З критике), так как при их выводе было сделано достаточно сильное предположение о том, что тензор вязких напряжений включает в себя только линейные комбинации первых производных поля скорости.
В ламинариых и слабоналкрнтнческнх течениях это предположение кажется разумным н прекрасно работает, но в снльнонелинейных режимах нельзя исклю ппъ, что тензор вязких напряжений будет иметь более сложную зависимость от структуры поля скорости. Опрацланием использования уравнений движения в принятой форме может слулщть только сопоставление результатов лх решения с экспериментальными данными. Далее, пусть уравнения движения справедливы, и предположим, что мы располагаем мощнейшим компьютером, способным решать трехмерные уравнения движения с любой желаемой точностью (например, будем считать трехмерный поток на сетке 1000х1000х1000).
Это, однако, не снимает проблемы описания турбулентности, так как в результате такого решения мы будем иметь огромное количеспю информации, осознание которой требует ее представления в компактном виде, а это фактически оюпь же предполагает введение определенной модели процесса. По сути, такой суперкомпьютер отличается от реального турбулентного течения, набшодаемого в лаборатории или природе, только несравненно большими возможностями вывода информации относительно состояния потока в любой точке и в любой момент времени.
Проблема описания турбулентного двюкения состоит в выделении характеристик, описывающих свойства системы с огромным числом степеней свободы, а любой подход к ее описанию — это тот или иной способ ограничения числа степеней свободы. Турбулентные поля (скорость, давление, температура и т.д.) представляют собой случайные поля. В любой точке потока можно установить датчик и зарегистрировать реализацию процесса в данной точке.
Многократно повторяя эту процедуру, принципиально возможно получить плотность вероятности РЯ для интересуюШей нас величины Г"(г, Г). В общем случае, плотность вероятности также есть функция координат н времени. Существует ряд важных частных случаев, которые мы н перечислим. Турбулентность является однородной, если плотность распределения вероятности не зависит от сдвига Р(г,г+ Ьг) = Р(Ф,г). Турбулентное течение называется стационарным, если плотность вероят- ности не зависит от положения точки, то есть Р(1+т,г) = Р(Г,г). зл. развитая тэтвтлвнтность Процесс называется эргодическим, если осреднеине по времени эквивалент- но для него осредненню по ансамблю реализаций (У( )) = 1нп Т ~1(~,л)пт.
о угловыми скобками будем обозначать среднее по ансамблю реализаций. Очевидно, что толью стационарный процесс может быть эргодическим. Гипотеза эргодичности широко используется при исследовании стационарных течений, так как на практике измеряются именно средние по времени величины. В реальных измерениях широко используется и гилоаеза Тейлора, позволяющая связать пространственные и временные флуктуации исследуемой величины Дг, т).
Согласно этой гипотезе если существует среднее течение, характеризуемое скоростью 11, то справедливо соотношение Пользуясь этой гипотезой, по измерениям в заданной точке пространства определяют пространственные флуктуации исследуемого поля и их статистические характеристики. 3.1.2. Статистические моменты случайных полей Функция распределения плотности вероятности Р(гД содержит полную информацию о случайном поле Дг, $), однако ее определение в полном объеме практически невозможно.
Известно, что заданию плотности вероятности эквивалентно задание последовательности (в принципе — бесконечной) статистических моментов При этом момент нулевого порядка равен единице в силу условия норми- ровки Мр= РЦ)Я=1, а момент первого порядка, называемый также математическим ожиданием, дает среднее значение величины 98 Глава З Для моментов второго и более высоких порядков обычно используют цен- тральные моменты, вычисляемые относительно средних значений М = М(у' — (г))"' = (у — Я) РЯуу. Напомним, что центральный момент второго порядка называется диспер- сией, а в качестве характеристик распределения случайной величины часто используют коэффициенты асимметрии а и эксцесса у: Мз а= —, ад' 2 М4 з' Мз тц(г) = ((гн(г) — (с,(г)))(из(г) — (и (г)))).
