П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда Вка = 2(ог)ба /8 — 2(ль (4.29) где бы = (опогь) есть вспомогательный, симметричный тензор, компоненты которого стремятся к нулю при 1 — оо (бесюнечно удаленные точки статистически независимы). Выражение (4.29) продифференцируем по координатам точки 2, и воспользуемся уравнением неразрывности: дгАВРА = — 2дгьбгь = — 2(опдгьсга) = О. (4.30) Днфференпирование Вы по координате второй точки эквивалентно дифференцированию по соответствующей проекции вектора 1, посюльку тензор зависит толью от этого вектора.
Следовательно, дгьВРА = дьВГа = О, и, подставляя в эту формулу выражение (4.28), получим дьВзь = беаВ„'„(1)дь1 + (В11(1) — В„'„(1)) е;еьдь1+ + (Вп(1) — В„„(1)) дь (ез еь) = (В11 + 2 (Вл — В„„) /1) е; = О, где штрихом обозначено дифференцирование по 1. При вычислениях было учтено, что дав = дав = хь/1 = ею дьег = дь(х,/1) = (Бц, — егеа)/1, дьеь = 2/1, дь(е,еь) = еьдае; + егдьеь = 2е;/1.
Таким образом, мы получили уравнение, называемое первым уравнением Кармана-Ховарта (55). В11 + 2 (Вл — Впп ) /1 = О. (4.31) Это уравнение дает связь между продольными н поперечными корреляциями Вп и В„„. Важно подчеркнуть, что при его выводе использовалось толью уравнение неразрывности. Уравнение (4.31) перепишем в виде В = Вп + 1В11/2 = (21) ~д1(1гВД) (4.32) и посмотрим, как выглядит связь между величинами Вп и В„„прн конкретных степенных законах для корреляций.
Пусть 1 столь малък что соответствуют диссипативному интервалу (1 < Л). В этом случае можно ограничиться первым членом ряда Тейлора н, предположив, что со1 1, записать 1г (4.33) где с — некоторая константа, Подставляя (4.33) в (4.32), легко получаем, что Вс, — — 2с1г. Следовательно, в диссипативном интервале юрреляции связаны как В„„= 2Вл. В инерционном интервале (Л « 1 « Ь), согласно (4.18), имеем оценку Вл = с(г'э. С помощью (4.32) вновь получается связь продольных и поперечных корреляций, юторая в этом случае имеет внд В„= (4/3) Вл. Важный вывод, юторый следует из уравнений (4.31), состоит в том, по при шобом степенном поведении юрреляционные функции Вл и Виа с точностью до постоянного множителя следуют одному и тому же степенному закону.
Попытка написания эволюционного уравнения для корреляционного тензора (4.25) прююдит, с учетом (4.29), к выражению дсВса = (4/3)бсае — 2дс6са. При вычислении производной по времени от среднего квадрата скорости мы учли, чю это есть скорость диссипации энергии дс(зг/2) = е. Производную по времени от тенэора бса = (снега) можно определить, используя уравнение Навье-Стокса для производных от сюрости дс6са = (игадсисс) + (зндсига) = = — д11(зссиссига) — дгу(имигаиг,) — р ~ (дн(рсзга) + дга(1сгисс)) + + и (дсг" (снега) + дгг" (смога)) Двухточечная корреляционная функция давления и скорости равна нулю.
Это следует из того, что, в силу изотропии, эта функция должна иметь вид (рсиг) = еЯ), причем ее дивергенция дга(рсига) = (рсдгаига) = О. Действительно, чтобы удовлетворить последнему требованию, нужно положить Я) = с/1г (тогда дга (сеа/1г) = с( — 2еаг/1з+ 2/1э) = О), а так как при 1 — О корреляционная функция доллсна быть юнечна, то единственно возможное значение константы есть с = О.
4.3. Твогия Колмогсвовл 1941 годА (К41) Следующий шаг состоит в замене производных по координатам точек 1 я 2 на производные по компонентам вектора 1. Это оправдывается тем, что все корреляционные характеристики в однородном потоке зависят только ст этого вектора. При этом дгь = — ды а дзь = ды Получаем ВАь = ду(щуомогь) — ду(смсзьогу) + 2п1з(смоль) я, окончательно, ВАь = Ву(Ь*,,ь + Ьь,;;) + 2 дЬ„, (4.34) В уравнении появилась новая величина — корреляционный теизор Ьзцш = (омо1асзп ) = (оззозйс1~л). (4.35) Ситуация совершенно аналогична той, что имела место при попытках написания замкнутой системы уравнений для одноточечных корреляционных характеристик в подходе Рейнольдса.
Точно так же и при написании уравнений для двухточечных корреляционных тензоров нелинейность исходных уравнений неизбежно приводит к появлению тензоров более высокого порядка. Для того чтобы прийти к физически понятной статистической характеристике пульсаций скорости третьего порядка (таковой является структурная функция третьего порядка для продольных пульсаций скорости, которая в используемых здесь терминах есть величина Вш), введем корреляционный тензор третьего ранга В(ь~п = ((оз~ — ои)(сзь — 01ь)(озш — Оиа)) (4.36) компоненты которого легко связать с компонентами тензора Ь,ь, .
