П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В уравнение индукции подставим разложения (3.39)-(3.40) и получим для среднего поля уравнение 3.8. КРУПНОМАСШТАБНОЕ МАГННТНОЕ ПОЛЕ В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ 113 алеет размерность напряженности электрического поля и является эффективной электродвижущей силой, описывающей средний результат взаимодействия пульсаций поля скорости и магнитного поля. Таким образом, применение подхода Рейнольдса, как и следовало ожидать, привело к появлению новых переменных, описывающих вклад мелкомасштабных пульсаций в средние поля.
Превмущество рассматриваемой задачи состоит в том, что осредняемое уравнение индукции линейно по ммчппному полю (в отличие от уравнения Иавье — Стокса, нелинейного по самой скорости). Это позволяет значительно продвинуться в описании структуры получаемого корреляционного вектора е. Вычитая уравнение (3.41) из исходного уравнения индукции (3.38), можно получить уравнение для пульсаций магнитного поля д~Ъ = гас ('Со х Ь) + гоС (п х Во) + гоС я+ и аЬ, (3.43) где к = их Ъ вЂ” (пх Ь). (3.44) Если на турбулентный поток наложить крупномасштабное регулярное поле Во, то, согласно уравнению (3.43), основным источниюм пульсаций магнитного поля служит слагаемое гос(п х Во).
Следовательно, пульсации поля линейны по отношению к крупномасштабному магнитному полю. Возвращаясь к выражению (3.42) для эффективной элекгродвижущей силы е, можно сделать вывод, что и она должна быть связана с крупномасштабным полем линейным образом, а опираясь на предположении о том, что вариации средних полей возможны только на масштабах, много больших масштабов пульсаций, ожидаемую линейную зависимость можно представить в виде ряда (3.45) е; = аиВоу + дбьдьВоУ+ Важно отметить, что вектор В является псевдовектором, а е — истинным вектором.
Это означает, что коэффициенты в разложении (3.45) являются псевдотензорами, то есть величинами, не обладающими отражательной симметрией. Именно соображения симметрии играют важнейшую роль в построении моделей процессов генерации магнитного поля движущейся проводящей средой, Мы остановимся только на самых простых выводах, следующих из возмощной структуры коэффициентов а; и Д.~.
Ограничимся лля начала первым членом ряда (3.45) (3.46) е, = аВВБУ ГЛАВА 3 114 и сделаем существенное предположение, состоящее в том, что поле пульсаций сюрости и статистически однородно и изотропно. Важно, что изоеролия подразумевает в этом случае только иивариантность относительно поворотов системы отсчета, но не инвариантность относительно отражений. Считая, что псевдотензор сиу определяется свойствами мелкомасштабного поля скорости, приходим к выводу, что изотропность пульсаций скорости подразумевает и изотропность псеш1отензора а,: аб =ад;,. В этом случае соотношение (3.46) приходит к виду (3.47) е = аВо, и неопределенной остается толью скалярная величина а, юторая должна быть лсевдоскаяярам. Последнее означает, что величина а должна менять знак при отражении системы отсчета относительно начала координат (замене правосторонней системы отсчета на левостороннюю). Уравнение (3.47) содержит в себе достаточно неожиданный результат, состоящий в том, что турбулентный поток может генерировать электродвижушую силу (ток) в направлении наложенного магнитного поля.
Это противоречит «здравому смыслу», так как исходное уравнение индукции (3.38) прямо указывает на то, что индуцированный ток пропорционален векторному проюведению ч х В и, соответственно, должен быль перпендикулярен приложенному магнитному полю. Явление генерации турбулентным потоком эффективной электродвижущей силы вида (3.47) получило название альфа-эффекта. Этот эффект используется в большинстве моделей динамо космических тел, позволяя избежать проблемы замыкания динамо-цикла для макросюпичесюго осесимметричкого маппппого поля.
Чтобы довести полученную картину возбуягдения магнитного поля турбулентным потоком до уровня физически оправданной модели, необходимо указать статистическую характеристику поля пульсаций скорости, лишенную отражательной симметрии, которая могла бы обеспечить появление альфа-эффекта. Требуемым псевдоскаляром может служить величина Н=И ~ (ч гоСч)сЮ=(ч ш), (3.48) называемая слиральиослсью. Величина ш = гоСч называется завихренносеью и, являясь псевдовектором, обеспечивает смену знака спиральности при отражении системы координат.