Мы увидим в данной главе, что одноточечные корреляционные моменты играют центральную роль в подходе Рейнольдса, описывая вклад случайных пульсаций в эволюцию средних полей в турбулентном потоке. В подходе Колмогорова, о котором пойдет речь в следующей главе, на передний план выходят двухточечные моменты, необходимые для помасштабного анализа турбулентных полей. Важнейшим среди двухточечньгх Асимметрия характернзует симметричность функции распределения вероятности относительно среднего значения, а эксцесс является простейшей мерой значимости редких событий (хвостов функции распределения). Для нормального распределения коэффициент эксцесса равен у = 3, и часто используют величину у' = т — 3, показывающую, насколько данное распределение отличается от нормального распределения Гаусса.
С точки зрения описания турбулентных полей, необходимы статистические характеристики связи между значениями величины Г(г,г) в различных точках пространства, а при описании взаимодействия различных случайных полей в турбулентном потоке появляются и характеристики их статистической зависимости. Это требует введения совместной плотности вероятности РЦг(гг), гз(гз)) и (или) соответствующих двухточечных моментов. ' Важным частным случаем являются одноточечные корреляционные моменты, связывающие значения различных величин в одной точке пространства Наиболее известным среди них является тензор напряжений Рейнольдса, характеризующий связь пульсаций компонент скорости в заданной точке пространства, 99 3.1.
РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ментов является момент второго порядка, называемый корреляп;ионной ф1лвщией Ь(г1 гг) = И ) — (Л))(П '2) — (Хг))Р(Х(г1) Х(гз)МХ1 У 2 = =/ = ((,51 (Я)(.Г2 — (,~2))). (3.1) Волн речь идет о векторном поле (например, скорости), то появляется корреляционный тензор Ь13(г1 гг) = ((иЗ(г1) — (гв(г1)))(с (г, ) — (о.(гу)))) (3.2) Дла однородной турбулентности (3.1) и (3.2) зависят только от взаимного расположения двух точек, то есть если гз = г1 + г, то Ьб(г1,гз) = Ь;.(г). (3 3) Важным частным случаем является однородная и изотроннал турбулентность, в которой совместная плотность вероятности (а следовательно, и двухточечные моменты) не зависят и от направления вектора г. Тогда Ь13(г1, 2) = Ьб0г~) =Ь1.(г) (3.4) Чаще всего используют корреляционные функции Ьл(г) и Ь„„(г), характеризующие корреляцию продольных и поперечных составляющих пульсаций скорости.
Здесь индексом 1 обозначена составляющая скорости Рис. 3.1 Глава 3 вдоль линии, соеднияквцей точки гз и гю а индексом и — составляю- стая, нормальная этой линии. Характерный вид этих фувкций иллюстрирует рис. 3.1. 3.1З. Пространственные спектры Предположим, что рассматриваемое случайное (турбулентное) поле занимает ограниченный объем и величина Дх, у, г, с) может быть представлена интегралом Фурье Лг,с) = — з у(н„т)ег Йс, Яс,з) = Дг,$)е ~Юг, (3.5) где г = (х, Р, а) — радиус-вектор, 1с = (Й„йв, Й,) — волновой вектор. Считая рассматриваемую турбулентность стационарной, определим трехмерный энергетический спектр случайного поля: Р(й) = (К(й, 1) ~') (З.б) Угловые скобки означают в этом случае осреднение по времени.
Трехмерный спектр связан с корреляционной функцией Ь(г) (теорема Хинчина) г'(1с) = — Ь(г)е ~ пг. 8яз 1 (3.7) В теории турбулентности, говоря о ее спектральных свойствах, обычно имеют в виду энергепгческий спектр Е(Й), который характеризует энергию всех гармоник с заданным модулем волнового вектора, независимо от его направления. Е(й) = Г(К)~йс (3.8) Щ или, в сферической системе координат, зт т Е0с) = Рмйзаптдйдйр. о о В важном частном случае изотропной турбулентности, когда Р(к) = Е(й), связь становится очень простой: Е()с) = 4яйзГ(й). (3.9) Отметим, что все оценки для спектральных законов развитой турбулентно- сти касаются обычно именно энергетического спектра ЕЯ. 3. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
