П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Измерения входящей в закон константы дали значения С 1.5,' но интерес к точному измерению этой величины упал после того, как стало ясно, что заюн (4.20) описывает реальную ситуацию только приблизительно. Наиболее точные измерения энергетического спектра однородной турбулентности показывают, что в инерционном интервале он подчиняется степенному закону вида Е(к) й-а (4.47) с показателем степени св = 1.71 х 0.02.
Отличие от пяти третей, на первый взгляд, не велико, но оно принципиально. Более полную картину можно получить, исследуя поведение структурных функций высоких порядков. На практике измеряют значения скорости в двух точках, вычисляют структурные функции (4.16) и, ожидав существования степенных законов вида Бв(1) (ст, (4.48) строят структурные функции в двойном логарифмическом масштабе. Прн выполнении (4.48) должна получиться картинка, изображенная на 'Итог этим экспериментам полвелен в обзоре А.М.Яглома [25), посввнгенном 40-летикз работ Колмогорова. 135 4.4.
Логногмлльнхя модвль (К62) 1н1 1 2 3 4 5 6 У Рнс. 4.5 рис. 4.5а, — в инерционном интервале возникают линейные участки, наклон которых дает величину степенных показателей с«. Качественно вид получающегося графика для показателей степени представлен на рисунке 4.56. Сплошная линия соответствует зависимости (4Л7) и помечена надписью «К41». На этой линии выделены две точки, для которых оценка (4. 19) является точной. Это начало координат (сс = О) и точка сз = 1, соответствующая закону «четырех пятых» (4.46).
Экспериментальная кривая действительно пересекает эти две точки, удаляясь от прямой с« = 9/3 по мере роста порядка д. Подчеркнем, что измерение структурных функций высоких порядков является чрезвычайно сложной задачей, н только в последние годы появились надежные измерения для структурных функций порядка 9 ) 10, Тем не менее, уже первые измерения структурных функций относительно невысоких порядков подтвердили справедливость замечания Ландау — локальные вариации скорости диссипацни энергии нарушают колмогоровский сценарий однородной турбулентности. Нарушение глобальной однородности турбулентности получило название «перемежаемости». Суть этого явления состоит в том, что в турбулентности даже прн сколь угодно больших числах Рейнольдса активные области сосуществуют с пассивными, в которых течение «квазиламинарно». Первую попытку скорректировать закон (4.19) путем учета статистических свойств поля диссипации энергии сделал сам Колмогоров в 1962 году [56) (эту модель будем называть К62).
Для учета структуры поля днсснпации энергии Колмогоров ввел в рассмотрение величину еь которая представляет собой среднюю скорость диссипации, измеренную внутри обьема с характерным размером 1 (например, сферы или куба). Соответствующая такому подходу турбулентность получила название лакальна-од- нородной. !36 ГЛАВА 4 Модифицированная модель Колмогорова держится на двух дополни тельных гипотезах. Первая гипотеза — это гипотеза подобия (4.49) обобщающая формулу (4.19) в том смысле, что теперь в правой части стоит не постоянная величина е в степени 9/3, а статистический момент порядка д/3, характеризующий структуру случайного поля днссипации энергии на соответствующих масвпабах 1.
Гипотезу подобия (4.49) можно записать в другом виде. Если предположить существование степенных законов вида (4.48) и для моментов поля диссипации, то есть ( Я) 1»» (4. 50) то гипотеза (4.49) выражается в виде простого соотношения между показа- телями степени в (4.48) и (4.49): (4.5 1) =д/3+ту . Очевидно, что (4. 51) возврщцает иас к модели К41, если тя — — О для любых д. Вторая гипотеза К62 касается вида функции распределения вероятности для величины е!.
Обычно в качестве простейшей вероятностной модели рассматривается нормальное распределение, однако в нашем случае оно не годится, так как диссипацня — величина сугубо положительная, а хвост нормального распределения ухошп в область отрицательных значений. Колмогоров предложил избежать эту трудность путем рассмотрения логнормального распределения (по нормальному закону распределен логарифм диссипации энергии) (!»»-а) Р(е!) = се (4.52) Здесь Р— функция распределения вероятности, а = 1л е, !г)з — дисперсия, равная на масштабе 1 величине о)з = А+и)п(Г,/1).