Именно спиральность и является на сегодня основной (но не единственной) характеристикой турбулентного поля, 3.8. КРупномАсштАБное мАгннтное пОле в туРБулентной сРеде 115 которой связаны физические модели альфа-эффекта. Изотропное турбулентное поле скорости с отличной от нуля средней спиральностью можно „редставить себе как поле, образованное совокупностью произвольно ориснптрованных мелкомасштабных винеовых вихрей, в котором доминируют либо правовинтовые, либо левовиптовые структуры. Ишпострацией того, как спиральный поток может индуцировать электрический ток вдоль поля, служит картина, предложенная Паркером (70] еше до появления теории альфа- эффекта (рис. 3.3).
Поток проводяшей жидкости увлекает за собой силовые линии магнитного поля. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси х, а спиральные (винтовые) вихри — В перпендикулярно им (должна быть компонента скорости о, и компонента завихреиности ю,). Тогда вихрь вьпягивает петлю в направлении оси г и одновременно разворачивает ее. В результате внутри петли индуцируется электрический ток, направленный по магнитному но- рис.
3.3. лю (или против него, в зависимости от закрутки вихря). Второй член разложения (3.45) в простейшем случае изотропной турбулентности также поддается достаточно простой интерпретации. Изотропность поля скорости выливается в изотропность псевдотензора Д,.А, что подразумевает соотношение где коэффициент 13 есть истинный скаляр. Уравнение (3.45) запшпется в этом случае как е = ОВс — 13ТО$Во.
(3.49) Таким образом, действие второго слагаемого приводит к дополнительной лиффузии крупномаспггабного магнитного поля. Если коэффициент 13 постоянен по пространству (однородная турбулентность), то в уравнении индукции для среднего поля (3.41) эффективный коэффициент диффузии складывается из суммы (и + 13).
В неоднородной и неизотропной турбулентности ситуация оказывается значительно сложнее и появляется целый ряд дополнительных эффектов. )(ля более подробного знакомства с проблемами генерации магнитных полей потоками проводящей яоплтости можно порекомецловагь прекрасную книгу Г. Моффата. 116 глава 3 Рекомендуемая литература к третьей главе [1] Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. Мс Наука, 1965.
639 с. (2] Монин А. С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. Мс Наука, 1967. 720 с. 13] Рейнольдс А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях, Мс Энергия, 1979. 408 с. 14] Турбулентность. Принципы и применения.
Под. ред. Фроста У., Моулдена Т. Мс Мир, 1980. 536 с. 15] Методы расчета турбулентных течений. Под. ред. Колыхала В. М.: Мир, 1984. 464 с. 16] Моффат П Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.; Мир, 1980. 340 с. ~ ЛАВА 4 Подход Колмогорова. Мелкомасштабная турбулентность 4.Ь Однородная н нзотрояная турбулентность Начиная изучение свойств мелкомасштабной турбулентности, сделаем несколько важных замечаний, частично повторяющих выводы, обсуждавшиеся ранее. Прежде всего напомним, что мы ограничиваемся рассмотрением течений несжимаемой жидкости, описываемых уравнениями НавьеСтокса, которые запишем в виде дес, +суд и; = — р д;р+ идгуо;+со — з д,,=О. (4.1) (4.2) Здесь о; — компоненты скорости, Р; — компоненты силы, р — плотность, р— давление, ц — вязкость.
При этом нужно не забывать, что сама возможность применения уравнений (4.1)-(4.2) к описанию турбулентных течений при огромных зиачениах числа Рейнольдса не является очевидной, так как при их выводе использовано предположение о том, что тензор вязких напряжений является линейной функцией только первых производных поля скорости (см.
вводные замечания к разделу 3). Важно также подчеркнуть, что рассматривается развитая турбулентность, характеризуемая наполненными спектрами Фурье (как временными, так и пространственными), что свидетельствует о существовании многомасатабной структуры поля скорости. Именно многомасппабносп и является важнейшим признаком развитой турбулентности, приводя к возбуждению гигантского числа степеней свободы. Мы уже говорили о том, что любой подход к описанию развитой турбулентности, по сути, представляет собой тот или иной спосбб ограничения числа степеней свободы, приводящий к соответствующим моделям. В главе 3 был рассмотрен подход Рейнольдса, состоящий в разложении входящих в (4.1К4.2) полей на средние поля и пульсации и последующем Глава 4 118 осреднении уравнений. Подход приводит к уравнениям для средних величин (3.18К3.19), в которых появляется новый неизвестный член — тензор напряжений Рейнольдса, описывающий влияние пульсаций на средние поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