Раскрывая произведение в (4.36) н учитывая, что (смоысьч) = (сглзьсзп~) = 0 (среднее значение произведения нечетного числа случайных сомножителей, среднее значение каждого из которых равно нулю), получаем (4.37) В,ь„, = 2(Ьа,,„+Ьь, + Ь г,я). Тензор Ьы симметричен по первой паре индексов, относящихся к одной точке, и меняет знак при перестановке точек местами, так как эта перестановка эквивалентна изменению знака 1, а инверсия координат меняет знак тензора третьего ранга. При ( — со все компоненты тензоров (4.36) в (4.35) должны стремиться к нулю.
Гллвл 4 Гзг Теперь нужно записать общий вид тевзора, симметричного по первой паре индексов и зависящего от расстояния 1 и компонент единичного вектора е: Ьсь = С(1)6сье,„+ Р(1)(6с еь + 6А е,) + У(1)есеье . (4.38) Требуется выразить функции С(1), Р(1) и В(1) через имеющие физический смысл корреляционные функции третьего порядка. Для этого снова воспользуемся уравнением неразрывности, из которого следует, что д2пАь,~в = (ОССОСЬдэтеэш) = О. (4.39) Подставляем в (4.39) выражение (4.38) и, учитывая, что дз,„(есеье ) = 2есеь/1, получаем два уравнения, позволяющие выразить функции Р(1) и г'(1) через С(1): Р = — С вЂ” 1С'/2, Е = 1С' — С.
В результате Ьсь = С6сье — (С+ 1С'/2)(6с ел+ 6ь ес) + (1С' — С)есеье и выражение для корреляционного тензора также включает только одну неизвестную функцию С(1): Ви = — 2(1С'+С)(6ье, +6ьаеь+6ь е)+6(1С' — С)е еле . (440) Вновь направим вектор 1 вдоль одной из осей координат (е = (1,0, 0)) и выпишем компоненты теизора (4.40); Вщ = — 12С, Вс„„= — 2(С+1С'), Вип = Випми =0 (441) Таким образом, отличны от нуля только две компоненты теизора, которые можно связать соотношением Вс„„= (1Вщ)'/6. (4.42) Комбинируя формулы (4.38)-(4.41), выразим вспомогательный тензор Ьсц через компоненты тензора Всь и получим 2-е уравнение Кармана-Ховарта Ьпь = — Вссс6сье /12+(1Всц+2Вссс)(6с еь+6ь ес)/24— — (1В,'ц — Вщ) е,еле /12. (4.43) 4.3. Теогил Колмогоговл 1941 голл (К41) 133 — -' — -дФи = — (1 Вш) — (1 В,) 2 1 1 4 г и 4 с 3 2 614 14 (4.44) рассматривая стационарную или, по крайней мере, квазистацнонарную тур- булентность, когда член деВл все равно много меньше скорости диссипа- ции, можно отбросить слагаемое с производной по времени.
Интегрирова- ние (4.44) по 1 дает в атом случае уравнение Колмогорова В1п = --е1+ биВц. 4 ! 5 (4.45) Константа интегрирования пришпа равной нулю в силу требования обращения в нуль корреляций при 1 — со. Уравнение (4.45), как и уравнение (4.44), включает две независимые корреляционные функции и не является достаточным для их нахождения. Попытка написать дополнительное уравнение для корреляционного тензора третьего порядка приведет к уравнению, содержащему тензор четвертого порядка и т.д. Таким образом, снова возникает проблема замыкания, с которой мы уже сталкивались при рассмотрении уравнений для одноточечных моментов турбулентных полей. Уравнение (4.45) справедливо для всех 1 « Ь, то есть и для инерционного, и для диссипативного интервалов. В инерционном интервале проблема замыкания не возникает, так как последним слагаемым, пропорциональным вязюсти, мвкно пренебречь и получить замкнутое уравнение для корреляционной функции третьего порядка Вш = — — ей 4 5 (4.46) Уравнение (4.46), которое часто называют «законом 4!5», остается одним из важнейших результатов, полученных для мелкомасштабной турбулентности.
Следует еше раз подчеркнуть, что закон (4.46) представляет собой точный результат, полученный для инерционного интервала толью на основе уравнений Навье — Стокса и гипотезы об однородности и изотропности мелюмасштабной турбулентности. Таким образом, среди оценок (4.19) есть одна, справедливость юторой является доказанной, а именно, Вз(1) ей еще раз подчеркнем, что при выводе обоих уравнений Кармана-Ховарга использовалось только уравнение непрерывности.
Теперь в уравнение (4.34) можно подставить выражения для тензоров Ьз - ь и 6ы. Опуская достаточно длинные вычисления, приведем окончательное уравнение ГЛАВА 4 1За Для всех остальных структурных функций формула (4.19) является лищь оценкой, на слабость которой впервые указал Л.
Ландау уже в 1942 году, Суть знаменитого замечания Ландау состоит в том, что в правой части формулы стоит скорость диссипации энергии б, которая в действительности не является постоянной, а также представляет собой случайную величину, характеризуемую собственной функцией распределения. В выражение для структурной функции третьего порядка входит собственно среднее значение скорости диссипацни, и проблемы среднего значения не возникает. Во всех остальных случаях в оценки входят различные степени случайной величины и, естественно, среднее значение от величины в некоторой степени не есть зта же степень от среднего.
4.4. Логнормальная модель (К62) Экспериментальные исследования статистических свойств мелкомасппвбной турбулентности ведутся, начиная с шпидесятых годов. На первых порах основной интерес представляло экспериментальное подтверждение закона «пяти тратою> (4.20) и определение входящей в него константы. В многочисленных экспериментах было подтверждено существование инерционного интервала с распределением энергии пульсаций скорости, близким к закону «5/3».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