(4.53) Логнормальная модель приводит к следующим выражениям для показате- лей степени: тя — — )49(1 — 9)/2, Ся — — с/3+дс(3 — д)/18. (4.54) !37 4.4. ЛОГНОРМАЛЬНАЯ МОДЕЛЪ (К62) Величина д, называемая коэффициентом перемежаемости, имеет простой физический смысл — с точностью до знака это показатель степени для момента второго порядка поля диссипацин энергии (тз = — д), т.е.
Связанный со вторым моментом поля диссипации шестой момент поля скорости также позволяет просто определить коэффициент перемежаемости. Действительно, согласно (4.54), то есть коэффициент перемежаемости равен отклонению степенного показателя се от значения, следующего из модели однородной турбулентности К41. Гипотеза о логнормальном распределении была опровергнута и экспериментально, и теоретически. Экспериментальные измерения функции распределения вероятности показывают, что в координатах (!и е, !и Р) функция распределения имеет несимметричный вид, в то время как логнормальное распределение в таких координатах должно приводить к параболе.
Относительно свойств функции с(9) было доказано два утверждения (52). Во-первых, с(9) — функция выпуклая, т.е. с" ( О, и, во-вторых, са+з > чч для любых Ф Формула (4.54) удовлетворяет первому требованию (а также обеспечивает выполнение условий со = О и сз = 1), но не удовлетворяет второму — при некотором значении 9 функция (это парабола) имеет максимум, после которого значения С(9) начинают убывать. В отличие от второй гипотезы, гипотеза подобия (4.49) используется до настоящего времени, хотя ее интерпретация претерпела сушественные изменения. Дело в том, что в формулировке (4.49) эта гипотеза несет в себе два противоречия.
Во-первых, левал часть выражения содержит величину, относящуюся к инерционному интервалу, а правая— величину, эффективную только в диссипативном. Во-вторых, диссипация энергии есть величина сугубо положительная, а пульсации скорости— нет. В таком случае трудно рассчитывать, что статистические свойства этих величин одинаковы, а именно в этом и состоит суть гипотезы подобия.
Избежать отмеченных противоречий можно следующим образом. Выделим в пространстве, занятом турбулентным течением, произвольный объем с характерным размером! и рассмотрим изменения плотности энергии ГЛАВА 4 !38 пульсаций сюрости в этом объеме: дсЕс = дс — / — й' = 1 с е Р/ 2 = — — ~ чсстуч)чбтр — — ~ чЧРссг+ — ~ чЬчйг+ — ( чую = 1 Г Г I/ 1) р/ )/ ч Ъ' ч У вЂ” сйч "— + — ч йг — ес+ос = 1 /с'чз = - "— +-'ч —., +. =. —. +йь Ъс ~2 Р) Здесь ес есть диссипация энергии за единицу времени на единицу массы, Š— приток энергии за счет работы внешних сил (также за единицу времени и на единипу массы).
Первое слагаемое в правой части, обозначенное как ссс, описывает приток энергии в выделенный объем через его поверхность. Из сюрости диссипации энергии можно выделить ее среднее значение гс = й+ ес~. Бели рассматривается. стационарно возбуждаемая турбулентность, то средняя скорость диссипации должна быть равна плотности притока энергии за счет внешних снл, т. е, ос = й.
Тогда дслч = Цс — е1, (4.55) то есть изменения энергии в выделенном обьеме определяются потоком энергии через его поверхность и вариациями диссипации. Избежать отмеченных выше противоречий можно путем рассмотрения не скорости диссипации энергии в объеме заданного масштаба, а потоюв энергии через поверхность этого обьема.
Последний определяется действием нелинейного члена в уравнении Навье-Стокса, то есть именно того члена, который определяет нелинейную динамику потока при больших числах Рейнольдса. Именно величина цс и будет использована в дальнейшем как характеристика потоков энергии на различных масштабах движения. Необходимо отметать, что переход от использования ес к с)с произошел совсем недавно, а традиция применения в моделях мелкомасштабной турбулентности скорости диссипации энергии столь крепка, что часто даже в работах, где реально пользуются величиной ссс, авторы, тем не менее, используют термин «скорость диссипации энергии». !39 4.5. ФРАктАлы и тУРБУлентнОсть ~~:-'Ъ ~2в 4Ь4Ь4Ь4МЬ4Ь4Ь4Ь 4Ь Ь 4Ь Ь 4Ь Рве. 4.6 4.5. Фракталы и турбулентность Колмогоровская модель однородной турбулентности (К41) подразумевает равномерное заполнение пространства вихрями каждого масштаба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
